Stochastik - Struktur im Zufall (eBook)

1 Einleitung 11
2 Beschreibende Statistik 15
2.1 Daten und ihre Präsentation 15
2.2 Lageparameter 20
2.3 Streuparameter 23
Aufgaben 29
3 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 31
3.1 Axiomatische Grundlagen 31
Aufgaben 41
3.2 Endliche W–Räume, mehrstufige Zufallsexperimente, Unabhängigkeit 42
Aufgaben 59
3.3 Kombinatorik I: Abzählprinzipien 61
3.4 Kombinatorik II: Stichprobengrößen 64
3.4.1 Geordnete Stichproben mit Zurücklegen 64
3.4.2 Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen 66
3.4.3 Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen 70
3.4.4 Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen 76
Aufgaben 78
3.5 Der Satz von Bayes 79
Aufgaben 85
3.6 Unendliche Wahrscheinlichkeitsräume 85
Aufgaben 94
4 Wahrscheinlichkeitsrechnung 95
4.1 Zufallsvariablen 95
Aufgaben 103
4.2 Der Erwartungswert von Zufallsvariablen 104
4.2.1 Diskrete Zufallsvariablen 104
4.2.2 Absolut stetige Zufallsvariablen 114
Aufgaben 119
4.3 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 120
4.4 Die Varianz von Zufallsvariablen und die Tschebyschev–Ungleichung 126
4.5 Das Gesetz der großen Zahlen 134
4.6 Weitere Grenzwertsätze 142
4.7 Verteilungen im Überblick 156
Aufgaben 160
5 Beurteilende Statistik 163
5.1 Das Schätzproblem 164
5.2 Testtheorie im Münzwurf 173
5.3 Ein kleinste–Quadrate–Schätzer: die Ausgleichsgerade 182
5.4 Der empirische Korrelationskoeffizient 185
5.5 Der exakte Test von Fisher und der ?2–Test 187
Aufgaben 194
6 Wahrscheinlichkeitstheoretische Schlaglichter 197
6.1 Wie viele Primteiler hat eine Zahl? 197
6.1.1 Primzahlen und Dichten 198
6.1.2 Über die Anzahl der Primteiler einer Zahl 200
6.2 Informationstheorie 204
6.2.1 Entropie und Binärcodes 204
6.2.2 Optimale Quellencodierung nach Huffman 211
6.3 Das Leben der Amöben 219
6.4 Entwicklung ohne Gedächtnis: Markovketten 225
6.4.1 Der wandernde Euro 225
6.4.2 Der Ergodensatz: „. . . schließlich im Gleichgewicht.“ 233
6.4.3 Kartenmischen 240
6.4.4 Das Problem des Handlungsreisenden 244
6.5 Stochastik an der Börse 248
6.6 Benfords Gesetz 256
A Anhang 265
A.1 Summen und Reihen 265
A.2 Asymptotik 268
A.3 Ungleichungen 270
A.4 Abzählbarkeit 272
A.5 Ein Beweis des Zentralen Grenzwertsatzes 275
Literaturverzeichnis 281
Index 283

"This is an excellent and timely introductory book on probability theory and statistics. It is designed for a broad unprepared audience and can be equally used for teaching and self-education." Zentralblatt Math (Juni 2009)