Mathematik für das Bachelorstudium I (eBook)

Matthias Plaue arbeitet an der TU Berlin an zahlreichen Projekten, welche von der Forschung in der Differenzialgeometrie und Bildverarbeitung bis zur Entwicklung von Lehrkonzepten reichen.Mike Scherfner forscht auf den Gebieten der Differenzialgeometrie und mathematischen Physik, ist Leiter verschiedener Projekte am Institut für Mathematik der TU Berlin und hält dort regelmäßig erfolgreiche Vorlesungen.

Einleitung
I Grundlagen
1 Elementare Logik und Mengenlehre
1.1 Einblick
1.2 Aussagen, Junktoren und Wahrheitstafeln
1.3 Sätze der Aussagenlogik
1.4 Prädikate und Quantoren
1.5 Mengen
1.6 Zahlen und Intervalle
1.7 Eigenschaften und Verknüpfungen von Mengen
1.8 Ausblick
1.9 Selbsttest
2 Definition, Satz, Beweis und mehr
2.1 Einblick
2.2 Grundlegendste Elemente bei der Formulierung von Mathematik
2.3 Formen des Beweisens
2.3.1 Direkte und indirekte Beweise
2.3.2 Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise
2.3.3 Der Ringschluss
2.3.4 Das Gegenbeispiel
2.3.5 Vollständige Induktion
2.4 Ausblick
2.5 Selbsttest
3 Abbildungen
3.1 Einblick
3.2 Grundlegendes zu Abbildungen
3.3 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
3.4 Die Komposition von Abbildungen
3.5 Ausblick
3.6 Selbsttest
4 Körper und komplexe Zahlen
4.1 Einblick
4.2 Körper
4.3 Die komplexen Zahlen
4.4 Ausblick
4.5 Selbsttest
Aufgaben zu den mathematischen Grundlagen
II Lineare Algebra
5 Vektorräume
5.1 Einblick
5.2 Grundlegendes zu Vektorräumen
5.3 Ausblick
5.4 Selbsttest
6 Basen und Untervektorräume
6.1 Einblick
6.2 Spann und Erzeugendensystem
6.3 Lineare Unabhängigkeit, Basis
6.4 Eindeutigkeit der Basisdarstellung, Untervektorräume
6.5 Ausblick
6.6 Selbsttest
7 Lineare Abbildungen und Dimensionssätze
7.1 Einblick
7.2 Definition und Beispiele linearer Abbildungen
7.3 Kern und Bild linearer Abbildungen
7.4 Dimensionssätze
7.5 Ausblick
7.6 Selbsttest
8Matrizen
8.1 Einblick
8.2 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung
8.3 Der Rang einer Matrix
8.4 Das Matrizenprodukt
8.5 Besondere Matrizen
8.6 Ausblick
8.7 Selbsttest
9 Lineare Gleichungssysteme
9.1 Einblick
9.2 Grundlegendes zu linearen Gleichungssystemen und Gauß-Algorithmus
9.3 Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
9.4 Ausblick
9.5 Selbsttest
10 Die Determinante
10.1 Einblick
10.2 Der Laplace’sche Entwicklungssatz
10.3 Berechnung von Determinanten in einfachen Fällen
10.4 Eigenschaften der Determinanten
10.5 Ausblick
10.6 Selbsttest
11 Eigenwerte und Eigenvektoren
11.1 Einblick
11.2 Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum
11.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren
11.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten
11.5 Ausblick
11.6 Selbsttest
12 Koordinatenabbildung und Basiswechsel
12.1 Einblick
12.2 Die Koordinatenabbildung
12.3 Darstellende Matrizen und Basiswechsel
12.4 Ausblick
12.5 Selbsttest
13 Diagonalisierung
13.1 Einblick
13.2 Diagonalisierbare Matrizen
13.3 Weitere Kriterien für Diagonalisierbarkeit
13.4 Ausblick
13.5 Selbsttest
14 Normierte, euklidische und unitäre Vektorräume
14.1 Einblick
14.2 Normierte Vektorräume
14.3 Skalarprodukte
14.4 Das Gram-Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren
14.5 Orthogonale Abbildungen
14.6 Ausblick
14.7 Selbsttest
Aufgaben zur linearen Algebra
III Analysis
15 Grundzüge der Analysis
15.1 Einblick
15.2 Folgen und Konvergenz
15.2.1 Rechenregeln für