Zinsderivate (eBook)

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
1 Ein Überblick über zinssensitive Finanztitel 13
2 Zinsstrukturen und Zinsderivate 19
2.1 Zinsstrukturen 20
2.1.1 Diskontierungsfunktion 20
2.1.2 Kassazins 20
2.1.3 Terminzins 21
2.1.4 Kurzfristiger Terminzins 23
2.1.5 Zinssicherheit und Zinsunsicherheit 24
2.2 Anleihen 25
2.2.1 Nullkuponanleihe 25
2.2.2 Kuponanleihe 25
2.2.2.1 Festverzinsliche Anleihe 25
2.2.2.2 Variabel verzinsliche Anleihe 26
2.3 Anleiheoptionen 28
2.3.1 Verteilungsfreie Wertuntergrenzen fiir Anleiheoptionen 29
2.3.2 Verteilungsfreie Wertobergrenzen fiir Anleiheoptionen 30
2.3.3 Vorzeitige Ausubung amerikanischer Anleiheoptionen 31
2.3.4 Put-Call-Paritat fur europaische Optionen 31
2.4 Forwards und Futures auf Anleihen 32
2.4.1 Forwards 32
2.4.2 Futures 33
2.5 Forwards und Futures auf Zinsen 34
2.6 Swaps 35
2.6.1 Payer und Receiver Swaps 35
2.6.1.1 Payer Swaps 36
2.6.1.2 Receiver Swaps 36
2.6.1.3 Swap Rate 36
2.6.2 Forward Swaps 37
2.6.3 Swaptions 37
2.7 Caps, Floors und Collars 38
2.7.1 Caps 38
2.7.2 Floors 40
2.7.3 Cap-Floor-Paritat 41
2.7.4 Collars 42
2.8 Aufgaben 43
2.9 Lösungshinweise 45
3 Bewertung in diskreter Zeit 47
3.1 Einperiodiges Modell 48
3.1.1 Modelltikönomie 48
3.1.2 Arbitragemöglichkeiten 49
3.1.3 Duplikation 51
3.1.4 Vollständigkeit 51
3.1.5 Risikoneutrales Martingalmaß (RNM) 52
3.2 Mehrperiodiges Modell 56
3.2.1 Modellökonomie 56
3.2.2 Duplikation und Rückwärtsrechnung im Baum 58
3.2.3 Vollstandigkeit 59
3.2.4 Arbitragefreiheit 59
3.2.5 Risikoneutrale Bewertung 60
3.2.6 Zwischenzeitliche Zahlungen 61
3.2.7 Amerikanische Derivate 61
3.3 Aufgaben 63
3.4 Lösungshinweise 66
4 Diskrete Zinsmodelle 69
4.1 Überblick 69
4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen 70
4.3 Das Modell von Ho und Lee 71
4.3.1 Beschreibung des Modells 71
4.3.1.1 Baum der Diskontierungsfunktion 71
4.3.1.2 Beispiel 77
4.3.1.3 Volatilitätsparameter 77
4.3.1.4 Anleihepreise 78
4.3.2 Zinsstruktur 79
4.3.2.1 Short Rate 79
4.3.2.2 Fortführung des Beispiels: Baum der Short Rate 81
4.3.2.3 Kassazinsen 81
4.3.2.4 Terminzinsen 82
4.3.3 Bewertung von Derivaten 82
4.3.3.1 Optionen 83
4.3.3.2 Futures 85
4.3.3.3 Fortfiihrung des Beispiels: Futures- und Forwardpreis 87
4.3.3.4 Caps und Floors 87
4.3.3.5 Fortfiihrung des Beispiels: Bewertung von Caps und Floors 88
4.4 Das Modell von Black, Derman und Toy 91
4.4.1 Baum der Short Rate 92
4.4.2 Kalibration des Modells 93
4.4.2.1 Gegebene Volatilitsten der Short Rates 93
4.4.2.2 Gegebene Volatilitaten der Kassazinsen in t = 1 93
4.4.3 Beispiel 96
4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung 99
4.6 Aufgaben 107
4.7 Lösungshinweise 110
5 Bewertung in stetiger Zeit 117
5.1 Modellökonomie 118
5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis 118
5.2.1 Stochastische Prozesse 119
5.2.2 Wiener Prozesse, stochastische Differentialgleichungen und stochastische Integrale 119
5.2.3 Itos Lemma 123
5.3 Risikoneutrale Bewert ung 125
5.3.1 Bestimmung des risikoneutralen MaBes 126
5.3.2 Bewertung von Derivaten 128
5.4 Fundament ale part ielle Different ialgleichung 129
5.5 Aufgaben 132
5.6 Lösungshinweise 133
6 Zeitstetige Zinsmodelle 137
6.1 Überblick 137
6.2 Das Modell von Heath, Jarrow und Morton 138
6.2.1 Modellbeschreibung 138
6.2.1.1 Stochastik der Forwardzinsen und der Anleihepreise 139
6.2.1.2 Arbitragefreiheit und Driftrestriktionen 141
6.2.2 Risikoneutrale Bewertung 142
6.2.2.1 Bestimmung des risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes 142
6.2.2.2 Stochastik unter dern risikoneutralen Maß 143
6.2.2.3 Risikoneutrale Bewertung von Derivaten 144
6.2.3 Terminrisikoangepasste Bewertung 144
6.2.3.1 Bestimmung des terminrisikoangepassten Maßes 144
6.2.3.2 Prozesse unter dem terminrisikoangepassten Maß 146
6.2.3.3 Terminrisikoangepasste Bewertung von Derivaten 146
6.2.3.4 Beispiel: Bewertung eines europaischen Calls 146
6.2.3.5 Beispiel: Forward- und Futurespreise 147
6.2.4 Verallgemeinerung: d-dimensionaler Wiener Prozess 148
6.2.5 Gauß-Zinsmodelle 149
6.2.5.1 Exkurs: Normalverteilung und Lognormalverteilung 150
6.2.5.2 Bewertung von Anleihen, Futures und Optionen im GauB-Zinsmodell 151
6.2.5.3 Gad-Zinsmodell mit konstanter Volatilität 156
6.2.5.4 Gaufi-Zinsmodell mit exponentiell gedampfter Volatilität 159
6.3 Das LIBOR Market-Modell 161
6.3.1 Definition des LIBOR 161
6.3.2 Modellierung des Forward-LIBOR 162
6.3.3 Terminal Measure 163
6.3.3.1 Zusammenhang zwischen den terminrisikonangeparjten Maßen 163
6.3.3.2 Forward-LIBOR unter d e m Terminal Measure 164
6.3.4 Bewertung von Derivaten im LIBOR Market-Modell 165
6.3.4.1 Bewertung einer variabel verzinslichen Zahlung 165
6.3.4.2 Bewertung eines Caps 166
6.4 Das Swap Market-Modell 167
6.4.1 Definition und Modellierung der Swap Rate 167
6.4.2 Bewertung einer Swaption 167
6.5 Short Rate-Modelle 169
6.5.1 Grundlagen 169
6.5.1.1 Beschreibung der Unsicherheit 169
6.5.1.2 Bestimmung des risikoneutralen Maßes 170
6.5.1.3 Bewertung von Derivaten in Short Rate-Modellen 171
6.5.1.5 Abgrenzung von Short Rate-Modellen gegen das HJM-Modell 172
6.5.2 Die zeitstetige Version des Modells von Ho und Lee 173
6.5.2.1 Beschreibung des Modells 174
6.5.2.3 Bestimmung der Zinsstruktur 175
6.5.2.4 Kalibration des Modells 177
6.5.3 Das Modell von Vasicek 180
6.5.3.1 Beschreibung des Modells 180
6.5.3.2 Verhalten der Short Rate 181
6.5.3.3 Bestimmung der Zinsstruktur 182
6.5.3.4 Kalibration des Modells 184
6.5.3.5 Verbindung zum Modell von HJM 184
6.5.4 ,,Extended Vasicek" 185
6.5.4.1 Beschreibung des Modells 185
6.5.4.2 Verhalten der Short Rate 185
6.5.4.3 Bestimmung der Zinsstruktur 186
6.5.4.4 Kalibration des Modells 188
6.5.4.5 Verbindung zum Modell von HJM 189
6.5.5 Das Modell von Cox, Ingersoll und Ross 190
6.5.5.1 Beschreibung des Modells 190
6.5.5.2 Verhalten der Short Rate 190
6.5.5.3 Bestimmung der Zinsstruktur 192
6.6 Aufgaben 194
6.7 Losungshinweise 199
Abbildungsverzeichnis 205
Literatur 207
Index 209

4 Diskrete Zinsmodelle (S. 57-58)

4.1 Überblick

Die Bewertung von Derivaten basiert auf einem Model fur die zeitliche Entwicklung des Underlyings. So wird z.B. im Rahmen des klassischen Binomi- almodells die zukunftige Entwicklung des Aktienkurses modelliert. Anschließend können im Rahmen des Modells Derivate auf die Aktie bewertet werden. Unser Ziel ist es nun, die zukunftige Entwicklung der Zinsen und Anleiheprei- se in einem Model1 abzubilden, um in diesem Model1 dann Zinsderivate zu bewerten. Zinsmodelle weisen gegenuber den Modellen fur Aktienderivate einige Besonderheiten auf.

In Abschnitt 4.2 werden kurz die Probleme skizziert, die Zinsmodelle und die Bewertung von Zinsderivaten zu einem eigenstandigen und umfa.ngreichen Thema werden liefien. Wir beginnen die Diskussion der zeit- und zustandsdiskreten Ansatze mit dem Model1 von Ho und Lee (1986) in Abschnitt 4.3. Es gilt gemeinhin als das erste zinsstrukturkonforme Modell, in dem die endogen berechneten Preise von NKAs mit den exogen vorgegebenen (Markt-)Preisen ubereinstimmen.

Diese korrekte Bewertung des Underlyings ist unabdingbare Voraussetzung fur eine sinnvolle Bewertung von Zinsderivaten. Ein Nachteil des Modells von Ho und Lee ist jedoch das unterstellte Ver- halten fur den Zins. So konnen unter anderem negative Zinsen auftreten. Die Losung dieses Problems fuhrt auf das in Abschnitt 4.4 dargestellte Model1 von Black, Derman und Toy (1990), in dem durch eine andere Modellierung des Zinses sichergestellt wird, dass die Zinsen immer positiv bleiben.

Der Preis, den man hierfür zu zahlen hat, ist, dass die Kalibration des Modells an eine gegebene Zinsstruktur nur noch numerisch moglich ist. 4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen Zinsen und zinssensitive Finanztitel weisen im Vergleich zu Aktien einige Besonderheiten auf, die bei der Modellierung zu beachten sind und die eine ein- fache ubertragung von Ansatzen fur Aktienderivate wie z.B. des Modells von Cox, Ross und Rubinstein (1979) auf Zinsderivate verhindern.

Diese Besonderheiten sollen nun kurz skizziert werden. In den folgenden Kapiteln werden wir auf sie noch haufiger zuruckkommen, auch im Zusammenhang mit Ansatzen, die genau diese speziellen Probleme losen (sollen). Die erste Frage in einem Zinsmodell ist, welche zugrundeliegende Grofle modelliert werden soll. Wahrend man in einem Model1 fur die Bewertung von Aktienderivaten in der Regel einfach das Verhalten des Aktienkurses beschreibt, gibt es in einem Zinsmodell mehrere Alternativen bei der Wahl des Underlyings. Zum einen kann man die Entwicklung der gesamten Zinsstruktur auf einmal modellieren, wobei die Zinsstruktur durch die Diskontierungsfunk- tion oder durch die Terminzinskurve reprasentiert sein kann.

Zum anderen kann man das Verhalten einiger weniger Zustandsvariablen an den Anfang stellen und die Entwicklung der Zinsstruktur aus diesen Zustandsvariablen ableiten. Bei den Zustandsvariablen kann es sich um Zinsen selbst handeln (beispielsweise die Short Rate oder Kassazinsen fur ausgewahlte Fristigkeiten), um die Volatilitat der Short Rate oder den Mittelwert der Short Rate oder auch um Zustandsvariablen, die keine direkte anschauliche Interpreta- tion haben. Diese beiden grundsatzlichen Arten von Ansatzen werden wir bei der Diskussion der stetigen Zinsmodelle in Kapitel 6 noch gegeneinander abgrenzen.