5000 Jahre Geometrie (eBook)

Vorwort des Herausgebers 5
Inhaltsverzeichnis 9
0 Einleitung 14
1 Die Anfänge geometrischer Darstellungen und Berechnungen 18
1.1 Die Urgesellschaft 19
1.2 Alte Stromtalkulturen 24
1.2.1 Die Induskultur 25
1.2.2 Die ägyptische Mathematik 25
1.2.3 Die babylonische Mathematik 29
1.3 Aufgaben zu 1 36
2 Geometrie in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike 38
2.0 Einführung 40
2.1 Ionische Periode 40
2.1.1 Die frühen Naturphilosophen 40
2.1.2 Thales 44
2.1.3 Pythagoras und die Pythagoreer 48
2.2 Athenische Periode 51
2.2.1 Eudoxos 51
2.2.2 Die sogenannten Klassischen Probleme der Mathematik 53
Die Würfelverdoppelung 54
Die Winkeldreiteilung 57
Die Kreisquadratur 60
2.3 Euklid 62
2.3.1 Die Elemente 62
2.3.2 Die sonstigen geometrischen Schriften Euklids 74
2.4 Alexandrinische (hellenistische) Periode 78
2.4.1 Aristarch 79
2.4.2 Archimedes 80
2.4.3 Apollonios 83
2.5 Spätantike, Rom und Byzanz 86
2.5.1 Heron 86
2.5.2 Pappos 90
2.5.3 Proklos 90
2.5.4 Sehnengeometrie 91
2.5.5 Ptolemaios 92
2.5.6 Menelaos 94
2.5.7 Sonnenuhr, Analemma 95
2.5.8 Kartographie 96
2.5.9 Agrimensoren 99
2.5.10 Byzanz 105
2.6 Aufgaben zu 2 109
3 Geometrie im Orient und in altamerikanischen Kulturen 120
3.0 Einfuhrung¨ 121
3.1 China 122
3.1.0 Historische Einfuhrung¨ 122
3.1.1 Von den Anf¨angen bis zur Teilung Chinas in drei Reiche 124
zwischen 220 und 280 124
Zhoubi suanjing (Chou Pei Suan Ching) 124
Jiuzhang suanshu (Chiu Chang Suan Shu) 126
Haidao suanjing (Hai Tao Suan Ching) 128
Volumenberechnungen 129
3.1.2 Von der Teilung bis zum Beginn der Song Dynastie (960) 132
Beruhrungen¨ mit Indien 133
3.1.3 Die Dynastien Sung (960–1278), Yuan (Mongolenherrschaft, 133
1278–1368) und Ming (bis 1644) 133
Qin Jiushao (Ch’in Chiu-shao) 134
Li Ye (Li Zhi) 135
Yang Hui 136
Guo Shojing (Kuo Shou-Shing) 136
Kreis- und Kugelpackungen 138
Spiele 139
Wesentliche Inhalte der chinesischen Geometrie 141
3.2 Japan 142
3.2.0 Historische Einfuhrung¨ 143
3.2.1 Fruhzeit¨ und Mittelalter 144
3.2.2 Die Renaissance der japanischen Mathematik 144
Die Geometrie in der Wasan-Mathematik 145
Das Kreisprinzip 147
Wesentliche Inhalte der japanischen Geometrie 154
3.3 Indien 155
3.3.0 Historische Einfuhrung¨ 156
3.3.1 Das Altertum 157
Sulbas 157
´ 157
utras¯ 157
Jaina-Geometrie 162
3.3.2 Das Mittelalter 163
Das Bakhsh¯ali-Manuskript 163
Die Surya¯ Siddh¯antas 163
Aryabhat. 167
¯ 167
a I 167
Brahmagupta 168
Dreidimensionale Koordinatengeometrie 169
Der Ein.uß Euklids 170
Bh¯askara II 170
Wesentliche Elemente der indischen Geometrie 171
3.4 Islamische L¨ander 172
3.4.0 Historische Einfuhrung¨ 173
3.4.1 Die Ubersetzungst 174
¨ 174
¨atigkeit 174
3.4.2 Theoretische Geometrie 175
Konstruktion regelm¨aßiger Vielecke 176
Kreisberechnung 178
Das Parallelenpostulat 186
3.4.3 Praktische Geometrie 187
3.4.4 Trigonometrie 188
Wesentliche Inhalte der islamischen Geometrie 193
3.5 Altamerikanische Kulturen 194
3.5.0 Historische Einfuhrung¨ 195
3.5.1 Die J¨agervolker¨ Inuit (Eskimo) und Ojibwa 197
3.5.2 Die Hochkulturen der Azteken, Maya und Inka 200
Azteken 200
Maya 206
Inka 213
3.6 Aufgaben zu 3 218
4 Geometrie im europäischen Mittelalter 224
4.0 Einführung 226
4.1 Geometrie im frühen Mittelalter 226
4.1.1 Die Sieben Freien Künste 226
4.1.2 Beda Venerabilis und Alcuin 229
4.1.3 Gerbert von Aurillac 231
4.1.4 Boethius und Pseudo-Boethius 231
4.1.5 Die Scholastik 232
4.1.6 Übersetzungen aus dem Arabischen 232
4.2 Praktische Geometrie 236
4.2.1 Hugo von St. Victor 236
4.2.2 Leonardo von Pisa 237
4.2.3 Trigonometrie 238
4.3 Der wissenschaftliche Aufbruch 241
4.3.1 Ubersetzungen 241
¨ 241
aus dem Griechischen 241
4.3.2 Archimedes im Mittelalter 241
4.3.3 Das 14. Jahrhundert 244
Bradwardine 244
4.4 Angewandte Geometrie im Hoch- und Spät-Mittelalter 245
4.4.1 Villard d’Honnecourt 245
4.4.2 Die Bauhuttenbücher 246
4.5 Aufgaben zu 4 253
5 Neue Impulse der Geometrie in der Renaissance 256
5.0 Vorbemerkungen 257
5.1 Geometrie an Schulen und Universitäten, Euklid in der Renaissance 260
5.2 Geometrie in Astronomie, Geodäsie und Kartographie 266
5.3 Geometrie in der Kunst der Renaissance 286
5.3.1 Perspektive 288
5.3.2 Konstruktionen 293
5.4 Geometrische Keime der In.nitesimalmathematik 317
5.5 Aufgaben zu 5 323
6 Die Entwicklung der Geometrie im 17. und 18. Jahrhundert 333
6.0 Vorbemerkungen 335
6.1 Die Koordinatenmethode — Geometrie und Algebra 336
6.1.1 Vorgeschichte 337
6.1.2 Die Leistungen von Fermat und Descartes 339
6.1.3 Wirkungsgeschichte 343
6.2 Geometrie und Analysis 350
6.3 Auf dem Wege zur darstellenden und projektiven Geometrie 358
6.4 Das Ringen um das Parallelenproblem 375
6.5 Aufgaben zu 6 382
7 Neue Wege der Geometrie im 19. Jahrhundert 391
7.0 Vorbemerkungen 392
7.1 Darstellende und angewandte Geometrie 396
7.2 Projektive und synthetische Geometrie 403
7.3 Theorie der geometrischen Konstruktionen 413
7.4 Differentialgeometrie 420
7.5 Nichteuklidische Geometrie 430
7.6 Vektorbegriff und n-dimensionale Geometrie 442
7.7 Transformationsgruppen 453
7.8 Anfänge der Topologie 461
7.9 Weitere, insbesondere nichtklassische Richtungen 474
7.10 Aufgaben zu 7 485
8 Geometrie im 20. Jahrhundert 498
8.0 Vorbemerkungen 499
8.1 Grundlagen der Geometrie 508
8.2 Totale Abstraktion? 520
8.3 Geometrie und Naturwissenschaften 530
8.4 Geometrie und Technik 541
8.5 Geometrie und Informatik 546
8.6 Geometrie und Kunst 556
8.7 Statt eines Nachwortes: Geometrie und Spiele(n) 571
8.8 Aufgaben zu 8 573
A Anhang: Ausgewählte Originaltexte 579
A.1 Platon: Staat 579
A.2 Archimedes: Einleitung zur Abhandlung uber¨ Spiralen 580
A.3 Papst Gregor der Große: Erw¨ahnung der Feldmeßkunst 582
A.4 Das altchinesische Chou Pei Suan Ching: Mathematik und Kosmos 583
A.5 Cassiodor Senator: Institutiones 584
A.6 Vorrede von A. Durer¨ an W. Pirckheimer 585
A.7 Alfred Meißner (1822 - 1885): Geschichte meines Lebens (1884) 585
A.8 Vorrede von F. Wolff 587
A.9 Hermann v. Helmholtz: Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome 588
A.10 E. A. Abbott: Flatland 589
A.11 Th. Storm: Der Schimmelreiter (1888) 590
A.12 K. Fladt: Euklid (1927) 592
Literatur 593
Personenregister mit Lebensdaten 615
Sachverzeichnis 627
Abbildungsverzeichnis 633

2 Geometrie in griechisch-hellenistischer Zeit und Spätantike (S. 27-28)

2.0 Einführung

Die Griechen werden allgemein als die Begründer der Wissenschaft von der Natur, also der rationalen, auf Prinzipien beruhenden und in Systemform vorgebrachten Erklärung der Naturerscheinungen angesehen. Zugleich sind sie diejenigen, die die (teilweise aus den orientalischen Kulturen) überlieferten Regeln und Vorschriften zum Zählen, Messen und Auflösen von Gleichungen mit Hilfe der von ihnen entwickelten Logik systematisierten, begründeten und zu einem Theoriegebäude zusammenfaßten und damit zu den Urhebern der wissenschaftlichen Mathematik wurden.

Ende des 2., Anfang des 1. Jtds. v. Chr. hatte mit der dorischen Wanderung die Besitznahme griechischer Gebiete (insbes. des Peloponnes) durch die Dorer stattgefunden, wohl als Folge des Untergangs der mykenischen, kulturell hoch entwickelten und stra. verwalteten Staatenwelt. Von Nordwesten, aus dem albanisch-dalmatinischen Küstengebiet her, wo sie ursrpünglich ansässig waren, drangen die Dorer immer weiter vor und kolonisierten das seit einem Jahrtausend von den Achäern besiedelte griechische Mutterland. Die Urbevölkerung wurde überlagert oder zog sich in der sog. ionischen Wanderung auf die Inseln und die kleinasiatische Westküste zurück. So entstand eine Vielfalt von Stämmen und Völkern in einem auch geologisch-geographisch in kleine und kleinste Gebiete gegliederten Raum, die jeweils ihre eigene Entwicklung durchliefen. Politisch wie kulturell wurde die Struktur der Stadtstaaten (Poleis) bestimmend.

Vor allem in den P.anzstädten des kleinasiatischen Milet an der Südküste des Schwarzen Meeres und im Nildelta, wo zentral organisierte Großreiche lagen, ließen sich die Kolonisten als Bauern und Händler nieder und kamen so geistig wie kulturell unter die verschiedenartigsten orientalischen Ein.üsse. Sie lernten Sammlungen von Beobachtungen und Verhaltensregeln kennen, die ihnen dann den Sto. für die allmähliche Ausgestaltung des wissenschaftlichen Denkens boten (vgl. Bd. 1, Abschnitt 3.3).

2.1 Ionische Periode
2.1.1 Die frühen Naturphilosophen

Als Beginn der "Entdeckung des Geistes" (Titel eines Buches des klassischen Philologen Bruno Snell [Snell 1946]) wird gewöhnlich die ionische Periode bezeichnet (ca. 600 - ca. 450 v. Chr.), auf die um die Mitte des 5. Jhs. die athenische Periode folgte. In der ionischen Periode wurde die Feudalherrschaft der Aristokratie durch die Polis-(Stadt-)struktur abgelöst. Neben den zentra listisch regierten orientalischen Großreichen erblühten die selbständigen ionischen Handelsstädte. Bedingt durch das praktische Denken der Kaufleute und die Kleinräumigkeit der politischen Struktur und Verwaltung, nahmen die Bürger größeren Anteil am ö.entlichen Leben. Die Städte entwickelten sich zu Zentren der klassischen griechischen Kultur und Wissenschaft. Auch die Randgebiete des Mittelmeres und des Schwarzen Meeres wurden infolge der Gründung von P.anzstädten hellenisiert. Der ionischen Periode gehören vor allem die ersten großen Naturphilosophen an: Thales, Anaximandros und Anaximenes. In dieser Zeit, in der sich das europäische Denken herausbildete, entstand in enger Verbindung mit der Entwicklung der Logik auch das deduktive Vorgehen in der Mathematik.

Das fast völlige Fehlen unmittelbarer Quellen verhindert eine genaue Rekonstruktion dieses einmaligen Vorganges, zumal die uns überlieferten Berichte aus späterer Zeit oft aus einer bestimmten Sicht geschrieben und daher tendenziell gefärbt sind. Proklos (5. Jh. n. Chr.) berichtet in seinem Euklid-Kommentar unter Benutzung historischer Mitteilungen des Aristoteles- Schülers Eudemos (um 320 v. Chr.) an verschiedenen Stellen von Thales von Milet (um 600 v. Chr.). Er sei nicht nur der erste griechische Philosoph, sondern auch der erste Mathematiker gewesen. Er habe die Mathematik von ägypten nach Griechenland gebracht und selbst viele Entdeckungen gemacht. Laut Herodot, der ihm zeitlich am nächsten stand, war Thales von phönizischer Abstammung — etwa 300 Jahre vor seiner Lebenszeit hatten die Griechen das phönizische Alphabet übernommen. Astronomische Kenntnisse der Babylonier dürften Thales die Vorhersage einer Sonnen.nsternis ermöglicht haben, die dann 585 während der Schlacht zwischen den Lydern und Persern am Halys eintraf und zum Abbruch des Kampfes führte.