Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques (eBook)

Lois de Conservations Eulériennes, Lagrangiennes et Méthodes Numériques 
4 
1 Introduction 11
2 Modèles 14
2.1 Équation de bilan 14
2.1.1 Trafic routier 15
2.1.2 Système de Saint Venant 17
2.1.3 Dynamique des gaz compressibles 20
2.2 Invariance Galiléenne 22
2.3 Coordonnées de Lagrange 24
2.3.1 Changement de coordonnées et lois de conservation 25
2.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d'espace 28
2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d'espace 29
2.3.4 Formulation de Hui 31
2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d'espace 31
2.4 Système linéairement bien posé et hyperbolicité 32
2.4.1 Stabilité linéaire en dimension un d'espace 32
2.4.2 Stabilité linéaire en dimension supérieure 35
2.5 Exemples de calcul des vitesses d'onde 37
Le trafic routier 37
Le système de St Venant 38
La dynamique des gaz compressibles en dimension un 38
Application numérique 39
La dynamique des gaz compressibles en dimension supérieure 40
Le cas lagrangien 41
2.6 Exercices 43
2.7 Notes bibliographiques 45
3 Étude d'une loi de conservation 47
3.1 Solutions fortes et méthode des caractéristiques 48
3.2 Solutions faibles 52
3.3 Solutions faibles entropiques 55
3.3.1 Discontinuités entropiques 58
3.3.2 Choc et discontinuité de contact 61
3.3.3 Équation des détentes 62
3.3.4 Solution entropique du problème de Riemann 64
3.3.5 Application et interprétation physique 65
3.4 Calcul numérique de solutions faibles entropiques 69
3.4.1 Notion de schéma conservatif 69
3.4.2 Schéma de Volumes Finis 72
3.4.3 Construction du flux à partir de la méthode des caractéristiques 72
Premier cas : l'équation du transport 72
Deuxième cas : le modèle LWR 73
3.4.4 Cas général 76
3.4.5 Définition d'un schéma générique 78
3.4.6 Convergence 80
3.4.7 Applications et analyse des résultats 82
Modèle LWR 82
Modèle OM pour le trafic dans la ville de Bogota 84
Modèle de Buckley-Leverett 84
3.5 Comparaison numérique choc-discontinuité de contact 86
3.6 Optimisation du schéma 87
3.6.1 Optimisation par rapport à la contrainte de stabilité 88
3.6.2 Optimisation par rapport à la précision 88
3.7 Schémas lagrangiens pour le trafic routier 89
3.7.1 Schéma lagrangien 90
Forme finale du flux 91
3.7.2 Un résultat numérique 91
3.8 Exercices 92
3.9 Notes bibliographiques 94
4 Systèmes 95
4.1 Exemples 96
4.1.1 Système des eaux peu profondes 96
4.1.2 Système de la dynamique des gaz compressible 97
4.2 Entropie et variables entropiques 100
4.3 Solutions faibles entropiques 103
4.4 Solutions autosemblables en xt 106
4.4.1 Discussion des détentes 107
4.4.2 Discussion des discontinuités 110
Analyse des conditions de Rankine-Hugoniot (4.39) 111
Analyse de l'inégalité d'entropie (4.40) 114
4.5 Retour sur la variable principale U 118
4.6 Solution du problème de Riemann 119
4.6.1 Théorème de Lax 120
4.6.2 Correspondance Euler-Lagrange 121
4.7 Systèmes en coordonnée de Lagrange 123
4.8 Systèmes à flux d'entropie nul 124
4.9 Vitesses d'ondes pour les systèmes lagrangiens 128
4.10 Enthalpie d'un système lagrangien 133
4.11 Exemples de systèmes lagrangiens 137
4.11.1 Le système de la magnétohydrodynamique idéale 137
4.11.2 Le modèle de l'hélium superfluide de Landau 142
4.11.3 Un modèle multiphasique 147
4.12 Chocs pour les systèmes lagrangiens 149
4.13 Exercices 150
4.14 Notes bibliographiques 156
5 Le système de la dynamique des gaz compressibles 157
5.1 Calcul des vitesses d'ondes 158
5.1.1 Détentes 161
5.1.2 Les discontinuités 162
Les contacts 162
Les chocs 163
5.1.3 Nombre de Mach 166
5.1.4 Problème de Riemann pour la dynamique des gaz 167
5.2 Discrétisation numérique 167
5.3 Schéma eulérien de Roe 170
5.3.1 Matrice de Roe pour la dynamique des gaz eulérienne 173
5.3.2 Propriétés du schéma de Roe 175
Correcteur entropique et pas de temps 178
5.3.3 Résultats numériques 178
Petite conclusion pour le schéma de Roe 179
5.4 Schéma Lagrange+projection 181
5.4.1 Phase lagrangienne 182
5.4.2 Phase lagrangienne pour le système de la dynamique des gaz 184
5.4.3 Formule du flux lagrangien 187
5.4.4 Grille mobile durant la phase lagrangienne 188
5.4.5 Phase de projection 189
Contrôle du pas de temps 190
Conservativité 190
5.4.6 Synthèse 190
5.4.7 Conditions au bord 192
5.4.8 Résultats numériques 194
5.5 Schéma ALE en dimension un 195
5.5.1 Discrétisation numérique 196
5.5.2 Discrétisation de (5.46) 197
5.5.3 Discrétisation de (5.47) 197
5.5.4 Réécriture sur la grille mobile 198
5.5.5 Résultat numérique 200
5.6 Un résultat numérique en dimension deux d'espace 201
5.7 Exercices 202
5.8 Notes bibliographiques 205
6 Solveurs lagrangiens à un état et à deux états 206
6.1 Solution du problème de Riemann linéarisé 207
6.1.1 Solution à un état intermédiaire 208
6.1.2 Solution à deux états 210
6.2 Discrétisation numérique 213
6.2.1 Autre mode de construction du flux numérique 213
6.2.2 Propriété entropique 218
6.2.3 Optimisation par rapport au pas de temps 220
6.2.4 Optimisation par rapport à la simplicité de mise en oeuvre 223
6.3 Exercices 225
6.4 Notes bibliographiques 226
7 Systèmes lagrangiens multidimensionnels 227
7.1 Cadre théorique 227
7.2 Inégalité entropique discrète 228
7.3 Stabilité L2 231
7.4 Dynamique des gaz en géométrie cylindrique ou sphérique 232
7.5 MHD en dimension supérieure 236
Phase lagrangienne 238
Splitting directionnel 241
Phase de projection 241
Réactualisation de C 241
7.6 Dynamique des gaz lagrangienne 242
7.6.1 Maillage mobile 244
Compatibilité entre les vitesses aux noeuds et la vitesse au milieu du segment 244
Quelques notations 246
Compatibilité avec l'identité de Piola 248
Compatibilité avec la formulation de Hui 248
7.6.2 Tentative de construction d'un schéma numérique 249
7.6.3 Une première solution 252
7.6.4 Une deuxième solution 254
7.6.5 Une troisième solution 260
7.6.6 Un schéma lagrangien sur grilles décalées 262
7.6.7 Choix du maillage pour un calcul donné 266
7.6.8 Gravité et équilibre hydrostatique 269
Le cas 1D 271
Le cas 2D 274
7.6.9 Convergence 277
7.7 Exercices 279
7.8 Notes bibliographiques 280
Littérature 282
Index 288

"1 Introduction (p. 1-2)

Les syst`emes de lois de conservation mod´elisent les ´ecoulements compressibles et incompressibles dans des domaines extrˆemement vari´es tels que l’a´eronautique, l’hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion, le tra?c routier, l’´elasticit´e non lin´eaire. Les ´equations sont non lin´eaires et expriment les relations de bilan pour diverses quantit´es telles que masse, impulsion et ´energie totale pour la dynamique des gaz compressibles.

Le cadre math´ematique g´en´eral est celui des syst`emes de lois de conservation. Le caract`ere non lin´eaire des ´equations implique l’existence des solutions discontinues appel´ees chocs. Cela recouvre le bang sonique, les ´ecoulements hypersoniques (autour des avions par exemple), les ph´enom`enes de mascaret, les bouchons pour le tra?c routier, les explosions de supernovae, la d´etonation en g´en´eral. Les exemples sont nombreux et souvent spectaculaires. Au plan num´erique on peut noter que le d´eveloppement de m´ethodes adapt´ees au calcul de telles solutions discontinues impose des contraintes nouvelles. Cela contribue `a fonder une nouvelle discipline, la M´ecanique des Fluides Num´erique.

Un des objectifs de ce texte est de pr´esenter les raisons pour lesquelles on utilise de tels syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles, de les analyser sur le plan math´ematique, et de construire quelques sch´emas de Volumes Finis pour la r´esolution num´erique. Ce faisant nous aurons les outils pour ´etudier les chocs d’un point de vue tant physique, que math´ematique et num´erique. Un point capital est le rˆole d’une quantit´e appel´ee entropie (par r´ef´erence au substrat thermodynamique de cette notion) qui traduit le fait qu’une discontinuit ´e math´ematique est de fait une id´ealisation.

La pr´esentation propos´ee portera l’accent sur les syst`emes que l’on appellera lagrangiens ou ´ecrits en coordonn´ees de Lagrange et sur leurs relations avec les syst`emes en coordonn´ees d’Euler. La di?´erence entre les coordonn´ees d’Euler et les coordonn´ees de Lagrange tient au r´ef´erentiel utilis´e pour ´ecrire les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Les coordonn´ees d’Euler sont les coordonn´ees du laboratoire.

Pour un ?uide les coordonn´ees de Lagrange sont les coordonn´ees du ?uide en mouvement. On peut aussi choisir les coordonn´ees eul´eriennes au temps initial. Les syst`emes lagrangiens ayant une entropie ont une structure particuli`ere que nous ´etudierons en d´etail. L’´ecriture en coordonn´ees de Lagrange a de nombreuses et fructueuses cons´equences pour la construction et l’analyse de m´ethodes num´eriques adapt´ees `a la discr´etisation des ´equations de la physique math´ematique.

Le contrˆole de la stabilit´e de ces m´ethodes num´eriques reposera de mani`ere syst´ematique sur l’obtention d’in´egalit´es discr`etes d’entropies qui permettent en pratique d’obtenir la stabilit´e au sens L2. En dimension un d’espace les m´ethodes pr´esent´ees sont tout `a fait classiques, au sens o`u elles ont ´et´e publi´ees et republi´ees maintes fois dans des contextes parfois di?´erents. On consultera `a pro?t [GR96]."