4000 Jahre Algebra (eBook)

Professor Dr. Heinz-Wilhelm Alten, Institut für Mathematik und Angewandte Informatik, Universitat HildesheimProfessor Dr. Menso Folkerts, Institut für Geschichte, der Naturwissenschaften, Universität MünchenProfessor Dr. Karl-Heinz Schlote, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu LeipzigDr. Alireza Djafari Naini, Zentrum für Fernstudium und Weiterbildung (ZFW), Universität HildesheimProfessor Dr. Hartmut Schlosser, Institut für Mathematik und InformatikProfessor Dr. Hans Wußing, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig

Vorwort des Herausgebers 5
Vorwort zur zweiten Auflage 8
Inhaltsverzeichnis 9
Hinweise für den Leser 14
1 Anfänge von Arithmetik und Algebra 15
1.1 Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn 16
1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten 20
1.2.0 Abriss der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal 22
1.2.1 Altägyptische Zahlzeichen 26
1.2.2 Arithmetik im alten Ägypten Zerlegung in Stammbrüche 27
1.2.3 Primitive Algebra 30
Lineare Gleichungen 30
1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra 35
1.3.0 Entwicklung früher Hochkulturen in Mesopotamien 36
1.3.1 Zahlzeichen in Keilschrift 42
1.3.2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes 44
1.3.3 Lineare Gleichungssysteme 46
1.3.4 Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen 49
1.3.5 Kubische Gleichungen: Der Beginn eines 3500 Jahre alten Problems 53
1.3.6 Näherungswerte von ?2 54
1.4 Aufgaben zu Kapitel 1 59
2 Die geometrische Algebra der Griechen 61
2.0 Einführung 64
2.1 Beginn des abstrakten Denkens 66
2.1.1 Ionische Periode (ca. 600–450 v. Chr.) 67
2.1.2 Athenische Periode (450–300 v. Chr. ) 69
2.1.3 Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr.–ca. 150 n. Chr.) 73
2.1.4 Spätantike (ca. 150– ca. 500 n. Chr. ) 77
2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra 79
2.3 Lineare und quadratische Gleichungen 81
2.3.1 Die ” Elemente“ des Euklid 81
2.3.2 Die Methode der Flächenanlegung 85
2.3.3 Lineare Gleichungen 87
2.3.4 Rein quadratische Gleichungen 88
2.3.5 Ein Diorismos 89
2.3.6 Lösung quadratischer Gleichungen nach Euklid 92
2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen 94
2.4.1 Kubische Gleichungen in ” Kugel und Zylinder“ von Archimedes 94
2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ” Einschiebung“ von Archimedes 99
2.4.3 Dreiteilung des Winkels nach Archimedes 103
2.4.4 Archimedes und die biquadratischen Gleichungen 104
2.4.5 Das Delische Problem – die Würfelverdopplung 105
2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix 110
2.6 ” Formale Algebra“ 114
2.6.1 Formale Algebra vor Diophant 114
2.6.2 Synkopierte Algebra 115
2.6.3 ” Arithmetika“ von Diophant 117
2.7 Aufgaben zu Kapitel 2 123
3 Algebra im Orient 125
3.1 Algebra in China 126
3.1.0 Geschichtlicher Abriss 127
3.1.1 Zahlzeichen 137
3.1.2 Quadrat-und Kubikwurzeln 139
3.1.3 Der doppelte falsche Ansatz (Überschuss und Fehlbetrag) 141
3.1.4 Lineare Gleichungssysteme 142
3.1.5 Algebra im 13. Jahrhundert 144
3.2 Algebra in Indien 149
3.2.0 Geschichtlicher Abriss 151
3.2.1 Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem 155
3.2.2 Algebraische Ausdrucksweise 158
3.2.3 Näherungsverfahren für Wurzeln 159
3.2.4 Lineare Gleichungen 160
3.2.5 Quadratische Gleichungen 162
3.3 Algebra in den Ländern des Islam 167
3.3.0 Geschichtlicher Abriss 169
3.3.1 Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen Ländern 183
3.3.2 Algebraische Ausdrucksweise 185
3.3.3 Lineare und unbestimmte Gleichungen 188
3.3.4 Quadratische Gleichungen 189
3.3.5 Arithmetisierung der Algebra 196
3.3.6 Die (geometrische) Theorie von ?Umar ?ayy?m für die Gleichungen dritten Grades 198
3.3.7 Eine Abhandlung von ?ayy?m über Algebra 204
3.3.8 Gleichungen vierten Grades 207
3.3.9 Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen 208
3.4 Aufgaben zu Kapitel 3 217
4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance 221
4.0 Einführung 223
4.1 Übersetzungen aus dem Arabischen 230
4.2 Leonardo von Pisa 231
4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris 236
4.4 Die Entwicklung in Italien 240
4.4.1 Luca Pacioli 245
4.5 Entwicklungen in Westeuropa 247
4.5.1 Nicolas Chuquet 247
4.5.2 Robert Recorde 248
4.5.3 Simon Stevin 250
4.5.4 Pedro Nunes 252
4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die sog. Deutsche Coß 255
4.6.1 Die sog. Deutsche Coß 257
4.6.2 Adam Ries, Abraham Ries und Jacob Ries als Cossisten 262
4.6.3 Chistoph Rudolff und Michael Stifel 268
4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes 271
4.8 Aufgaben 275
5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16.-18. Jh.) 278
5.0 Historische Einführung 280
5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades 283
5.1.1 Lösungen für Gleichungen dritten Grades 283
5.1.2 Niccolò Tartaglia 285
5.1.3 Girolamo Cardano 288
5.1.4 Auflösung von Gleichungen vierten Grades 292
5.1.5 Rafaelo Bombelli 293
5.2 Viète und Descartes 297
5.2.1 François Viète (Franciscus Vieta) 297
5.2.2 Renè Descartes (Cartesius) 305
5.2.3 Die algebraischen Methoden von Descartes 307
5.3 Newton und Euler 314
5.3.1 Isaac Newton 314
5.3.2 Zur Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Algebra 316
5.3.3 Leonhard Euler und der Fundamentalsatz der Algebra 318
5.3.4 Euler und sein Algebralehrbuch 322
5.4 Aufgaben 328
6 Algebra in der zweiten Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts 331
6.0 Historische Einführung 333
6.1 Die Begründung des Rechnens in gewöhnlichen Zahlbereichen 336
6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen 341
6.3 Algebra als Methode 346
6.4 Das Problem der Lösbarkeit der allgemeinen Gleichungn-ten Grades in Radikalen 352
6.4.1 Die Ergebnisse von Lagrange 354
6.4.2 Die Lösungsansätze von Vandermonde und Waring 357
6.4.3 Ruffini und erste Ergebnisse über Permutationsgruppen 359
6.4.4 Gauß und die Auflösung der Kreisteilungsgleichung 361
6.4.5 Abels Beweis für die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades 364
6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Carl Friedrich Gauß 367
6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche 372
6.6.1 Determinanten 372
6.6.2 Der Einfluss der ” Disquisitiones arithmeticae“ von Gauß 378
6.7 Aufgaben zu Kapitel 6 383
7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts 385
7.0 Vorbemerkungen 387
7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie 389
7.1.1 Der Beitrag von Niels Henrik Abel 389
7.1.2 Die Lösung des Problems durch Évariste Galois 393
7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen 401
7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra – die englische algebraische Schule 406
7.3.1 George Peacock 409
7.3.2 Augustus de Morgan 411
7.3.3 Duncan Farquharson Gregory 414
7.3.4 George Boole und die Algebra der Logik 416
7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme 420
7.4.1 William Rowan Hamilton und die Quaternionen 420
7.4.2 Arthur Cayley – Oktonionen und die erste Definition des abstrakten Gruppenbegriffs 429
7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra 434
7.5.1 Gaußsche ganze Zahlen und Reziprozitätsgesetze 434
7.5.2 Kummers Schöpfung der idealen Zahlen 440
7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra 444
7.6.1 Die Entwicklung des Matrizenkalküls 448
7.6.2 Die Entwicklung der Theorie der Vektorräume 454
7.6.3 Die Arbeiten von Hermann Günther Graßmann 458
7.7 Aufgaben zu Kapitel 7 469
8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880 475
8.0 Vorbemerkungen 477
8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie 482
8.1.1 Die Rezeption der Galois-Theorie in Deutschland 483
8.1.2 Die Darstellung der Galois-Theorie durch Joseph Alfred Serret und Camille Jordan 486
8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie 495
8.2.1 Die britische Schule der Invariantentheorie 496
8.2.2 Die Weiterentwicklung und die Formulierung des Grundproblems der Invariantentheorie 499
8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen 503
8.3.1 Kleins Erlanger Programm und die Theorie der endlichen Transformationsgruppen 503
8.3.2 Die Liesche Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen 510
8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen 515
8.4.1 Hankels ” Theorie der complexen Zahlensysteme“ 516
8.4.2 Die Klassifikation der Algebren bei Benjamin Peirce 517
8.5 Aufgaben zu Kapitel 8 524
9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert – erste Schritte zur abstrakten Algebra 525
9.0 Historische Einführung 528
9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik 532
9.1.1 Schröders Algebra der Logik und Freges Logizismus 535
9.1.2 Die axiomatische Methode 541
9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs 545
9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Ideale und Divisoren, Körper 560
9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs 571
9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra 584
9.5.1 Hyperkomplexe Systeme (Algebren) 584
9.5.2 Darstellungen von Gruppen und Algebren 595
9.5.3 Die algebraische Geometrie 600
9.6 Aufgaben zu Kapitel 9 606
10 Die Algebra im 20. Jahrhundert 610
10.0 Historische Einführung 614
10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra 619
10.1.1 Aufbau einer allgemeinen Ring-und Idealtheorie 620
10.1.2 ” Moderne Algebra“ 625
10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen 632
10.2.1 Die Entstehung der Verbandstheorie 634
10.2.2 Bourbaki und Strukturkonzepte 640
10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra mit anderen Teilgebieten der Mathematik 645
10.3.1 Die algebraische Geometrie 645
10.3.2 Anwendungen der Algebra in der Physik 650
10.3.3 Die algebraische Durchdringung der Topologie 653
10.3.4 Algebraische Methoden in anderen Bereichen 656
10.4 Computeralgebra 660
10.4.1 Vorbemerkungen 660
10.4.2 Charakterisierung der Computeralgebra 662
10.4.3 Die Entwicklung von Algorithmen 665
10.4.4 Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen 673
10.4.5 Anwendungen der Computeralgebra, mathematische Bildung, Präsentation in der Gesellschaft 674
10.5 Computeralgebra im Jahre 2013 676
10.5.1 Algorithmen 677
10.5.1.1 Algorithmische Gruppentheorie 678
10.5.1.2 Algorithmische algebraische Zahlentheorie 679
10.5.2 Software Systeme 680
10.5.3 Anwendungen 680
10.5.3.1 Der Zauberwürfel 680
10.5.3.2 Die Nullstellen eines Polynoms 682
10.5.3.3 Kristallographische Gruppen 683
10.5.3.4 Robotik 685
10.5.3.5 Kryptographie 686
10.6 Aufgaben zu Kapitel 10 689
Literaturverzeichnis 690
Abbildungsverzeichnis 726
Personenregister mit Lebensdaten 733
Index 744