Partielle Differenzialgleichungen

Wolfgang Arendt ist Professor für Analysis an der Universität Ulm. Sein Forschungsgebiet sind Funktionalanalysis und Partielle Differenzialgleichungen.

1 Modellierung, oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt
1.1 Modellierung mit Differenzialgleichungen
1.2 Transport-Prozesse
1.3 Diffusion
1.4 Die Wellengleichung
1.5 Die Black-Scholes-Gleichung
1.6 Jetzt wird es mehrdimensional
1.7 Es gibt noch mehr
1.8 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen
1.9 Aufgaben

2 Kategorisierung und Charakteristiken
2.1 Charakteristiken von Anfangswertproblemen auf R
2.2 Gleichungen zweiter Ordnung
2.3 Anfangs- und Randwerte
2.4 Nichtlineare Gleichungen zweiter Ordnung
2.5 Gleichungen höherer Ordnung und Systeme
2.6 Aufgaben

3 Elementare Lösungsmethoden
3.1 Variablentransformation für die Transportgleichung
3.2 Trennung der Variablen am Beispiel der Wellengleichung
3.3 Fourier-Reihen
3.4 Die Laplace-Gleichung
3.5 Die Wärmeleitungsgleichung
3.6 Die Black-Scholes-Gleichung
3.7 Integral-Transformationen
3.8 Aufgaben

4 Hilbert-Räume
4.1 Unitäre Räume
4.2 Orthonormalbasen
4.3 Vollständigkeit
4.4 Orthogonale Projektionen
4.5 Linearformen und Bilinearformen
4.6 Schwache Konvergenz
4.7 Stetige und kompakte Operatoren
4.8 Der Spektralsatz
4.9 Aufgaben

5 Sobolev-Räume und Randwertaufgaben in einer Dimension
5.1 Sobolev-Räume in einer Variablen
5.2 Randwertprobleme auf einem Intervall
5.3 Aufgaben

6 Sobolev-Räume und Hilbert-Raum-Methoden für elliptische Gleichungen
6.1 Regularisierung
6.2 Sobolev-Räume
6.3 Der Raum H1
6.4 Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen
6.5 Sobolev-Räume und Fourier-Transformation
6.6 LokaleRegularität
6.7 Die Poisson-Gleichung mit inhomogenen Dirichlet-Randbedingungen
6.8 Das Dirichlet-Problem
6.9 Elliptische Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingung
6.10 H2-Regularität
6.11 Kommentare zu Kapitel 6
6.12 Aufgaben

7 Elliptische Gleichungen mit Neumann- und Robin-Randbedingungen
7.1 Der Satz von Gauß
7.2 Beweis des Satzes von Gauß
7.3 Die Fortsetzungseigenschaft
7.4 Die Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen
7.5 Der Spursatz und Robin-Randbedingungen
7.6 Kommentare zu Kapitel 7
7.7 Aufgaben

8 Spektralzerlegung und Evolutionsgleichungen
8.1 Ein vektorwertiges Anfangswertproblem
8.2 Die Wärmeleitungsgleichung mit Dirichlet-Randbedingungen
8.3 Die Wärmeleitungsgleichung mit Robin-Randbedingungen
8.4 Die Wellengleichung
8.5 Aufgaben

9 Numerische Verfahren
9.1 Finite Differenzen
9.2 Finite Elemente
9.3 Ergänzungen und Erweiterungen
9.4 Parabolische Probleme
9.5 Aufgaben

10 Maple, oder manchmal hilft der Computer
10.1 Maple®
10.2 Aufgaben