Partielle Differentialgleichungen

Einleitung: Was sind partielle Differentialgleichungen?.- 1. Die Laplacegleichung als Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 1.1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen.Das Dirichletproblem für die Kugel.- 1.2 Mittelwerteigenschaften harmonischer Funktionen. Subharmonische Funktionen. Das Maximumprinzip.- 2. Das Maximumprinzip.- 2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf.- 2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakelman.- 2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen.- 3. Existenzverfahren I: Methoden, die auf dem Maximumprinzip beruhen 53 3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen.- 3.2 Die Perronsche Methode.- 3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz.- 3.4 Randregularität.- 4. Existenzverfahren II: Parabolische Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung 79 4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprin-zipien.- 4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Bezie-hung zwischen Wärmeleitungsgleichung und Laplacegleichung.- 4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleich-ung.- 4.4 Diskrete Verfahren.- 5. Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur Laplace-und Wärmeleitungsgleichung.- 5.1 Die eindimensionale Wellengleichung.- 5.2 Die Mittelwertmethode: Lösung der Wellengleichung mittels der Darbouxschen Gleichung.- 5.3 Die Energieungleichung und der Zusammenhang mit der Wär-meleitungsgleichung.- 6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung.- 6.1 Halbgruppen.- 6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen.- 6.3 Brownsche Bewegung.- 7. Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (Existenzverfahren III).- 7.1 Das Dirichletsche Prinzip.- 7.2 Der Sobolevraum W1,2.- 7.3Schwache Lösungen der Poissongleichung.- 7.4 Quadratische Variationsprobleme.- 7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems. Ausblick auf die Methode der finiten Elemente.- 8. Sobolevräume und die L2-Regularitätstheorie 177 8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze von Sobolev, Morrey und John-Nirenberg.- 8.2 Die L2-Regularitätstheorie: Innere Regularität schwacher Lösungen der Poissongleichung.- 8.3 Regularität am Rande und Regularitätsaussagen für Lösun-gen allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen.- 9. Starke Lösungen.- 9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen.- 9.2 Ausblick auf die LP-Regularitätstheorie und Anwendungen auf Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen.- 10. Die Schaudersche Regularitätstheorie und die Kontinuitäts-methode (Existenzverfahren IV).- 10.1 Die Ca-Regularitätstheorie für die Poissongleichung.- 10.2 Die Schauderschen Abschätzungen.- 10.3 Existenzverfahren IV: Die Kontinuitätsmethode.- 11. Die Mosersche Iterationstechnik und der Regularitätssatz von de Giorgi und Nash.- 11.1 Die Mosersche Harnackungleichung.- 11.2 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen.- 11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen.- A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume.- Notationsindex.