Mathematik für die ersten Semester (eBook)

I Grundlagen 13
1 Logik 15
2 Mengen 19
3 Relationen 27
3.1 Abbildungen 30
II Arithmetik 35
4 Die natürlichen Zahlen 37
4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion 37
4.2 Der binomische Satz 38
4.3 Primzahlen 41
5 Erweiterungen der Zahlenmenge 43
5.1 Die ganzen Zahlen 43
5.2 Gruppe 45
5.3 Die rationalen Zahlen 46
5.4 Körper 47
5.5 Die reellen Zahlen 48
5.6 Die komplexen Zahlen 49
III Elementare Geometrie 55
6 Ebene Geometrie 57
7 Trigonometrie 63
8 Vektoren 67
8.1 Vektoraddition 68
8.2 Skalarmultiplikation 69
8.3 Einheitsvektor 70
8.4 Skalarprodukt 71
8.5 Kreuzprodukt 74
8.6 Parallelverschiebung 75
8.7 Polarkoordinaten 76
8.8 Vektorraum 77
9 Geometrie des R3 81
9.1 Geradengleichungen 81
9.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden 83
9.3 Ebenengleichungen 85
9.4 Reguläre Polyeder 86
9.5 Orthonormalbasis 86
IV Lineare Algebra 91
10 Lineare Gleichungssysteme 93
10.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen 95
10.2 Elementaroperationen 95
10.3 Gaußsches Eliminationsverfahren 96
11 Matrizen 101
11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen 101
11.2 Die transponierte Matrix 103
11.3 Elementarmatrizen 104
11.4 Inversion von Matrizen 105
11.5 Das Matrixinversionsverfahren 107
12 Determinanten 111
12.1 Sätze über Determinanten 113
12.2 Berechnung von Determinanten 115
12.3 Die adjungierte Matrix 119
12.4 Die Cramersche Regel 121
13 Transformationen mit Matrizen 125
13.1 Drehungen 126
13.2 Streckung und Spiegelungen 129
13.3 Orthogonale Matrizen 130
13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme 132
14 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen 139
14.1 Das Verfahren nach Gauß und Seidel 139
14.2 Stabilität 140
V Algebra und Geometrie 141
15 Polynome 143
15.1 Geschlossene Lösungsverfahren 147
15.2 Approximation der Nullstellen 150
16 Zweidimensionale quadratische Formen 155
16.1 Allgemeine Gleichungen zweiten Grades 158
16.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 161
17 Die Kegelschnitte 163
17.1 Die Ellipse 163
17.2 Die Parabel 170
17.3 Die Hyperbel 172
17.4 Tangenten und Polaren der Kegelschnitte 178
17.5 Vergleich der Kegelschnitte 181
17.6 Begründung der Bezeichnung „Kegelschnitt“ 181
18 Sphärische Geometrie 189
18.1 Sphärische Trigonometrie 192
VI Infinitesimalrechnung 195
19 Folgen 197
20 Reihen 205
21 Stetige Funktionen 211
22 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 213
VII Differentialrechnung 217
23 Der Differentialquotient 219
23.1 Ableitungen einfacher Funktionen 220
23.2 Ableitungsregeln 222
24 Die Exponentialfunktion 227
24.1 Der natürliche Logarithmus 230
24.2 Grenzwerte 231
24.3 Irrationalität der Basis der natürlichen Logarithmen 233
24.4 Die allgemeine Potenz 233
24.5 Logarithmisches Differenzieren 234
25 Die Winkelfunktionen 237
25.1 Die Kreisbogenfunktionen 238
25.2 Die Hyperbelfunktionen 240
26 Kurvendiskussion 245
26.1 Beispiel einer Kurvendiskussion 246
27 Approximation von Funktionen 249
27.1 Der allgemeine binomische Satz 249
27.2 Fourier-Analyse 252
27.3 Die Taylor-Reihe 254
28 Funktionen mehrerer Variablen 261
28.1 Partielle Differentiation 261
28.2 Das totale Differential 263
28.3 Implizite Differentiation 264
VIII Integralrechnung 267
29 Das Integral 269
30 Integrationsmethoden 273
30.1 Direkte Integration 273
30.2 Integration mittels Substitution 274
30.3 Partielle Integration 275
30.4 Logarithmische Integration 277
30.5 Partialbruchzerlegung 278
30.6 Uneigentliche Integrale 281
31 Kurvenlänge und Kurvenkrümmung 285
32 Mehrfachintegrale 287
32.1 Rotationskörper 288
33 Integraltransformationen 291
33.1 Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten 291
33.2 Fourier-Transformation 292
33.3 Etwas Funktionentheorie 294
33.4 Laplace-Transformation 296
33.5 Rechenregeln für die Laplace-Transformation 299
IX Vektoranalysis 303
34 Differentiation von Feldern 305
34.1 Vektoralgebra 305
34.2 Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar 306
34.3 Räumliche Differentiation eines Feldes 307
34.4 Mehrfache Differentiation eines Feldes 310
34.5 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten 311
35 Integralsätze 315
35.1 Der Satz von Gauß 316
35.2 Greensche Sätze 318
35.3 Der Satz von Stokes 319
X Differentialgleichungen 323
36 Gewöhnliche Differentialgleichungen 325
36.1 Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 326
36.2 Lineare DGL mit Störfunktion 327
36.3 Trennung der Variablen 328
36.4 Lösen von DGL mit der Laplace-Transformation 328
Literatur 331
Stichwortverzeichnis 335