Cyclic Redundancy Check für die industrielle Kommunikation - Probleme, Nutzen und Risiken (eBook)

Vorwort V 5
Danksagung 7
Haftungsausschluss 9
Lebenslauf 9
Symbolverzeichnis 11
1 Einleitung 17
1.1 Shannon-Hartley Theorem und Shannon-Limit 20
1.2 Aufbau und Struktur von Codes 20
1.2.1 Aufbau und Struktur eines linearen Block-Codes 21
1.3 Definition eines linearen Block-Codes 21
1.3.1 Das Linearitätskriterium 22
1.4 Struktur und Aufbau des Aufsatzes 22
2 Mathematische Grundlagen 23
2.1 Implementierung des Codes mittels CRC 23
2.2 Hamming-Distanz 27
2.3 Gewichtsverteilung Ai eines Codes 27
2.4 Zykluslänge 29
2.5 Restfehlerwahrscheinlichkeit 31
2.6 Systematische Generatormatrix 31
2.7 Fehlererkennung und Restrisiko 33
2.8 Fehlerkorrektur und Hamming-Distanz 34
2.9 Grenzen der Block-Codes 36
2.9.1 Hamming-Schranke 36
2.9.2 Singleton-Schranke 38
2.9.3 Plotkin-Schranke 39
3 Wichtige lineare Block-Codes 41
3.1 Hamming-Code 41
3.1.1 Verkürzter Hamming-Code 41
3.1.2 Erweiterter Hamming-Code 41
3.2 Zyklischer Code 42
3.3 BCH-Code 42
3.4 Weitere Codes 43
3.4.1 Perfekter Code 44
3.4.2 Golay-Code 44
4 Herkömmliche Verfahren zur Bestimmung der RW 47
4.1 Die Grenzen der Rechengenauigkeit modernen Rechner 47
4.2 Klassischer Ansatz 48
4.2.1 Die Schranken der Restfehlerwahrscheinlichkeit 48
4.2.2 Eine schnelle Abschätzung mit einem Korrekturfaktor x 50
4.2.3 Die Bedeutung des Korrekturfaktors x und seine Beschaffenheit 50
4.2.4 Praktische Beispiele 53
4.3 Dualer Code 57
4.3.1 Einleitung 57
4.3.2 Ein praktisches Beispiel 58
4.3.3 Die Gestaltung des Algorithmus 59
4.3.4 Die Bestimmung des Verlaufs der Hamming-Distanz 60
4.3.5 Die Bestimmung der RW bei einem Datenblock 60
4.3.6 Die Vor- bzw. Nachteile des Verfahrens 60
4.4 Stochastische Automaten 61
4.4.1 Die Darstellung des Schieberegisters mit einem Automaten 61
4.4.2 Die Bestimmung der Matrizen M0 bzw. M1 64
4.4.3 Der praktische Einsatz 69
4.4.4 Der stochastische Ansatz 71
4.4.5 Die deterministischen Betrachtungen 73
4.4.6 Weiterführende Recherchen 81
4.4.7 Vor- bzw. Nachteile des Verfahrens 81
5 Die Taylorreihe – Definitionen und Formeln 83
5.1 Alternierende Reihen 83
5.1.1 Umhüllende Reihe einer Zahl 83
5.1.2 Restfehlerwahrscheinlichkeit RW 83
5.1.3 Taylorreihe einer Funktion f(x) 84
5.1.4 Taylorpolynome Tm(x) 84
5.1.5 Taylorreihe eines Polynoms mten Grades 84
5.1.6 Umhüllende Reihe einer Funktion f(x) 85
5.2 Approximation der RW durch eine Taylorreihe 85
5.2.1 Hypothese über den Verlauf der Restfehlerwahrscheinlichkeit 85
5.2.2 Abschätzung der RW(p) iten Ordnung (das erweiterte Polynom) 85
5.2.3 Die Taylorreihe der Restfehlerwahrscheinlichkeit RW(p) 85
5.2.4 Die Koeffizienten ck einer Taylorreihe der RW(p) 86
5.3 Die Beziehung zwischen dem Index k und dem Index n 86
6 Sätze 87
6.1 Codewörter 87
6.2 Eigenschaften der Koeffizienten ck 87
6.3 Alternierende Reihen 90
6.4 Geltungsbereich der Taylorreihe 95
6.5 Erweiterung des Taylorpolynoms Tm(p) 96
7 Ergebnis 101
7.1 Die Taylorreihe 101
7.2 Die erweiterten Taylorpolynome nten Grades 101
7.3 Die Restfehlerwahrscheinlichkeit und ihre Genauigkeit 104
7.4 Die Genauigkeit der Berechnungen der RW 105
8 Beispiele 107
8.1 Hinweis zum Umgang mit den Taylorpolynomen 107
8.1.1 Taylorreihe vom Typ A 107
8.1.2 Taylorreihe vom Typ B 108
8.1.3 Taylorreihe vom Typ C 108
8.2 Allgemeine Beispiele 109
8.2.1 Taylorreihe vom Typ A 109
8.2.2 Taylorreihe vom Typ B 110
8.2.3 Taylorreihe vom Typ C 110
8.3 Spezielle Beispiele 111
8.4 Erweiterte Polynome 112
8.5 Der Vergleich von Taylorpolynomen mit erweiterten Polynomen 114
8.6 Upper- bzw. Lower-Bound der Restfehlerwahrscheinlichkeit 115
9 Allgemeine Anmerkungen 117
9.1 Die Koeffizienten ck der Polynome vom Typ C 117
9.2 Die Koeffizienten ck 117
9.3 Die Überlagerung der erweiterten Polynome 117
9.4 Die Polynome 118
9.5 Ein Anwendungsbeispiel 118
10 Vor- und Nachteile des Verfahrens 119
10.1 Vorteile 119
10.2 Nachteile 120
11 Zusammenfassung 121
12 Literatur 125
13 Abbildungsverzeichnis 127
14 Anhang 129
14.1 Bestimmung der Koeffizienten ck einer Taylorreihe der RW(p) 129
14.2 Der Nachweis der umhüllenden Taylorreihe für ct * ct + 1 > 0
14.3 Erweiterung des Satzes 9 133
14.4 Erweiterung des Satzes 10 134
15 Tabellen 135
16 Abbildungen 141
17 Sachwortverzeichnis 173