Beschreibung und Analyse unscharfer Information (eBook)

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 8
Symbolverzeichnis 11
1 Ungewissheit und Information 15
1.1 Unscharfe Information und unscharfe Daten 15
1.1.1 Übungen 18
1.2 Stochastik und Unschärfe 18
2 Mathematische Beschreibung von Unschärfe 21
2.1 Mathematische Grundlagen 21
2.1.1 Übungen 23
2.2 Unscharfe Zahlen 24
2.2.1 Darstellung spezieller unscharfer Zahlen 29
2.2.2 Ermittlung charakterisierender Funktionen 34
2.2.3 Übungen 36
2.3 Unscharfe Vektoren 37
2.3.1 Ermittlung vektorcharakterisierender Funktionen 39
2.3.2 Übungen 40
2.4 Kombination unscharfer Beobachtungen 40
2.4.1 Übungen 44
2.5 Funktionen von unscharfen Größen 44
2.5.1 Der einhüllende unscharfe Vektor einer Zugehörigkeitsfunktion 47
2.5.2 Die konvexe Hülle einer Zugehörigkeitsfunktion 48
2.5.3 Mathematische Operationen für unscharfe Zahlen 49
2.5.4 Übungen 53
2.6 Unscharfe Funktionen 53
2.6.1 Integration unscharfer Funktionen 54
2.6.2 Übungen 55
2.7 Unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilungen 55
2.7.1 Unscharfe Wahrscheinlichkeitsdichten 57
2.7.2 Übungen 64
3 Beschreibende Statistik mit unscharfen Daten 65
3.1 Histogramm für unscharfe Daten 65
3.1.1 Übungen 69
3.2 Empirische Verteilungsfunktion für unscharfe Daten 70
3.2.1 Geglättete empirische Verteilungsfunktion 71
3.2.2 Unscharfe empirische Verteilungsfunktion 72
3.2.3 Übungen 74
3.3 Empirische Fraktile bei unscharfen Daten 75
3.3.1 Empirische Fraktile der gegl¨atteten empirischen Verteilungsfunktion 75
3.3.2 Empirische Fraktile der unscharfen empirischen Verteilungsfunktion 76
3.3.3 Übungen 78
3.4 Extremwerte unscharfer Beobachtungen 78
3.4.1 Minimum 78
3.4.2 Maximum 78
3.4.3 Übungen 79
4 Schließende Statistik für unscharfe Daten 81
4.1 Statistiken von unscharfen Daten 81
4.1.1 Praktische Berechnung der unscharfen Stichprobenvarianz 82
4.1.2 Die k-ten Momente von Verteilungen 88
4.1.3 Übungen 90
4.2 Schätzwerte für Parameter 90
4.2.1 Übungen 92
4.3 Unscharfe Konfidenzbereiche für Parameter 92
4.3.1 Übungen 94
4.4 Statistische Tests bei unscharfen Daten 94
4.4.1 Unscharfe Werte von Teststatistiken 94
4.4.2 p-Werte für unscharfe Daten 97
4.4.3 Unscharfe p-Werte 97
4.4.4 Übungen 100
5 Bayes’sche Analyse bei unscharfer Information 101
5.1 Grundlagen der Bayes’schen Statistik 101
5.1.1 Übungen 102
5.2 Unscharfe A-priori-Verteilungen 103
5.2.1 Übungen 103
5.3 Verallgemeinertes Bayes’sches Theorem 103
5.3.1 Adaptierte Verallgemeinerung des Bayes’schen Theorems 107
5.3.2 Übungen 109
5.4 Unscharfe Prädiktivdichten 109
5.4.1 Übungen 110
5.5 Bayes’sche Entscheidungen auf Grundlage unscharfer Information 111
5.5.1 Bayes’sche Entscheidungen 111
5.5.2 Unscharfe Nutzenfunktionen 111
5.5.3 Verallgemeinerung Bayes’scher Entscheidungen 113
5.5.4 Übungen 114
6 Lösungen der Übungsaufgaben 115
Literatur 139
Sachverzeichnis 141

1 Ungewissheit und Information (S. 1-2)

1.1 Unscharfe Information und unscharfe Daten

Vieles im Leben ist ungewiss. Dies beginnt bei der Lebensdauer von Menschen, geht über Preisentwicklungen und über technische Gegebenheiten bis hin zu zukünftigen Umweltgegebenheiten. Um fundierte Entscheidungen treffen zu können, ist die adäquate, möglichst gute, quantitative Beschreibung der betrachteten Größen notwendig. Neben Messungen und Beobachtungen sind häufig auch auf Erfahrungen gegründete Einschätzungen von Ungewissheiten durch Experten, also quantitative Beschreibungen von so genannter A-priori- Information in Entscheidungsanalysen wesentlich. Die ad quate mathematische Beschreibung von realen Informationen ist oft nicht durch exakte Zahlen bzw. Vektoren möglich.

Dies gilt vor allem, wenn für die entsprechende Größe bzw. Menge nur eine vage Beschreibung oder Charakterisierung vorliegt, wie es häufig bei linguistischen Aussagen der Fall ist. Beispielsweise ist die vage definierte Information ,,der Patient hat erhöhte Temperatur‘‘ als Teilmenge von R nicht eindeutig festgelegt. Einerseits ist die quantitative Beschreibung der Information bzw. der Menge ,,erhöhte Temperatur‘‘ für die Modellierung von medizinischem Wissen notwendig, andererseits ist diese Festlegung mit vielen praktischen Schwierigkeiten verbunden: Ist eine Temperatur von 37.5 C erhöht? Bei welchen Temperaturen soll die obere und untere Grenze der Menge festgelegt werden? Viel entscheidender ist die Frage, ob eine strikte Festlegung der Grenzen für die Beschreibung dieser Menge überhaupt sinnvoll ist.

Ein hnliches Problem stellt die Anteilschätzung nach dem Anteil von Rauchern in einer Firma kann beispielsweise nicht immer eindeutig beantwortet werden, da die Definition eines ,,Rauchers‘‘ ein zu allgemeiner Begriff ist. Sind Gelegenheitsraucher den Rauchern zuzuordnen? Wie werden Mitarbeiter eingeordnet, die sich gerade das Rauchen abgew hnen wollen? Ungewissheit und Information Einen Ausweg aus der Notwendigkeit der Angabe exakter Grenzen bzw. exakter Beschreibungen von Mengen bietet die Betrachtung der in Abschnitt 2 definierten sogenannten ,,unscharfen Mengen‘‘.

Ähnliche Schwierigkeiten wie bei der Beschreibung und Charakterisierung von Mengen treten bei der Angabe von Messergebnissen auf. Selbst die als exakt geltenden Ergebnisse von Messungen sind mit Unschärfe behaftet. Genau genommen k nnen die Ergebnisse von Messungen kontinuierlicher Größen nie als exakte Zahlen aufgefasst werden. Einige Gründe für das Vorliegen einer so genannten ,,Datenunschärfe‘‘ bei der Messung bzw. Bestimmung von Größen sollen im Folgenden anhand von Beispielen erläutert werden.

Beispiel 1: Unmöglichkeit der exakten Datenbestimmung Der Verlust durch Schattenwirtschaft ist aufgrund unzugänglicher Informationen praktisch nicht exakt bestimmbar. Neben der Unmöglichkeit der Erfassung aller Daten ist auch hier die Fragestellung insofern problematisch, als der Begriff der Schattenwirtschaft nicht eindeutig festgelegt bzw. unterschiedlich interpretierbar ist.