3000 Jahre Analysis (eBook)

Prof. Dr. Thomas Sonar, Technische Universität Braunschweig

Vorwort des Autors 8
Vorwort des Herausgebers 11
Hinweise für den Leser 14
Inhaltsverzeichnis 15
1 Prolog: 3000 Jahre Analysis 21
1.1 Was ist Analysis? 23
1.2 Vorläufer von ? 24
1.3 Das ? der Bibel 27
1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes 28
1.5 Babylonische Näherung an ?2 33
2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike 35
2.1 Die Griechen formen die Mathematik 38
2.1.1 Der Beginn: Thales von Milet und seine Schüler 39
2.1.2 Die Pythagoreer 41
2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids Elementen 47
2.1.4 Die Methode der Exhaustion – Integration auf griechisch 53
2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel 57
2.1.6 Die drei großen klassischen Probleme 58
2.2 Kontinuum versus Atome – Infinitesimale versus Indivisible 67
2.2.1 Die Eleaten 68
2.2.2 Atomismus und Kontinuum 69
2.2.3 Indivisible und Infinitesimale 71
2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien 74
2.3 Archimedes 79
2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten 79
2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften 87
2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der mechanischen Sätze 91
2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion 96
2.3.5 Über Spiralen 100
2.3.6 Archimedes fängt ? 104
2.4 Die Beiträge der Römer zur Analysis 106
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2 109
3 Wie Wissen wanderte – Vom Orient zum Okzident 111
3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die Araber 113
3.2 Die Beiträge der Araber zur Analysis 118
3.2.1 Avicenna (Ibn S?n?): Universalgelehrter im Orient 118
3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker 119
3.2.3 Averroës (Ibn Rušd): Aristoteliker im Islam 126
3.3 Aufgaben zu Kapitel 3 128
4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik 129
4.1 Der Wiederbeginn in Europa 131
4.2 Die große Zeit der Übersetzer 140
4.3 Das Kontinuum in der Scholastik 147
4.3.1 Robert Grosseteste 150
4.3.2 Roger Bacon 151
4.3.3 Albertus Magnus 153
4.3.4 Thomas Bradwardine 156
4.3.5 Nicole Oresme 162
4.4 Scholastische „Abweichler“ 168
4.5 Nicolaus von Kues 170
4.5.1 Die mathematischen Werke 172
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4 176
5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance 177
5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike 179
5.2 Die Schwerpunktrechner 182
5.3 Johannes Kepler 190
5.3.1 Neue Stereometrie der Fässer 210
5.4 Galileo Galilei 215
5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen 223
5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der Indivisiblen 228
5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri 232
5.5.2 Die Kritik durch Guldin 240
5.5.3 Die Kritik durch Galilei 241
5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon 242
5.5.5 De Saint-Vincent und die Fläche unter der Hyperbel 244
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5 253
6 An der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert 254
6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich 256
6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert 256
6.1.2 René Descartes 259
6.1.3 Pierre de Fermat 269
6.1.4 Blaise Pascal 279
6.1.5 Gilles Personne de Roberval 292
6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden 298
6.2.1 Frans van Schooten jr. 300
6.2.2 René François Walther de Sluse 300
6.2.3 Johann van Waveren Hudde 302
6.2.4 Christiaan Huygens 305
6.3 Analysis vor Newton in England 308
6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen 308
6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert 309
6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen 313
6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen 320
6.3.5 England im 17. Jahrhundert 331
6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen 334
6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie 344
6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des Logarithmus durch Nicolaus Mercator 351
6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile 356
6.3.10 James Gregory 365
6.4 Analysis in Indien 366
6.5 Aufgaben zu Kapitel 6 370
7 Newton und Leibniz – Giganten und Widersacher 372
7.1 Isaac Newton 374
7.1.1 Kindheit und Jugend 374
7.1.2 Der Student in Cambridge 377
7.1.3 Der Lucasische Professor 385
7.1.4 Alchemie, Religion und die große Krise 389
7.1.5 Newton als Präsident der Royal Society 394
7.1.6 Das Binomialtheorem 396
7.1.7 Die Fluxionsrechnung 397
7.1.8 Der Hauptsatz 400
7.1.9 Kettenregel und Substitutionen 402
7.1.10 Das Rechnen mit Reihen 402
7.1.11 Integration durch Substitution 404
7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis 406
7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton 406
7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz 408
7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium 408
7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten 411
7.2.3 Leibniz in Hannover 414
7.2.4 Der Prioritätsstreit 420
7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen 424
7.2.6 Die Leibnizsche Notation 426
7.2.7 Das charakteristische Dreieck 430
7.2.8 Die unendlich kleinen Größen 433
7.2.9 Das Transmutationstheorem 437
7.2.10 Das Kontinuitätsprinzip 440
7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz 442
7.3 Erste Kritik: George Berkeley 443
7.4 Aufgaben zu Kapitel 7 446
8 Absolutismus, Aufklärung, Aufbruch zu neuen Ufern 448
8.1 Historische Einführung 450
8.2 Jakob und Johann Bernoulli 458
8.2.1 Die Variationsrechnung 463
8.3 Leonhard Euler 467
8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler 479
8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler 481
8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen 484
8.4 Brook Taylor 486
8.4.1 Die Taylor-Reihe 488
8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung 489
8.5 Colin Maclaurin 490
8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange 490
8.6.1 Lagranges algebraische Analysis 491
8.7 Fourier Reihen und mehrdimensionale Analysis 494
8.7.1 Joseph Fourier 494
8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung 496
8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis 497
8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen für die Analysis 498
8.8 Aufgaben zu Kapitel 8 503
9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert 504
9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich 508
9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert 516
9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen 516
9.3.1 Bolzanos Beiträge zur Analysis 519
9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy 522
9.4.1 Grenzwert und Stetigkeit 527
9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen 528
9.4.3 Ableitung und Integral 531
9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs 533
9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraß 540
9.6.1 Die reellen Zahlen 543
9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz 544
9.6.3 Gleichmäßigkeit 546
9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter 548
9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte 555
9.8 Aufgaben zu Kapitel 9 561
10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und die Suche nach dem wahren Kontinuum 562
10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den Weltkatastrophen 565
10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die Mengenlehre 570
10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen 580
10.2.2 Cantor und Dedekind 581
10.2.3 Die transfiniten Zahlen 589
10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre 592
10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine 593
10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Paul Du Bois-Reymond 594
10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Die Intuitionisten 596
10.5 Vektoranalysis 601
10.6 Differentialgeometrie 604
10.7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 606
10.8 Partielle Differentialgleichungen 609
10.9 Die Analysis wird noch mächtiger: Funktionalanalysis 611
10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis 611
10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis 615
10.10 Aufgaben zu Kapitel 10 624
11 Ein Kreis schließt sich: Infinitesimale in der Nichtstandardanalysis 626
11.1 Vom Kalten Krieg bis heute 630
11.1.1 Computer und Sputnikschock 632
11.1.2 Der „Kalte Krieg“ und sein Ende 634
11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus 635
11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen 637
11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im „schwarzen Buch“ 639
11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und Schmieden 642
11.3 Robinson und die Nichtstandardanalysis 644
11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz von Nelson 646
11.5 Nichtstandardanalysis und glatte Welten 647
11.6 Aufgaben zu Kapitel 11 653
12 Analysis auf Schritt und Tritt 654
Literatur 665
Abbildungsverzeichnis 681
Personenverzeichnis mit Lebensdaten 700
Sachverzeichnis 709