Vorlesungen über Orthogonalreihen

I. Orthogonale Funktionensysteme.-
l. Voraussetzungen.-
2. Orthogonalisierung eines Funktionensystems.-
3. Orthogonale Polynome.-
4. Approximation im Mittel.-
5. Abzählbarkeit eines orthogonalen Funktionensystems.-
6. Vollständige Funktionensysteme, Parsevalsche Gleichung.-
7. Konvergenz im Mittel.-
8. Der Satz von Weyl über die Konvergenz im Mittel.-
9. Der Satz von Fischer-Riesz.-
10. Abgeschlossene Funktionensysteme, Äquivalenz von Abgeschlossenheit und Vollständigkeit.-
11. Die Bedingungen von Lauricella, Vitali und Dalzell für die Vollständigkeit eines Funktionensystems.-
12. Vollständigkeit des Systems der trigonometrischen Funktionen.-
13. Vollständigkeit des Systems der Potenzen von x.-
14- Folgerungen aus der Parsevalschen Gleichung.-
15. Verallgemeinerung der Parsevalschen Gleichung.-
16. Weitere Verallgemeinerungen und Hinweise.- II. Allgemeine Theorie der trigonometrischen Reihen.-
l. Einleitung.-
2. Entwicklung der total stetigen Funktionen.-
3. sin- und cos-Reihen.-
4. Beispiele für Fourier-Entwicklungen.-
5. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung. Funktionen mit beschränkter Schwankung.-
6. Das Verhalten der Fourier-Koeffizienten für n ? ?.-
7. Der Riemannsche Satz über das lokale Verhalten einer Fourier-Reihe.-
8. Einfache Folgerungen aus dem Riemannschen Satz.-
9. Konvergenzbedingungen von Dirichlet, Dini und Lipschitz.-
10. Über eine Eigenschaft der Partialsummen einer Fourier-Reihe.- III. Konvergenzeigenschaften der trigonometrischen Reihen.-
1. Über die absolute Konvergenz trigonometrischer Reihen.-
2. Über die gleichmäßige Konvergenz, die Integration und Differentiation der trigonometrischen Reihen.-
3. Über das CesàroscheSummationsverfahren.-
4. Der Fejérsche Satz über die C1-Summierbarkeit der Fourier-Reihen.-
5. Der Satz von Frobenius und die Abelsche Summation von Fourier-Reihen.-
6. Die Riemannsche Summationsmethode.-
7. Der Eindeutigkeitssatz für trigonometrische Reihen.-
8. Das Fouriersche Integral.-
9. Eigenschaften der Fourierschen Transformation.- IV. Allgemeine Eigenschaften von orthogonalen Polynomen.-
1. Einleitung.-
2. Die Rekursionsformel und die Summationsformel von Christoffel-Darboux.-
3. Die Formel von Rodriguez.-
4. Die Differentialgleichung der klassischen orthogonalen Polynome.-
5. Änderung der Belegungsfunktion.-
6. Über die Lage der Nullstellen eines orthogonalen Polynoms.- V. Orthogonale Polynome mit endlichem Grundintervall.-
l. Eigenschaften der Eulerschen Funktionen.-
2. Haupteigenschaften der hypergeometrischen Funktion.-
3. Haupteigenschaften der konfluenten hypergeometrischen Funktion.-
4. Jacobische Polynome.-
5. Weitere Eigenschaften der Jacobischen Polynome.-
6. Die Nullstellen der Jacobischen Polynome.-
7. Ultrasphärische Polynome (Gegenbauersche Polynome).-
8. Die Nullstellen der ultrasphärischen Polynome.-
9. Tschebyscheffsche Polynome.-
10. Legendresche Polynome.-
11. Die zweite Lösung der Legendreschen Differentialgleichung.-
12. Kugelfunktionen mit ganzen Indizes.-
13. Kugelfunktionen mit beliebigen Indizes.- VI. Orthogonale Polynome mit unendlichem Grundintervall.-
1. Laguerresche Polynome.-
2. Asymptotisches Verhalten und Nullstellen der Laguerreschen Polynome.-
3. Hermitesche Polynome.-
4. Über das Konvergenz verhalten der Reihen von Jacobischen Polynomen.-
5. Vollständigkeit der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome.-
6. Entwicklung in eineReihe Laguerrescher Polynome.-
7. Beispiele für Reihenentwicklungen nach orthogonalen Polynomsystemen mit endlichem Grundintervall.-
8. Beispiele für Reihenentwicklungen nach Laguerreschen und Hermiteschen Polynomen.- Tabelle der Konstanten der orthogonalen Polynome.- Namenverzeichnis.