Analysis 1

1 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 1.- 1.1 Vollständige Induktio.- 1.2 Fakultät und Binomialkoeffiziente.- 1.3 Aufgabe.- 2 Reelle Zahlen.- 2.1 Die Körperstruktur von.- 2.2 Die Anordnung von.- 2.3 Die Vollständigkeit von R.- 2.4 R ist nicht abzählbar.- 2.5 Aufgaben.- 3 Komplexe Zahlen.- 3.1 Der Körper der komplexen Zahlen.- 3.2 Die komplexe Zahlenebene.- 3.3 Algebraische Gleichungen in C.- 3.4 Unmöglichkeit einer Anordnung von C.- 3.5 Aufgaben.- 4 Funktionen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Polynome.- 4.3 Rationale Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5 Folgen.- 5.1 Konvergenz von Folgen.- 5.2 Rechenregeln.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln.- 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstraß.- 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollständigkeit von R.- 5.7 Die erweiterte Zahlengerade. Bestimmte Divergenz.- 5.8 Aufgaben.- 6 Reihen.- 6.1 Konvergenz von Reihen.- 6.2 Konvergenzkriterien.- 6.3 Der große Umordnungssatz. Rechnen mit Reihen.- 6.4 Potenzreihen.- 6.5 Aufgaben.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 7.1 Stetigkeit.- 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen.- 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen.- 7.4 Der Zwischenwertsatz.- 7.5 Kompakte Mengen. Satz vom Maximum und Minimum.- 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 7.7 Gleichmäßige Stetigkeit.- 7.8 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen.- 7.9 Einseitige Grenzwerte. Grenzwerte bei Unendlich. Uneigentliche Grenzwerte.- 7.10 Aufgaben.- 8 Die Exponentialfunktion.- 8.1 Definition der Exponentialfunktion.- 8.2 Die Exponentialfunktion für reelle Argumente.- 8.3 Der natürliche Logarithmus.- 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen.- 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe.- 8.6 Anwendung: das Wachstum von n!.- 8.7 Hyperbolische Funktionen.- 8.8 Aufgaben.- 9 Differentialrechnung.- 9.1 Die Ableitung einer Funktion.- 9.2 Ableitungsregeln.- 9.3 Höhere Ableitungen.- 9.4 Mittelwertsatz und Schrankensatz.- 9.5 Beispiele und Anwendungen.- 9.6 Reihen differenzierbarer Funktionen.- 9.7 Konvexität.- 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen.- 9.9 Verallgemeinerung des Schrankensatzes.- 9.10 Eine auf ganz R stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion.- 9.11 Aufgaben.- 10 Die Schwingungsgleichung. Trigonometrische Funktionen.- 10.1 Die Schwingungsgleichung.- 10.2 Trigonometrische Funktionen.- 10.3 Die Umkehrfunktionen.- 10.4 Die Zahl ?.- 10.5 Polarkoordinaten.- 10.6 Aufgaben.- 11 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 11.1 Einführende Feststellungen.- 11.2 Der Eindeutigkeitssatz.- 11.3 Ein Fundamentalsystem für die homogene Gleichung.- 11.4 Berechnung einer partikulären Lösung bei speziellen Inhomogenitäten.- 11.5 Anwendung auf Schwingungsprobleme.- 11.6 Stammfunktionen. Berechnung partikulärer Lösungen durch Variation der Konstanten.- 11.7 Aufgaben.- 12 Integralrechnung.- 12.1 Treppenfunktionen und ihre Integration.- 12.2 Regelfunktionen und ihre Integration über kompakte Intervalle.- 12.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 12.4 Erste Anwendungen.- 12.5 Integration elementarer Funktionen.- 12.6 Integration normal konvergenter Reihen.- 12.7 Riemannsche Summen.- 12.8 Integration über nicht kompakte Intervalle. Uneigentliche Integrale.- 12.9 Die Eulersche Summenformel. Die Trapezregel.- 12.10 Aufgaben.- 13 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 13.1 Parametrisierte Kurven.- 13.2 Die Bogenlänge.- 13.3 Parameterwechsel.- 13.4 Krümmung ebener Kurven.- 13.5 Die Sektorfläche.- 13.6 Windungszahlen.- 13.7 Kurven in Polarkoordinaten.- 13.8 Geometrie der Planetenbewegung. Die drei Keplerschen Gesetze.- 13.9 Aufgaben.- 14 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 14.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen.- 14.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veränderlichen.- 14.3 Die Differentialgleichung ? = f(x).- 14.4 Aufgaben.- 15 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 15.1 Approximation durch Taylorpolynome.- 15.2 Taylorreihen.- 15.3 Bernoulli-Zahlen. Die Cotangensreihe. Bernoulli-Polynome.- 15.4 Das Newton-Verfahren zur Nullstellenberechnung.- 15.5 Aufgaben.- 16 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmäßige Konvergenz.- 16.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 16.2 Eigenschaften der Grenzfunktion.- 16.3 Kriterien für gleichmäßige Konvergenz.- 16.4 Anwendung: die Eulerschen Formeln für ?(2n).- 16.5 Lokal-gleichmäßige Konvergenz.- 16.6 Der Weierstraßsche Approximationssatz.- 16.7 Aufgaben.- 17 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 17.1 Der Weierstraßsche Approximationssatz für periodische Funktionen.- 17.2 Definition der Fourierreihen. Der Identitätssatz.- 17.3 Anwendung: die Partialbruchreihe des Cotangens.- 17.4 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet.- 17.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen.- 17.6 Fourierreihen stückweise stetig differenzierbarer Funktionen.- 17.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung.- 17.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem.- 17.9 Wärmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion.- 17.10 Aufgaben.- 18 Die Gammafunktion.- 18.1 Die Gammafunktion nach Gauß.- 18.2 Charakterisierung der ?-Funktion nach Bohr-Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung.- 18.3 Die Stirlingsche Formel.- 18.4 Aufgaben.- Biographische Notiz zu Euler.- Literaturhinweise.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.