Distribution Theory

Prof. Dr. Gerrit van Dijk ist Emeritus des Mathematischen Instituts der Universität Leiden, Niederlande.

Preface 2 1 Definition and first properties of distributions 7 1.1 Test functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Support of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Differentiating distributions 13 2.1 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 The distributions x−1+ ( 6= 0,−1,−2, . . . )* . . . . . . . . . . 16 2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Green’s formula and harmonic functions . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Multiplication and convergence of distributions 27 3.1 Multiplication with a C1 function . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Convergence in D0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Distributions with compact support 31 4.1 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Distributions supported at the origin . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Taylor’s formula for Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4 Structure of a distribution* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 Convolution of distributions 36 5.1 Tensor product of distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Convolution product of distributions . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3 Associativity of the convolution product . . . . . . . . . . . . 44 5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.5 Newton potentials and harmonic functions . . . . . . . . . . . 45 5.6 Convolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.7 Symbolic calculus of Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.8 Volterra integral equations of the second kind . . . . . . . . . 52 5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.10 Systems of convolution equations* . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6 The Fourier transform 57 6.1 Fourier transform of a function on R . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2 The inversion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3 Plancherel’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.4 Differentiability properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.5 The Schwartz space S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.6 The space of tempered distributions S0(R) . . . . . . . . . . . 65 6.7 Structure of a tempered distribution* . . . . . . . . . . . . . 66 6.8 Fourier transform of a tempered distribution . . . . . . . . . 67 6.9 Paley Wiener theorems on R* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.11 Fourier transform in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.12 The heat or diffusion equation in one dimension . . . . . . . . 75 7 The Laplace transform 79 7.1 Laplace transform of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2 Laplace transform of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.3 Laplace transform and convolution . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4 Inversion formula for the Laplace transform . . . . . . . . . . 84 8 Summable distributions* 87 8.1 Definition and main properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8.2 The iterated Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3 Proof of the main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.4 Canonical extension of a summable distribution . . . . . . . . 91 8.5 Rank of a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 9 Appendix 96 9.1 The Banach-Steinhaus theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9.2 The beta and gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Bibliography 108 Index 109