Optimierung und Approximation (eBook)

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Peter Kosmol , Christian-Albrechts-Universität, Kiel

Vorwort 6
Vorwort zur zweiten Auflage 10
Inhaltsverzeichnis 12
Einführung: Beispiele für Optimierungs- und Approximationsaufgaben 20
1.1 Optimierungsaufgaben in Funktionenräumen 20
1.2 Aufgaben in Rn 23
1.3 Lineare Programmierungsaufgaben 24
1.4 Restringierte Optimierungsaufgaben. Ergänzungsmethode 26
1.5 Minimierung bzgl. zweier Variablen. Sukzessive Minimierung 27
Lineare Programmierung 29
2.1 Einführung 29
2.2 Kanonische Form einer linearen Programmierungsaufgabe ( KFP) 30
2.3 Simplex-Algorithmus 32
2.4 Der allgemeine Fall 36
2.5 Duale und schwach duale Aufgaben 42
Konvexe Mengen und konvexe Funktionen 48
3.1 Metrische Räume 48
3.2 Normierte Räume 50
3.3 Konvexe Mengen 53
3.4 Strikter Trennungssatz in Rn 56
3.5 Satz von Carathéodory 57
3.6 Konvexe Funktionen 58
3.7 Minkowski-Funktional 64
3.8 Richtungsableitung 67
3.9 Differenzierbarkeitseigenschaften konvexer Funktionen: Monotonie des Differenzenquotienten 68
3.10 Fréchet-Differenzierbarkeit 72
3.11 Differentialrechnung in Rn. Matrix und Operatorschreibweise 73
3.12 Monotone und positiv definite Abbildungen 75
3.13 Ein Kriterium für positive Definitheit einer Matrix 76
3.14 inf-konvexe Funktionen 79
3.15 Satz von Weierstraß 85
3.16 Existenzaussagen in endlich-dimensionalen Räumen 86
3.17 Eindeutige Lösbarkeit von Optimierungsaufgaben 87
3.18 Stabilität bei monotoner Konvergenz 88
3.19 Eine Erweiterung des Riemann-Integrals 93
Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen 96
4.1 Notwendige Optimalitätsbedingungen 96
4.2 Hinreichende Optimalitätsbedingungen: Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung 97
4.3 Lokale Minimallösungen 98
4.4 Restringierte Optimierungsaufgaben: Penalty-Methode 100
4.5 Lagrange-Methode 102
4.6 Satz von Kuhn-Tucker 111
4.7 Satz über Lagrange-Multiplikatoren 114
4.8 Zurückführung von Ungleichungsrestriktionen auf Gleichungsrestriktionen 114
4.9 Penalty-Lagrange-Methode (Augmented Lagrangian Method) 115
Anwendungen des Charakterisierungssatzes der konvexen Optimierung in der Approximationstheorie und der Variationsrechnung 117
5.1 Approximation in Prä-Hilberträumen 118
5.2 Variationsrechnung 136
5.3 Theorie der optimalen Steuerung 175
Methode der punktweisen Minimierung 224
6.1 Die Methode der Ergänzung bei Variationsaufgaben 224
6.2 Anwendungen der linearen Ergänzung 232
6.3 Die Euler-Lagrange-Gleichung und kanonische Gleichungen der Variationsrechnung bei punktweiser Minimierung 239
6.4 Punktweise Minimierung bei Aufgaben mit Singularitäten 251
6.5 Die kürzeste Verbindung auf einer Fläche 263
6.6 Sukzessive Minimierung bei Variationsaufgaben 265
6.7 Sukzessive Minimierung mit einer konstanten zweiten Stufe 266
6.8 Rotationskörper größten Volumens bei vorgegebener Länge des Meridians 280
6.9 Ein Stabilitätssatz 287
6.10 Optimale Flächen. Variation zweifacher Integrale 289
6.11 Euler-Ostrogradski-Gleichung 289
6.12 Verallgemeinerung auf n-dimensionale Bereichsintegrale 291
6.13 Punktweise Minimierung bei der optimalen Steuerung 292
6.14 Diskrete optimale Steuerung 298
Cebyšev-Approximation 314
7.1 Charakterisierung der besten Cebyšev-Approximation 314
7.2 Satz von de la Vallée-Poussin I 316
7.3 Haarsche Teilräume 317
7.4 Satz von Cebyšev 319
7.5 Approximationssätze von Weierstraß und der Satz von Korovkin 320
7.6 Satz von Stone-Weierstraß 325
Approximation im Mittel 328
8.1 L1-Approximation 328
8.2 Lf-Approximation in Ca, b 332
8.3 Spline-Funktionen 340
Stabilitätsbetrachtungen für konvexe Aufgaben 347
9.1 Gleichgradige Stetigkeit von Familien konvexer Funktionen 347
9.2 Gleichgradige Stetigkeit konvexer Funktionen in Banachräumen und der Satz über gleichmäßige Beschränktheit 350
9.3 Stetige Konvergenz und gleichgradige Stetigkeit 355
9.4 Stabilitätssätze 357
9.5 Geordnete Vektorräume und konvexe Kegel 363
9.6 Konvexe Abbildungen 366
9.7 Komponentenweise konvexe Abbildungen 370
Selektion von Lösungen durch Algorithmen. Zweistufige Lösungen 372
10.1 Zweistufige Optimierungsaufgaben 373
10.2 Stabilitätsbetrachtungen für Variationsungleichungen 378
10.3 Zweistufige Variationsungleichungen 379
Trennungssätze 382
11.1 Satz von Hahn-Banach 382
11.2 Satz von Mazur 388
11.3 Trennungssatz von Eidelheit 389
11.4 Strikter Trennungssatz 389
11.5 Subgradienten 390
11.6 Der Dualraum eines Hilbertraumes 394
Konjugierte Funktionen. Der Satz von Fenchel 397
12.1 Youngsche Ungleichung 398
12.2 Beispiele für konjugierte Funktionen 402
12.3 Satz von Fenchel 403
12.4 Existenz von Minimallösungen bei konvexen Optimierungsaufgaben 407
12.5 Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie 418
12.6 Die Formel von Ascoli 419
12.7 Charakterisierungssatz der linearen Approximation 420
12.8 Gleichgewichtssatz der linearen Approximation 420
12.9 Starke Lösbarkeit. Uniform konvexe Funktionen 421
Lagrange-Multiplikatoren 425
13.1 Duale Kegel 425
13.2 Konvexe Optimierungsaufgaben mit Nebenbedingungen 426
13.3 Satz über Lagrange-Multiplikatoren 428
13.4 Lagrange-Multiplikatoren bei linearen Nebenbedingungen 432
13.5 Konvexe Ungleichungen und lineare Gleichungen 432
13.6 Hinreichende Bedingung für restringierte Minimallösungen 435
13.7 Sattelpunktversionen 436
13.8 Lagrange-Dualität 437
Duale Optimierungsaufgaben 438
14.1 Infinite lineare Optimierung 438
14.2 Semiinfinite lineare Optimierung 439
14.3 Dualitätssatz der linearen Programmierung 444
14.4 Extremalpunkte. Satz von Minkowski 445
14.5 Duale Aufgaben in C(T) 449
14.6 Ein Momentenproblem von Markov 450
14.7 Numerische Behandlung von semiinfiniten Aufgaben 453
14.8 Cebyšev-Approximation – duale Aufgabe 459
14.9 Impulssteuerungen und Cebyšev-Approximation 461
14.10 Minimaxaufgaben und Lagrange-Multiplikatoren 462
14.11 Sattelpunktkriterium 464
14.12 Spieltheoretische Interpretation 465
14.13 Minimaxsätze 465
14.14 Topologische Räume 468
14.15 Satz von Ky Fan 469
14.16 Eine Charakterisierung von Minimax-Lösungen mit rechtsseitiger Richtungsableitung 470
14.17 Minimaxsätze für Lagrange-Funktionen 471
14.18 Infinite konvexe Optimierung 472
14.19 Semiinfinite konvexe Optimierung 474
Eine Anwendung in der Testtheorie 475
15.1 Testfunktion 475
15.2 Ein Optimalitätskriterium 476
15.3 Das Fundamentallemma von Neyman-Pearson 478
15.4 Existenz von besten Tests 480
15.5 Existenz von besten verallgemeinerten Tests 481
15.6 Notwendige Bedingungen 482
15.7 Eine duale Aufgabe 484
Mengenkonvergenz 486
Kontraktionssatz. Gewöhnliche Differentialgleichungen 491
B.1 Kontraktionssatz 491
B.2 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 494
B.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz für stückweise stetig differenzierbare Funktionen 497
B.4 Lineare DGL-Systeme für stückweise stetig differenzierbare Funktionen 498
B.5 Stetige Abhängigkeit der Lösungen 504
Das Lemma von Zorn 508
Verallgemeinerungen in topologischen Vektorräumen 509
Literaturverzeichnis 514
Spezielle Symbole und Abkürzungen 524
Index 526