Elementare Algebra und Zahlentheorie (eBook)

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 8
0 Voraussetzungen aus den Grundvorlesungen 11
0.1 Äquivalenzklassen, Gruppen, Ringe 11
0.2 Polynomring 15
0.3 Ergänzung: Formale Potenzreihen 23
Übungen 24
1 Natürliche und ganze Zahlen 25
1.1 Axiomatik bzw. Konstruktion 25
1.2 Zahldarstellungen 29
Übungen 32
2 Teilbarkeit und Primzahlen 33
2.1 Teilbarkeit in Integritätsbereichen 33
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik 39
2.3 Unendlichkeit der Primzahlmenge 42
2.4 Ergänzung: Primzahlsatz und Riemannsche Zetafunktion 43
2.5 Sieb des Eratosthenes 44
Übungen 46
3 Hauptidealringe, euklidischer Algorithmus und diophantische Gleichungen 48
3.1 Größter gemeinsamer Teiler 48
3.2 Eindeutige Primfaktorzerlegung 52
3.3 Euklidischer Algorithmus und euklidische Ringe 54
3.4 Lineare diophantische Gleichungen 58
3.5 Ergänzung: Multiplikative Funktionen 60
Übungen 62
4 Kongruenzen und Ideale 64
4.1 Kongruenzen 64
4.2 Restklassenring und Homomorphiesatz 70
4.3 Simultane Kongruenzen und chinesischer Restsatz 75
4.4 Lineare Kongruenzen und prime Restklassengruppe 81
4.5 Ergänzung: Polynomiale Kongruenzen 86
4.6 Ergänzung: Gauß’sche Primzahlen 90
Übungen 93
5 Gruppen 95
5.1 Grundbegriffe 95
5.2 Nebenklassen, Faktorgruppe und Homomorphiesatz 107
5.3 Isomorphiesätze und direktes Produkt 116
5.4 Ergänzung: Semidirektes Produkt 121
Übungen 122
6 Operationen von Gruppen auf Mengen 124
6.1 Grundbegriffe 124
6.2 Bahnformel und Klassengleichung 128
6.3 Ergänzung: Sätze von Sylow 131
Übungen 134
7 Abelsche Gruppen und Charaktere 136
7.1 Abelsche Gruppen und der Hauptsatz 136
7.2 Charaktergruppe 143
7.3 Diskrete Fouriertransformation 147
7.4 Ergänzung: Moduln über Hauptidealringen 153
Übungen 162
8 Prime Restklassengruppe und quadratische Reste 164
8.1 Struktur der primen Restklassengruppe 164
8.2 Primitivwurzeln und Potenzreste 171
8.3 Das quadratische Reziprozitätsgesetz 177
8.4 Ergänzung: Primzahltests 189
Übungen 195
9 Körper und Körpererweiterungen 198
9.1 Konstruktion von Körpern 198
9.2 Körpererweiterungen 203
9.3 Nullstellen von Polynomen in Erweiterungskörpern 209
9.4 Zerf ällungskörper und algebraischer Abschluss 214
9.5 Ergänzung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 221
Übungen 224
10 Endliche Körper 226
10.1 Konstruktion und Klassifikation 226
10.2 Erweiterungen endlicher Körper und Automorphismen 232
10.3 Endliche K örper und quadratisches Reziprozitätsgesetz 234
Übungen 237
11 Endliche Körper und Faktorisierung von Polynomen 239
11.1 Gauß’sches Lemma und Irreduzibilitätskriterien 239
11.2 Ergänzung: Algorithmische Faktorzerlegung über endlichen Körpern 243
Übungen 251
Sachverzeichnis 252