Numerische Mathematik (eBook)

Vorwort zur ersten Auflage 5
Vorwort zur zweiten Auflage 7
Vorwort zur dritten Auflage 9
1 Wichtige Phänomene des numerischen Rechnens 15
1.1 Numerische Algorithmen und Fehler 17
1.2 Fehlerfortplanzung, Kondition und numerische Instabilität 22
1.3 Rundungsfehler bei Gleitpunkt-Arithmetik 33
1.4 Aufgaben 46
2 Lineare Gleichungssysteme 53
2.1 Auflösung gestaffelter Systeme 53
2.2 LU-Faktorisierung und Gauß-Elimination 58
2.3 Pivot-Strategien und Nachiteration 64
2.4 Systeme mit speziellen Eigenschaften 85
2.4.1 Positiv definite Systeme 85
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme 90
2.4.3 Die Formel von Sherman und Morrison 95
2.5 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen 98
2.5.1 Normen 98
2.5.2 Singulärwertzerlegung, SVD 104
2.5.3 Fehlerabschätzungen, Kondition 109
2.5.4 Rundungsfehleranalyse der Gauß-Elimination 116
2.6 Iterative Verfahren 125
2.6.1 Konvergenz der Nachiteration 125
2.6.2 Spektralradius und Konvergenz einer Matrix 126
2.6.3 Spezielle Iterationsverfahren 129
2.6.4 Ausblick: Entwicklung neuer Iterationsverfahren 140
2.7 Aufgaben 150
3 Eigenwertprobleme 159
3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 159
3.1.1 Stetigkeitsaussagen 161
3.1.2 Eigenschaften symmetrischer Matrizen 164
3.1.3 Gerschgorin Kreise 165
3.2 Nichtsymmetrisches Eigenwertproblem: die Potenzmethode 169
3.2.1 Das Grundverfahren 169
3.2.2 Inverse Potenzmethode 174
3.2.3 Deflationstechniken 176
3.3 Symmetrisches Eigenwertproblem: QR-Methode 179
3.3.1 Transformationsmatrizen: Givens-Rotationen 179
3.3.2 Transformationsmatrizen: Householder-Reflexionen 186
3.3.3 Transformationsmatrizen: Schnelle Givens-Transformationen 191
3.3.4 QR-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme 196
3.4 Aufgaben 201
4 Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen 209
4.1 Problemstellung 209
4.2 Fixpunkt-Iteration 213
4.3 Newton-Verfahren 219
4.4 Das Verfahren von Müller 225
4.5 Intervall-Verfahren 229
4.6 Fehleranalyse der Iterationsverfahren 233
4.7 Techniken zur Konvergenzbeschleunigung 240
4.8 Globalisierung lokal konvergenter Verfahren 245
4.8.1 Dämpfungsstrategien 246
4.8.2 Homotopieverfahren 248
4.9 Nullstellen reeller Polynome 253
4.9.1 Anwendung des Newton-Verfahrens 253
4.9.2 Das QD-Verfahren 264
4.10 Aufgaben 271
5 Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen 279
5.1 Fixpunkte von Funktionen mehrerer Variablen 279
5.2 Newton-Verfahren 282
5.3 Quasi-Newton-Verfahren 288
5.4 Das Verfahren von Brown 293
5.5 Nichtlineares Ausgleichsproblem 300
5.5.1 Problemstellung 300
5.5.2 Gauß-Newton-Verfahren 302
5.5.3 Abstiegsverfahren 306
5.5.4 Levenberg-Marquardt-Verfahren 310
5.6 Deflationstechniken 316
5.7 Zur Kondition nichtlinearer Gleichungen 321
5.8 Aufgaben 324
6 Interpolation und Polynom-Approximation 331
6.1 Taylor-Polynome 332
6.2 Interpolation und Lagrange-Polynome 336
6.3 Vandermonde-Ansatz 344
6.4 Iterierte Interpolation 346
6.5 Dividierte Differenzen 350
6.6 Hermite-Interpolation 363
6.7 Kubische Spline-Interpolation 370
6.8 Trigonometrische Interpolation, DFT und FFT 384
6.9 Aufgaben 398
7 Ausgleichsprobleme, Methode der Kleinsten Quadrate 405
7.1 Diskrete Kleinste-Quadrate Approximation 405
7.1.1 Polynomapproximationen 405
7.1.2 Empirische Funktionen 412
7.1.3 Nichtlineare Approximation 418
7.2 Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 422
7.2.1 Polynomapproximation 422
7.2.2 Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 427
7.2.3 Harmonische Analyse 429
7.2.4 Konstruktion von Orthogonalsystemen 432
7.3 Aufgaben 442
8 Kleinste-Quadrate-Lösungen 449
8.1 Einführung 449
8.2 Eigenschaften der QR-Faktorisierung 451
8.3 Gram-Schmidt-Verfahren 453
8.4 Kleinste Quadrate Probleme 457
8.5 Methode der Normalgleichungen 462
8.6 LS-Lösung mittels QR-Faktorisierung 468
8.7 LS-Lösung mittels MGS 471
8.8 Schnelle Givens LS-Löser 474
8.9 Das LS-Problem für eine Matrix mit Rangabfall 476
8.10 Aufgaben 485
9 Numerische Differentiation und Integration 489
9.1 Numerische Differentiation 490
9.1.1 Beliebige Stützstellenverteilung 490
9.1.2 Äquidistante Stützstellenverteilung 496
9.1.3 Numerische Differentiation mit gestörten Daten 498
9.1.4 Differentiationsformeln ohne Differenzen 501
9.1.5 Extrapolation nach Richardson 505
9.2 Numerische Integration 510
9.2.1 Grundformeln zur Integration 511
9.2.2 Zusammengesetzte Quadraturformeln 521
9.2.3 Adaptive Techniken 526
9.2.4 Romberg-Integration 530
9.2.5 Gaußsche Quadraturformeln 535
9.3 Aufgaben 542
Literaturverzeichnis 549
Liste der verwendeten Symbole 559
Verzeichnis der Algorithmen 561
Verzeichnis der Matlab-Programme 563
Tabellenverzeichnis 565
Abbildungsverzeichnis 567
Index 14

aus: Die Wurzel (11/2006, S. 255) "Dieses Buch besticht zum einen durch die Fähigkeit des Autors, komplizierte Sachverhalte übersichtlich und verständlich (auch anhand von passenden Beisöielen) darzulegen und durch den tollen Schreibstil. Alle wichtigen Algorithmen sind außerdem auch in MATLAB®-Programmen dargestellt, was dem Leser ermöglicht, die Verfahren selbst am Computer auszuprobieren. (...) Insgesamt kann man dieses Buch allen Studenten und mathematisch Interessierten nur empfehlen. Es stellt eine umfassende Einführung in die Numerik dar, die kaum Vorwissen erfordert." "Many well chosen examples and exercises, throughout good motivations and sufficient details in exposition, furthermore presentation of many MATLAB routines, make reading the book not only highly instructive, but really enjoyable." Zentralblatt MATH (Mai 2007)