Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie

Norbert Kusolitsch ist a.o. Professor am Institut für Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie an der Technischen Universität Wien, Österreich

1 Einführung
1.1 Ein Beispiel
2 Mengen und Mengensysteme
2.1 Elementare Mengenlehre
2.2 Algebren und _-Algebren
2.3 Semiringe, Ringe und _-Ringe
2.4 Erzeugte Systeme
2.5 Monotone Systeme und Dynkin-Systeme
3 Mengenfunktionen
3.1 Inhalte und Maße auf Semiringen
3.2 Die Fortsetzung von Inhalten und Maßen auf Ringe
3.3 Eigenschaften von Inhalten und Maßen
3.4 Additionstheorem und verwandte Sätze
4 Fortsetzung von Maßen auf _–Algebren
4.1 Äußere Maße und Carathéodory-Messbarkeit
4.2 Fortsetzungs- und Eindeutigkeitssatz
4.3 Vervollständigung
5 Unabhängigkeit
5.1 Die durch ein Ereignis bedingte Wahrscheinlichkeit
5.2 Unabhängigkeit von Ereignissystemen
6 Lebesgue-Stieltjes-Maße
6.1 Definition und Regularität
6.2 Verteilungsfunktionen auf R
6.3 Das Lebesgue-Maß auf R
6.4 Diskrete und stetige Verteilungsfunktionen
6.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R
6.6 Verteilungsfunktionen auf Rk
6.7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf (Rk;Bk)
6.8 Das k-dimensionale Lebesgue-Maß
7 Messbare Funktionen - Zufallsvariable
7.1 Definition und Eigenschaften
7.2 Erweitert reellwertige Funktionen
7.3 Treppenfunktionen
7.4 Baire-Funktionen
7.5 Subsigmaalgebren
7.6 Unabhängige Zufallsvariable
7.7 Verallgemeinertes Null-Eins-Gesetz von Kolmogoroff
7.8 Cantor-Menge und nichtmessbare Mengen
7.9 Konvergenzarten
8 Die Verteilung einer Zufallsvariablen
8.1 Das induzierte Maß
8.2 Gemeinsame Verteilung und Randverteilungen
8.3 Die inverse Verteilungsfunktion
8.4 Maßtreue Abbildungen
9 Das Integral - Der Erwartungswert
9.1 Definition des Integrals
9.2 Konvergenzsätze
9.3 Das unbestimmte Integral
9.4 Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgues-Integral
9.5 Das Integral transformierter Funktionen
10 Produkträume
10.1 Die Produktsigmaalgebra
10.2 Der Satz von Fubini
10.3 Maße auf unendlich-dimensionalen Produkträumen
10.4 Null-Eins-Gesetz von Hewitt- Savage
10.5 Stetige Zufallsvariable
10.6 Die Faltung
11 Zerlegung und Integraldarstellung signierter Maße
11.1 Die Hahn-Jordan-Zerlegung
11.2 Die Lebesgue-Zerlegung
11.3 Der Satz von Radon-Nikodym
12 Integral und Ableitung
12.1 Funktionen von beschränkter Variation
12.2 Absolut stetige Funktionen
12.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
13 Lp- Räume
13.1 Integralungleichungen
13.2 Vollständigkeit der Lp-Räume
13.3 Gleichmäßige Integrierbarkeit
13.4 Der Dualraum zu Lp(;S; _)
14 Bedingte Erwartungen
14.1 Der Satz von der vollständigen Erwartung
14.2 Die durch eine _-Algebra bedingte Erwartung
14.3 Reguläre, bedingte Wahrscheinlichkeiten
15 Gesetze der großen Zahlen
15.1 Die Varianz und andere Momente
15.2 Schwache Gesetze der großen Zahlen
15.3 Starke Gesetze der großen Zahlen
15.4 Ergodensätze
16 Martingale
16.1 Definition und grundlegende Eigenschaften
16.2 Transformation von Submartingalen
16.3 Konvergenzsätze für Submartingale
17 Verteilungskonvergenz und Grenzwertsätze
17.1 Schwache Konvergenz
17.2 Der klassische zentrale Grenzverteilungssatz
17.3 Schwache Kompaktheit
17.4 Charakteristische Funktionen
17.5 Der Grenzverteilungssatz von Lindeberg-Feller
A Anhang
A.1 Das Diagonalisierungsverfahren
A.2 Das Auswahlaxiom
A.3 Reihen
A.4 Topologie
A.5 Analysis
A.6 Konvexe Mengen und Funktionen
A.7 Eindeutigkeit der Exponentialfunktion
A.8 Trigonometrie
A.9 Komplexe Analysis
A.10 Funktionalanalysis
A.11 Drehung
Literaturverzeichnis
Stichwortverzeichnis