Elementare Differentialgeometrie mit Maple

Prof. Dr. Helmut Reckziegel lehrt und forscht am Mathematishen Institut der Universität zu Köln.

Markus Kriener promoviert am Institut für Publizistik- und Kommunikationswissenschaft der Universität Münster.

Diplom-Mathematiker Knut Pawel ist Mitarbeiter der Arbeitsgruppe von Herrn Reckziegel.

1 Der Raum der elementaren Differentialgeometrie.- 1.1 Der n-dimensionale affine Raum.- 1.2 Affine Abbildungen.- 1.3 Affine Unterräume.- 1.4 Orientierte euklidische Vektorräume.- 1.5 Der n-dimensionale euklidische Raum.- 1.6 Kartesische Koordinatensysteme.- 1.7 Differentialrechnung in euklidischen Räumen.- 2 Maple-Arbeitsmethoden im ?n.- 2.1 Der ?n: Punkte, Vektoren und Matrizen.- 2.2 Der ?n als orientierter euklidischer Vektorraum.- 2.3 Arbeiten mit Abbildungen.- 2.4 Differentialrechnung im ?n.- 3 Ebene Kurventheorie.- 3.1 Länge von Wegen.- 3.2 Parametrisierung nach der Bogenlänge.- 3.3 Differentiation und Integration nach der Bogenlänge.- 3.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie.- 3.5 Orientierte Winkel in der Ebene.- 3.6 Die ebene Prenetsche Kurventheorie.- 3.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie.- 3.8 Krümmungskreise.- 3.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten.- 3.10 Der Jordansche Kurvensatz.- 3.11 Die isoperimetrische Ungleichung.- 3.12 Die Totalkrümmung einer Kurve.- 3.13 Eilinien.- 4 Ebene Kurventheorie mit Maple.- 4.1 Wie wir Kurven mit Maple behandeln.- 4.2 Erstellung von Kurvenplots.- 4.3 Bahngeschwindigkeit und Kurvenlänge.- 4.4 Geometrische Grundgrößen der Kurventheorie.- 4.5 Orientierte Winkel in der Ebene.- 4.6 Ebene Prenetsche Kurventheorie.- 4.7 Der Hauptsatz der ebenen Kurventheorie.- 4.8 Krümmungskreise.- 4.9 Enveloppen, Parallelkurven, Evoluten und Involuten.- 4.10 Eilinien.- 5 Räumliche Kurventheorie.- 5.1 Generalvoraussetzungen und Bezeichnungen.- 5.2 Die Prenetschen Gleichungen.- 5.3 Auswertung der Taylorentwicklung 3. Ordnung einer Kurve.- 5.4 Infinitesimale Charakterisierung ebener Kurven.- 5.5 Sphärische Kurven.- 5.6 Kinematik eines starren Körpers.- 5.7 Hauptsatz der räumlichen Kurventheorie.-5.8 Satz von Fenchel und von Fary/Milnor.- 6 Räumliche Kurventheorie mit Maple.- 6.1 Dreidimensionale Prenetsche Kurventheorie.- 6.2 Die ausgezeichneten Ebenen einer Kurve.- 7 Einführung in die Flächentheorie.- 7.1 Der Begriff der Fläche.- 7.2 Graphenflächen.- 7.3 Rotationsflächen.- 7.4 Regelflächen.- 7.5 Tangential- und Normalenräume einer Fläche.- 7.6 Zwei Theoreme für Flächenparameterisierungen.- 7.7 Der Maßtensor einer Parametrisierung.- 7.8 Orthogonale Parametrisierungen.- 7.9 Isotherme Parametrisierungen.- 7.10 Höherdimensionale Flächen, Integration und Volumina.- 8 Modellierung von Flächen und Riemannschen Gebieten mit Maple.- 8.1 Wie wir Flächen behandeln.- 8.2 Erstellung von Flächenplots.- 8.3 Graphen-, Rotations- und Regelflächen.- 8.4 Riemannsche Gebiete.- 8.5 Der Maßtensor einer Parametrisierung.- 8.6 Mit dem Schiff von der alten in die neue Welt.- 9 Äußere Geometrie von Flächen.- 9.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung.- 9.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung.- 9.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve.- 9.4 Die skalaren Krümmungsgrößen.- 9.5 Zur Berechnung der skalaren Krümmungsgrößen.- 9.6 Die Gaußsche Krümmung als Maß der Flächenverzerrung der Gaußabbildung.- 9.7 Spezielle lokale Parametrisierungen.- 9.8 Tubenabbildung und Fokalpunkte.- 9.9 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven.- 9.10 Minimalflächen.- 10 Äußere Geometrie von Flächen mit Maple.- 10.1 Das Einheitsnormalenfeld einer Flächenparametrisierung.- 10.2 Formoperator und zweite Fundamentalform einer Parametrisierung.- 10.3 Normalkrümmung und geodätische Krümmung einer Flächenkurve.- 10.4 Die skalaren Krümmungsgrößen.- 10.5 Tubenabbildung und Fokalpunkte einerFlächenparametrisierung.- 10.6 Fokalflächen von Kurven und Röhren um Kurven.- 10.7 Minimalflächen.- 11 Innere Geometrie von Flächen.- 11.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete.- 11.2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes.- 11.3 Die Gaußsche Ableitungsgleichung.- 11.4 Geodätische Linien.- 11.5 Das Theorema egregium von Gauß.- 11.6 Der Fundamentalsatz der Flächentheorie.- 12 Innere Geometrie von Flächen mit Maple.- 12.1 Christoffelsymbole Riemannscher Gebiete.- 12.2 Die Levi-Civita-Ableitung eines Riemannschen Gebietes.- 12.3 Geodätische Linien.- 12.4 Gaußsche Krümmung Riemannscher Gebiete.- A Eine kurze Einführung in Maple.- A.1 Die Online-Hilfe von Maple.- A.2 Wichtige Maple-Befehle.- A.3 Datentypen in Maple.- A.4 Programmieren mit Maple.- A.5 Erstellen eigener Programmpakete.- B Benutzung der Programm-CD.- C Übersicht über die Prozeduren des Programmpaketes.- C.1 Zu den Arbeitsmethoden im ?n.- C.2 Zur Kurventheorie.- C.3 Zur Flächentheorie.