Lineare Algebra und Geometrie

1 Einführende Betrachtungen.- 1.1 Koordinaten.- 1.2 Vektoren.- 1.3 Abbildungen der Ebene.- 2 Vorbereitungen.- 2.1 Mengen.- 2.2 Vollständige Induktion und Widerspruchsbeweis und einige Anwendungen.- 2.3 Über transfinite Induktion und das Zornsche Lemma.- 3 Gruppen und Körper.- 3.1 Verknüpfungen: Definitionen und Beispiele.- 3.2 Gruppen.- 3.3 Körper und Ringe. Operationen.- 4 Vektorräume und affine Räume.- 4.1 Definition, Beispiele und einfache Eigenschaften.- 4.2 Unterraum, Summe und Faktorraum.- 4.3 Lineare Abhängigkeit, Basis und Dimension.- 4.4 Lineare Abbildungen, I.- 4.5 Lineare Abbildungen, II.- 4.6 Der duale Raum.- 4.7 Affine Räume.- 5 Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme.- 5.1 Lineare Gleichungssysteme, I.- 5.2 Determinanten.- 5.3 Erneut Matrizen.- 5.4 Lineare Gleichungssysteme, II.- 5.5 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme.- 5.6 Fehleranalyse.- 6 Euklidische und unitäre Vektorräume und Räume.- 6.1 Skalarprodukt und Orthogonalität.- 6.2 Orthogonale und unitäre Abbildungen.- 6.3 Normalform orthogonaler und unitärer Abbildungen.- 6.4 Euklidische Räume.- 6.5 Affine Abbildungen und Bewegungen.- 6.6 Banachräume und Banachalgebren.- 6.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 7 Polynome und Matrizen.- 7.1 Polynome.- 7.2 Eigenwerte, -vektoren und charakteristisches Polynom einer Matrix.- 7.3 Diagonalisierbare Matrizen.- 7.4 Allgemeine Normalformen.- 8 Lineare Optimierung.- 8.1 Beispiele und Problemstellung.- 8.2 Konvexe Mengen und Funktionen.- 8.3 Lineare Optimierung. Das Simplexverfahren.- 8.4 Dualitätstheorie.- 9 Multilineare Algebra.- 9.1 Tensorprodukt.- 9.2 Die Grassmannalgebra.- 9.3 Vektorprodukt, Spatprodukt und Volumen.- 10 Einführung in die Gruppentheorie.- 10.1 Normalteiler, Faktorgruppenund Homomorphismen.- 10.2 Abelsche Gruppen.- 10.3 Fortführung der Gruppentheorie.- 10.4 Die Sylow-Sätze.- 11 Affine Geometrie.- 11.1 Hyperflächen 2. Ordnung.- 11.2 Keplersche Gesetze und Kegelschnitte.- 11.3 Ellipsen.- 11.4 Hyperbeln.- 11.5 Parabeln.- 12 Projektive Geometrie.- 12.1 Die projektive Ebene.- 12.2 Der projektive Raum.- 12.3 Dualität in projektiven Räumen.- 12.4 Der affine Raum als Teilraum des projektiven Raumes.- 12.5 Das Doppelverhältnis.- 12.6 Quadratische Formen und Kegelschnitte.- 12.7 Kegelschnitte und Polaritäten in der projektiven Ebene.- 13 Geometrien.- 13.1 Erlanger Programm.- 13.2 Gebrochen-lineare Transformationen.- 13.3 Das Poincarésche Modell der nicht-euklidischen Ebene.- 13.4 Sphärische Trigonometrie und Navigation.- 13.5 Über die elliptische Ebene.- 13.6 Projektive Maßbestimmungen.- 14 Über Grundlagen der Geometrie.- 14.1 Axiome der euklidischen Ebene.- 14.2 Begründung der analytischen Geometrie.- 14.3 Herleitung der benutzten Sätze aus den Axiomen.- 14.4 Über den Satz des Pythagoras und ähnliche Dreiecke.- 15 Umsetzung der Algorithmen in ein einfaches Algebrasystem.- Literatur.- Symbole.