Numerische Mathematik. (Mathematik-Studienhilfen) (eBook)

Prof. Dr. rer. nat. Michael Knorrenschild lehrt seit vielen Jahren Mathematik für Ingenieure und Informatiker an der Hochschule Bochum.

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 7
1 Rechnerarithmetik und Gleitpunktzahlen 10
1.1 Grundbegriffe und Gleitpunktarithmetik 10
1.2 Auslöschung 17
1.3 Fehlerrechnung 18
1.3.1 Fehlerfortpflanzung in arithmetischen Operationen 18
1.3.2 Fehlerfortpflanzung bei Funktionsauswertungen 19
2 Numerische Lösung von Nullstellenproblemen 26
2.1 Problemstellung 26
2.2 Das Bisektionsverfahren 26
2.3 Die Fixpunktiteration 28
2.4 Das Newton-Verfahren 33
2.5 Konvergenzgeschwindigkeit 37
3 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme 40
3.1 Problemstellung 40
3.2 Der Gauß-Algorithmus 41
3.3 Fehlerfortpflanzung beim Gauß-Algorithmus und Pivotisierung 46
3.4 Dreieckszerlegungen von Matrizen 48
3.4.1 Die LR-Zerlegung 48
3.4.2 Die Cholesky-Zerlegung 50
3.5 Fehlerrechnung bei linearen Gleichungssystemen 53
3.6 Iterative Verfahren 58
4 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme 66
4.1 Problemstellung 66
4.2 Das Newton-Verfahren für Systeme 67
5 Interpolation 72
5.1 Problemstellung 72
5.2 Polynominterpolation 73
5.2.1 Das Neville-Aitken-Schema 78
5.2.2 Der Fehler bei der Polynominterpolation 79
5.3 Splineinterpolation 83
5.3.1 Problemstellung 83
5.3.2 Interpolation mit kubischen Splines 85
6 Ausgleichsrechnung 92
6.1 Problemstellung 92
6.2 Lineare Ausgleichsprobleme 93
6.3 Nichtlineare Ausgleichsprobleme 100
6.4 Das Gauß-Newton-Verfahren 102
7 Numerische Differenziation und Integration 106
7.1 Numerische Differenziation 106
7.1.1 Problemstellung 106
7.1.2 Differenzenformeln für höhere Ableitungen 111
7.1.3 Differenzenformeln für partielle Ableitungen 112
7.1.4 Extrapolation 113
7.2 Numerische Integration 120
7.2.1 Problemstellung 120
7.2.2 Interpolatorische Quadraturformeln 124
7.2.3 Der Quadraturfehler 124
7.2.4 Transformation auf das Intervall [a, b] 126
7.2.5 Der Fehler der summierten Quadraturformeln 128
7.2.6 Newton-Cotes-Formeln 130
7.2.7 Gauß-Formeln 130
7.2.8 Extrapolationsquadratur 133
7.2.9 Praktische Aspekte 137
8 Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen 139
8.1 Problemstellung 139
8.2 Das Euler-Verfahren 141
8.3 Praktische Aspekte 147
8.4 Weitere Einschrittverfahren 148
8.5 Weitere Verfahren 154
Lösungen 156
Literaturverzeichnis 174
Sachwortverzeichnis 176