Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 (eBook)

Vorwort 4
Inhaltsverzeichnis 7
Inhaltsübersicht Band 2 19
Inhaltsübersicht Band 3 21
I Allgemeine Grundlagen 23
1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen 23
1.1 Definition und Darstellung einer Menge 23
1.2 Mengenoperationen 25
2 Die Menge der reellen Zahlen 28
2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften 28
2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag 29
2.3 Teilmengen und Intervalle 30
3 Gleichungen 31
3.1 Lineare Gleichungen 32
3.2 Quadratische Gleichungen 32
3.3 Gleichungen 3. und höheren Grades 33
3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung 33
3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax3 þ bx2 þ cx ¼ 0 34
3.3.3 Biquadratische Gleichungen 34
3.4 Wurzelgleichungen 35
3.5 Betragsgleichungen 37
3.5.1 Definition der Betragsfunktion 37
3.5.2 Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel) 40
3.5.3 Lösung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege (Beipiel) 41
4 Ungleichungen 42
5 Lineare Gleichungssysteme 45
5.1 Ein einführendes Beispiel 45
5.2 Der Gaußsche Algorithmus 48
5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes 57
6 Der Binomische Lehrsatz 59
Übungsaufgaben 63
Zu Abschnitt 1 und 2 63
Zu Abschnitt 3 63
Zu Abschnitt 4 64
Zu Abschnitt 5 64
Zu Abschnitt 6 66
II Vektoralgebra 67
1 Grundbegriffe 67
1.1 Definition eines Vektors 67
1.2 Gleichheit von Vektoren 68
1.3 Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren 69
1.4 Vektoroperationen 70
1.4.1 Addition von Vektoren 71
1.4.2 Subtraktion von Vektoren 73
1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 74
2 Vektorrechnung in der Ebene 76
2.1 Komponentendarstellung eines Vektors 76
2.2 Darstellung der Vektoroperationen 80
2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 80
2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 81
2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren 83
2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes 83
2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 86
2.4 Linear unabhängige Vektoren 89
2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems 91
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum 93
3.1 Komponentendarstellung eines Vektors 94
3.2 Darstellung der Vektoroperationen 97
3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 97
3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 99
3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren 101
3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes 101
3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren 104
3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors 105
3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor 107
3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft 110
3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren 112
3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes 112
3.4.2 Anwendungsbeispiele 118
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) 120
3.6 Linear unabhängige Vektoren 124
4 Anwendungen in der Geometrie 127
4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden 127
4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden 127
4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden 129
4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden 130
4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden 132
4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden 134
4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden 136
4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene 139
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene 139
4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene 141
4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor 144
4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene 145
4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene 147
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene 148
4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen 152
4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen 154
Übungsaufgaben 157
Zu Abschnitt 2 und 3 157
Zu Abschnitt 4 163
III Funktionen und Kurven 168
1 Definition und Darstellung einer Funktion 168
1.1 Definition einer Funktion 168
1.2 Darstellungsformen einer Funktion 169
1.2.1 Analytische Darstellung 169
1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) 170
1.2.3 Graphische Darstellung 170
1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion 171
2 Allgemeine Funktionseigenschaften 173
2.1 Nullstellen 173
2.2 Symmetrieverhalten 174
2.3 Monotonie 176
2.4 Periodizität 179
2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion 181
3 Koordinatentransformationen 185
3.1 Ein einführendes Beispiel 185
3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems 186
3.3 Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten 190
3.3.1 Definition der Polarkoordinaten 190
3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten 193
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 195
4.1 Reelle Zahlenfolgen 195
4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge 195
4.1.2 Grenzwert einer Folge 197
4.2 Grenzwert einer Funktion 199
4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x ! x 0 199
4.2.2 Grenzwert einer Funktion für x 203
4.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte 205
4.2.4 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems 206
4.3 Stetigkeit einer Funktion 207
4.4 Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge) 208
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 212
5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion 212
5.2 Konstante und lineare Funktionen 213
5.3 Quadratische Funktionen 216
5.4 Polynomfunktionen höheren Grades 220
5.5 Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion 225
5.6 Interpolationspolynome 229
5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung 229
5.6.2 Interpolationspolynom von Newton 230
5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens 234
6 Gebrochenrationale Funktionen 234
6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion 234
6.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole 235
6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen 241
6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators 244
7 Potenz- und Wurzelfunktionen 245
7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten 245
7.2 Wurzelfunktionen 247
7.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten 250
7.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld 251
8 Kegelschnitte 252
8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten 252
8.2 Gleichungen eines Kreises 253
8.3 Gleichungen einer Ellipse 254
8.4. Gleichungen einer Hyperbel 256
8.5. Gleichungen einer Parabel 259
8.6 Beispiele zu den Kegelschnitten 261
9 Trigonometrische Funktionen 265
9.1 Grundbegriffe 265
9.2 Sinusund Kosinusfunktion 270
9.3 Tangensund Kotangensfunktion 271
9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen 272
9.5 Anwendungen in der Schwingungslehre 274
9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) 274
9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm 280
9.5.3 Superposition (berlagerung) gleichfrequenter Schwingungen 287
9.5.4 Lissajous-Figuren 292
10 Arkusfunktionen 293
10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen 293
10.2 Arkussinusfunktion 294
10.3 Arkuskosinusfunktion 296
10.4 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion 297
10.5 Trigonometrische Gleichungen 300
11 Exponentialfunktionen 302
11.1 Grundbegriffe 302
11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion 302
11.3 Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-Funktionen 304
11.3.1 Abklingfunktionen 304
11.3.2 Sättigungsfunktionen 307
11.3.3 Wachstumsfunktionen 310
11.3.4 Gedämpfte Schwingungen 311
11.3.5 Gauß-Funktionen 313
12 Logarithmusfunktionen 314
12.1 Grundbegriffe 314
12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion 317
12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen 320
13 Hyperbel- und Areafunktionen 322
13.1 Hyperbelfunktionen 322
13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen 322
13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x 323
13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x 325
13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen 326
13.2 Areafunktionen 327
13.2.1 Definition der Areafunktionen 327
13.2.2 Die Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x 327
13.2.3 Die Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x 328
13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen 329
13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes 330
Übungsaufgaben 331
Zu Abschnitt 1 331
Zu Abschnitt 2 332
Zu Abschnitt 3 333
Zu Abschnitt 4 334
Zu Abschnitt 5 335
Zu Abschnitt 6 338
Zu Abschnitt 8 339
Zu Abschnitt 11, 12 und 13 342
IV Differentialrechnung 345
1 Differenzierbarkeit einer Funktion 345
1.1 Das Tangentenproblem 345
1.2 Ableitung einer Funktion 346
1.3 Ableitung der elementaren Funktionen 350
2 Ableitungsregeln 353
2.1 Faktorregel 353
2.2 Summenregel 354
2.3 Produktregel 355
2.4 Quotientenregel 357
2.5 Kettenregel 359
2.6 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln 365
2.7 Logarithmische Ableitung 366
2.8 Ableitung der Umkehrfunktion 368
2.9 Implizite Differentiation 369
2.10 Differential einer Funktion 372
2.11 Höhere Ableitungen 374
2.12 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) 376
2.13 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve 379
2.14 Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 383
2.14.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung) 383
2.14.2 Induktionsgesetz 386
2.14.3 Elektrischer Schwingkreis 387
3 Anwendungen der Differentialrechnung 388
3.1 Tangente und Normale 388
3.2 Linearisierung einer Funktion 390
3.3 Monotonie und Krümmung einer Kurve 393
3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen 393
3.3.2 Monotonie 394
3.3.3 Krümmung einer ebenen Kurve 396
3.4 Charakteristische Kurvenpunkte 404
3.4.1 Relative oder lokale Extremwerte 404
3.4.2 Wendepunkte, Sattelpunkte 410
3.4.3 Ergänzungen 414
3.5 Extremwertaufgaben 416
3.6 Kurvendiskussion 422
3.7 Näherungsweise Lösung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren von Newton 428
3.7.1 Iterationsverfahren 428
3.7.2 Tangentenverfahren von Newton 429
Übungsaufgaben 436
Zu Abschnitt 1 436
Zu Abschnitt 2 436
Zu Abschnitt 3 440
V Integralrechnung 444
1 Integration als Umkehrung der Differentiation 444
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt 448
2.1 Ein einführendes Beispiel 448
2.2 Das bestimmte Integral 451
3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion 458
4 Der Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung 462
5 Grund- oder Stammintegrale 466
6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion 468
7 Elementare Integrationsregeln 472
8 Integrationsmethoden 475
8.1 Integration durch Substitution 475
8.1.1 Ein einführendes Beispiel 475
8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen 476
8.2 Partielle Integration oder Produktintegration 484
8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden 490
8.3.1 Partialbruchzerlegung 491
8.3.2 Integration der Partialbrüche 493
8.4 Numerische Integrationsmethoden 497
8.4.1 Trapezformel 498
8.4.2 Simpsonsche Formel 503
9 Uneigentliche Integrale 509
9.1 Unendliches Integrationsintervall 510
9.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol) 514
10 Anwendungen der Integralrechnung 517
10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik 517
10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung 517
10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens 520
10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes 522
10.2 Flächeninhalt 523
10.2.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen) 523
10.2.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven 528
10.3 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen) 534
10.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve 540
10.5 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche) 543
10.6 Arbeitsund Energiegrößen 547
10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte 553
10.8 Schwerpunkt homogener Flächen und Ko¨rper 558
10.8.1 Grundbegriffe 558
10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche 560
10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers 566
10.9 Massenträgheitsmomente 571
10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele 571
10.9.2 Satz von Steiner 574
10.9.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers 576
Übungsaufgaben 581
Zu Abschnitt 1 bis 7 581
Zu Abschnitt 8 584
Zu Abschnitt 9 586
Zu Abschnitt 10 587
VI Potenzreihenentwicklungen 592
1 Unendliche Reihen 592
1.1 Ein einführendes Beispiel 592
1.2 Grundbegriffe 594
1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe 594
1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe 595
1.2.3 ber den Umgang mit unendlichen Reihen 599
1.3 Konvergenzkriterien 600
1.3.1 Quotientenkriterium 601
1.3.2 Wurzelkriterium 605
1.3.3 Vergleichskriterien 605
1.3.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen 608
1.4 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen 610
2 Potenzreihen 612
2.1 Definition einer Potenzreihe 612
2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe 613
2.3 Eigenschaften der Potenzreihen 618
3 Taylor-Reihen 619
3.1 Ein einführendes Beispiel 620
3.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion 621
3.2.1 Mac Laurinsche Reihe 621
3.2.2 Taylorsche Reihe 629
3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen 630
3.3 Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen 632
3.3.1 Näherungspolynome einer Funktion 632
3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden 643
3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital 646
3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes 652
Übungsaufgaben 655
Zu Abschnitt 1 655
Zu Abschnitt 2 657
Zu Abschnitt 3 657
VII Komplexe Zahlen und Funktionen 662
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl 662
1.1 Definition einer komplexen Zahl 662
1.2 Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene 665
1.3 Weitere Grundbegriffe 668
1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl 671
1.4.1 Algebraische oder kartesische Form 671
1.4.2 Trigonometrische Form 671
1.4.3 Exponentialform 674
1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen 676
1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 677
2 Komplexe Rechnung 683
2.1 Grundrechenarten für komplexe Zahlen 683
2.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 683
2.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen 685
2.1.3 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung) 694
2.2 Potenzieren 695
2.3 Radizieren (Wurzelziehen) 697
2.4 Natürlicher Logarithmus 703
3 Anwendungen der komplexen Rechnung 705
3.1 Symbolische Darstellung harmonischer Schwingungen im Zeigerdiagramm 705
3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger 705
3.1.2 Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen 709
3.1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen 712
3.2 Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises 713
3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik 713
3.2.2 Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte 715
3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung 720
4 Ortskurven 723
4.1 Ein einführendes Beispiel 723
4.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe 724
4.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen 727
4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität (Widerstandsortskurve) 727
4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität (Leitwertortskurve) 728
4.4 Inversion einer Ortskurve 729
4.4.1 Inversion einer komplexen Größe (Zahl) 729
4.4.2 Inversionsregeln 731
4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve 733
Übungsaufgaben 736
Zu Abschnitt 1 736
Zu Abschnitt 2 737
Zu Abschnitt 3 739
Zu Abschnitt 4 741
Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben 743
I Allgemeine Grundlagen 743
II Vektoralgebra 750
III Funktionen und Kurven 762
IV Differentialrechnung 777
V Integralrechnung 796
VI Potenzreihenentwicklungen 806
VII Komplexe Zahlen und Funktionen 819
Literaturhinweise 830
Sachwortverzeichnis 831