Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch (eBook)

Inhaltsverzeichnis 7
1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 10
1.1 Folgen 10
1.1.1 Arithmetische Folgen 18
1.1.2 Geometrische Folgen 22
1.2 Reihen 29
1.2.1 Arithmetische endliche Reihen 29
1.2.2 Geometrische endliche Reihen 31
1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen 35
1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen 38
2. Grenzwert einer reellen Funktion und Stetigkeit 44
2.1 Grenzwert einer reellen Funktion 44
2.2 Stetigkeit von reellen Funktionen 49
2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen 53
2.2.2 Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen 55
3. Differentialrechnung 72
3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient 72
3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten 78
3.2 Ableitungsregeln für Funktionen 82
3.2.1 Ableitung der linearen Funktion 82
3.2.2 Potenzregel 82
3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel 85
3.2.4 Produktregel 87
3.2.5 Quotientenregel 88
3.2.6 Kettenregel 90
3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung 94
3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion 99
3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen 108
3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen 114
3.2.11 Höhere Ableitungen 120
3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung 123
3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung 132
3.2.14 Krümmung ebener Kurven 137
3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken 143
3.3 Kurvenuntersuchungen 147
3.4 Extremwertaufgaben 186
3.5 Das Differential einer Funktion 199
3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung 200
3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung 203
3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 207
3.6.1 Das Newton-Verfahren 207
3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi) 212
3.7 Interpolationskuven 216
3.8 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 226
3.8.1 Allgemeines 226
3.8.2 Partielle Ableitungen 231
3.9 Fehlerrechnung 245
3.10 Ausgleichsrechnung 251
4. Integralrechnung 262
4.1 Das unbestimmte Integral 262
4.2 Das bestimmte Integral 265
4.3 Integrationsmethoden 273
4.3.1 Grundintegrale 273
4.3.2 Integration durch Substitution 281
4.3.3 Partielle Integration 286
4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung 289
4.5 Numerische Integration 303
4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel 303
4.5.2 Kepler- und Simpsonregel 307
4.6 Anwendungen der Integralrechnung 315
4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve 315
4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten 324
4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve 324
4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven 331
4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern 338
4.6.3 Volumsberechnung 343
4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten 351
4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes 352
4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche 354
4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche 361
4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers 362
4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten 365
4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment 365
4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment 370
4.6.6 Berechnung von Biegelinien 375
4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen 387
4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik 396
4.6.9 Berechnung von Mittelwerten 399
4.7 Mehrfachintegrale 411
4.7.1 Doppelintegrale 411
4.7.2 Dreifachintegrale 417
Übungsbeispiele 423
1. Folgen, Reihen und Grenzwerte 423
1.1 Folgen 423
1.1.1 Arithmetische Folgen 424
1.1.2 Geometrische Folgen 424
1.2 Reihen 425
1.2.1 Arithmetische endliche Reihen 425
1.2.2 Geometrische endliche Reihen 425
1.3 Grenzwerte von unendlichen Folgen 426
1.4 Grenzwerte von unendlichen Reihen 427
2. Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit 428
2.1 Grenzwerte einer reellen Funktion 428
2.2. Stetigkeit von reellen Funktionen 429
2.2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen 429
2.2.2 Verhalten von reellen Funktionen im Unendlichen 429
3. Differentialrechnung 430
3.1 Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient 430
3.1.1 Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten 431
3.2 Ableitungsregeln für Funktionen 432
3.2.1 Ableitung der linearen Funktion 432
3.2.2 Potenzregel 432
3.2.4 Produktregel 433
3.2.3 Konstanter Faktor und Summenregel 433
3.2.5 Quotientenregel 434
3.2.6 Kettenregel 434
3.2.7 Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung 434
3.2.8 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion 435
3.2.9 Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen 436
3.2.10 Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen 438
3.2.11 Höhere Ableitungen 439
3.2.12 Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung 440
3.2.13 Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung 441
3.2.14 Krümmung ebener Kurven 442
3.2.15 Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken 442
3.3 Kurvenuntersuchungen 443
3.4 Extremwertaufgaben 447
3.5 Das Differential einer Funktion 450
3.5.1 Angenäherte Funktionswertberechnung 451
3.5.2 Angenäherte Fehlerbestimmung 452
3.6 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen 452
3.6.1 Das Newton-Verfahren 452
3.6.2 Das Sekantenverfahren (Regula Falsi) 453
3.7 Interpolationskuven 454
3.8 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 455
3.8.1 Allgemeines 455
3.8.2 Partielle Ableitungen 456
3.9 Fehlerrechnung 458
3.10 Ausgleichsrechnung 459
4. Integralrechnung 463
4.1 Das unbestimmte Integral 463
4.2 Das bestimmte Integral 463
4.3 Integrationsmethoden 464
4.3.1 Grundintegrale 464
4.3.2 Integration durch Substitution 465
4.3.3 Partielle Integration 467
4.3.4 Integration durch Partialbruchzerlegung 468
4.4 Uneigentliche Integrale 468
4.4.1 Uneigentliche Integrale 1. Art 468
4.4.2 Uneigentliche Integrale 2. Art 469
4.5 Numerische Integration 469
4.5.1 Mittelpunkts- und Trapezregel 469
4.5.2 Kepler- und Simpsonregel 470
4.6 Anwendungen der Integralrechnung 470
4.6.1 Bogenlänge einer ebenen Kurve 470
4.6.2 Berechnung von Flächeninhalten 471
4.6.2.1 Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve 471
4.6.2.2 Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven 472
4.6.2.3 Mantelflächen von Rotationskörpern 473
4.6.3 Volumsberechnung 474
4.6.4 Berechnung von Schwerpunkten 475
4.6.4.1 Schwerpunkt eines Kurvenstückes 475
4.6.4.2 Schwerpunkt einer Fläche 476
4.6.4.3 Schwerpunkt einer Drehfläche 478
4.6.4.4 Schwerpunkt eines Drehkörpers 478
4.6.5 Berechnung von Trägheitsmomenten 479
4.6.5.1 Das Massenträgheitsmoment 479
4.6.5.2 Das Flächenträgheitsmoment 480
4.6.6 Berechnung von Biegelinien 481
4.6.7 Berechnung von Arbeitsintegralen 482
4.6.8 Berechnungen aus der Hydromechanik 482
4.6.9 Berechnung von Mittelwerten 482
4.7 Mehrfachintegrale 484
4.7.1 Doppelintegrale 484
4.7.2 Dreifachintegrale 485
Literaturverzeichnis 488
Sachwortverzeichnis 490