Differentialgeometrie (eBook)

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 7
Kapitel 1Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der Analysis 9
Kapitel 2 Kurven im IRn 13
2A Frenet–Kurven im IRn 13
2B Ebene Kurven und Raumkurven 18
2C Bedingungen an Krümmung und Torsion 22
2D Die Frenet–Gleichungen und der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie 26
2E Kurven im Minkowski–Raum IR3 31
2F Globale Kurventheorie 33
Kapitel 3 Lokale Flächentheorie 45
3A Flächenstücke, erste Fundamentalform 45
3B Die Gauß–Abbildung und Krümmungen von Flächen 52
3C Drehflächen und Regelflächen 60
3D Minimalflächen 74
3E Flächen im Minkowski–Raum IR3 86
3F Hyperflächen im IRn+1 93
Kapitel 4 Die innere Geometrie von Flächen 101
4A Die kovariante Ableitung 102
4B Parallelverschiebung und Geodätische 106
4C Die Gauß–Gleichung und das Theorema Egregium 110
4D Der Hauptsatz der lokalen Flächentheorie 115
4E Die Gauß–Krümmung in speziellen Parametern 118
4F Der Satz von Gauß–Bonnet 124
4G Ausgewählte Kapitel der globalen Flächentheorie 134
Kapitel 5RiemannscheMannigfaltigkeiten 147
5A Der Mannigfaltigkeits-Begriff 148
5B Der Tangentialraum 152
5C Riemannsche Metriken 157
5D Der Riemannsche Zusammenhang 161
Kapitel 6 Der Krümmungstensor 173
6A Tensoren 173
6B Die Schnittkrümmung 179
6C Der Ricci–Tensor und der Einstein–Tensor 184
Kapitel 7 Räume konstanter Krümmung 195
7A Der hyperbolische Raum 195
7B Geodätische und Jacobi–Felder 202
7C Das Raumformen–Problem 213
7D Dreidimensionale euklidische und sphärische Raumformen 217
Kapitel 8 Einstein–Räume 227
8A Die Variation des Hilbert–Einstein–Funktionals 229
8B Die Einsteinschen Feldgleichungen 235
8C Homogene Einstein–Räume 239
8D Die Zerlegung des Krümmungstensors 242
8E Die Konformkrümmung 250
8F Dualität für 4-Mannigfaltigkeiten, Petrov–Typen 256
Lösungen ausgewählter Übungsaufgaben 264
Lehrbücher zurDifferentialgeometrie 282
Lehrbücher zur Riemannschen Geometrie 282
Andere Lehrbuch-Literatur 282
Verzeichnis mathematischer Symbole 283
Index 284