Mathematik für Chemiker (eBook)

Ansgar Jüngel ist Professor für partielle Differentialgleichungen am Institut für Analysis und Scientific Computing der Technischen Universität Wien. In seiner Lehrtätigkeit widmet er sich vor allem der Anwendung von partiellen Differentialgleichungen in den Naturwissenschaften. Er ist seit 2007 federführend für das Buch "Mathematik für Chemiker", welches von H.G. Zachmann begründet wurde und erstmals 1972 erschien.

Cover 1
Titelseite 5
Impressum 6
Inhaltsverzeichnis 7
Autorenverzeichnis 15
Vorwort zur achten Auflage 17
1 Mathematische Grundlagen 19
1.1 Die Sprache der Mathematik 19
1.2 Mengenlehre 21
1.3 Zahlen 24
1.4 Einige Rechenregeln 30
1.5 Kombinatorik 33
2 Lineare Algebra 41
2.1 Matrizen 41
2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 49
2.3 Determinanten 56
2.3.1 Definition 56
2.3.2 Rechenregeln 60
2.3.3 Berechnung von Determinanten 63
2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix 66
2.4.1 Lineare Unabhängigkeit 66
2.4.2 Rang einer Matrix 68
2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme 70
2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 70
2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 75
3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen 79
3.1 Unendliche Zahlenfolgen 79
3.1.1 Definitionen und Beispiele 79
3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge 81
3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten 83
3.2 Unendliche Reihen 87
3.2.1 Definitionen und Beispiele 87
3.2.2 Konvergenzkriterien 90
3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 93
3.2.4 Potenzreihen 95
4 Funktionen 99
4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes 99
4.2 Funktionen einer Variablen 100
4.2.1 Darstellung 100
4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 102
4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 103
4.2.4 Einige spezielle Funktionen 105
4.2.5 Stetigkeit 116
4.2.6 Funktionenfolgen 118
4.3 Funktionen mehrerer Variablen 121
4.3.1 Darstellung 121
4.3.2 Definitionsbereiche 126
4.3.3 Stetigkeit 127
5 Vektoralgebra 131
5.1 Rechnen mit Vektoren 131
5.1.1 Definition eines Vektors 131
5.1.2 Rechenregeln für Vektoren 134
5.1.3 Skalarprodukt 137
5.1.4 Vektorprodukt 139
5.1.5 Spatprodukt 142
5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen 145
5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 145
5.2.2 Basis im R3 und Basiswechsel 149
5.2.3 Orthonormalbasis 153
6 Analytische Geometrie 157
6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen 157
6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in x, y und z 157
6.1.2 Parameterdarstellung 166
6.2 Lineare Abbildungen 169
6.2.1 Definitionen 169
6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 171
6.2.3 Drehungen und Spiegelungen 175
6.3 Koordinatentransformationen 182
6.3.1 Lineare Transformationen 182
6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten 189
7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen 195
7.1 Differenziation 195
7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion 195
7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren 199
7.1.3 Differenziation einiger Funktionen 203
7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen 206
7.1.5 Höhere Ableitungen 211
7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 212
7.1.7 Anwendungen 213
7.2 Integration von Funktionen 216
7.2.1 Das bestimmte Integral 216
7.2.2 Das unbestimmte Integral 222
7.2.3 Integrationsmethoden 226
7.2.4 Uneigentliche Integrale 235
7.2.5 Anwendungen 239
7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen 245
7.4 Die Taylor-Formel 248
7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l'Hospital 256
7.6 Kurvendiskussion 262
7.6.1 Definitionen 262
7.6.2 Bestimmung von Nullstellen 263
7.6.3 Bestimmung von Extrema 266
7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 268
8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen 271
8.1 Differenziation 271
8.1.1 Die partielle Ableitung 271
8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz 275
8.1.3 Existenz einer Tangentialebene 277
8.1.4 Das totale Differenzial 279
8.1.5 Die Kettenregel 281
8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen 284
8.1.7 Partielle Ableitungen in der Thermodynamik 287
8.2 Einfache Integrale 291
8.3 Bereichsintegrale 295
8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 295
8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 297
8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale 301
8.3.4 Transformationsformel 302
8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen 309
8.4 Kurvenintegrale 318
8.4.1 Definition und Berechnung 318
8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 323
8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial 326
8.4.4 Satz von Gauß im R2 329
8.5 Oberflächenintegrale 332
8.6 Die Taylor-Formel 335
8.7 Extremwerte 339
8.7.1 Definitionen 339
8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten 340
8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen 343
9 Vektoranalysis und Tensorrechnung 351
9.1 Vektoranalysis 351
9.1.1 Vektor- und Skalarfelder 351
9.1.2 Der Gradient 353
9.1.3 Konservative Vektorfelder 356
9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im R3 358
9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes 361
9.1.6 Rechenregeln 365
9.1.7 Krummlinige Koordinaten 366
9.2 Tensorrechnung 372
9.2.1 Tensoren zweiter Stufe 372
9.2.2 Tensoren höherer Stufe 375
10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 379
10.1 Fourier-Reihen 379
10.1.1 Reelle Fourier-Reihen 379
10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen 385
10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen 388
10.2 Fourier-Transformation 391
10.2.1 Definitionen 391
10.2.2 Beispiele 395
10.2.3 Eigenschaften 399
10.2.4 Anwendungen in der Chemie 410
10.3 Orthonormalsysteme 417
11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 423
11.1 Beispiele und Definitionen 423
11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 430
11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 430
11.2.2 Trennung der Variablen 433
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 435
11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen 439
11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen 448
11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen 451
11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung 457
11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen 457
11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung 461
11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung 466
11.3.4 Die erzwungene Schwingung 469
11.3.5 Systeme von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 472
11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 478
11.4.1 Potenzreihenansatz 478
11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung 482
11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung 488
11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung 491
12 Partielle Differenzialgleichungen 497
12.1 Definition und Beispiele 497
12.2 Die Potenzialgleichung 501
12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation 501
12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz 502
12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten 505
12.3 Die Wärmeleitungsgleichung 507
12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation 507
12.3.2 Lösung durch Separationsansatz 509
12.4 Die Wellengleichung 511
12.4.1 Lösung durch Separationsansatz 511
12.4.2 Allgemeine Lösungsformel 514
12.4.3 Die schwingende Membran 516
12.5 Die Schrödinger-Gleichung 521
12.5.1 Die stationäre Gleichung 521
12.5.2 Der harmonische Oszillator 522
12.5.3 Das Wasserstoffatom 525
13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 537
13.1 Einführung 537
13.1.1 Quantenmechanische Begriffe 537
13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik 541
13.2 Hilbert-Räume 544
13.2.1 Sobolev-Räume 544
13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme 549
13.2.3 Lineare Operatoren 553
13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation 554
13.3 Beschränkte lineare Operatoren 559
13.3.1 Definition und Beispiele 559
13.3.2 Projektoren 562
13.3.3 Symmetrische Operatoren 564
13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren 572
13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren 572
13.4.2 Die heisenbergsche Unschärferelation 577
13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren 579
13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme 588
14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 593
14.1 Einleitung 593
14.1.1 Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 593
14.1.2 Der Ereignisraum 594
14.1.3 Zufallsgrößen 596
14.2 Diskrete Zufallsgrößen 598
14.2.1 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 598
14.2.2 Summe von Ereignissen 599
14.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 602
14.2.4 Produkt von Ereignissen 604
14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit 605
14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen 608
14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte 608
14.3.2 Verteilungsfunktion 610
14.4 Kette von unabhängigen Versuchen 616
14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen 616
14.4.2 Diskussion der Funktion Pn(m) 618
14.4.3 Näherungsgesetze für große n 620
14.4.4 Markowsche Ketten 625
14.5 Stochastische Prozesse 632
14.5.1 Definitionen 632
14.5.2 Der Poisson-Prozess 633
15 Fehler- und Ausgleichsrechnung 637
15.1 Zufällige und systematische Fehler 637
15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 638
15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert 638
15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 639
15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 641
15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen 642
15.3 Fehlerfortpflanzung 644
15.3.1 Maximaler Fehler 644
15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers 646
15.3.3 Mittlerer Fehler des Mittelwertes 648
16 Numerische Methoden 651
16.1 Lineare Gleichungssysteme 651
16.1.1 Gauß-Algorithmus 651
16.1.2 Thomas-Algorithmus 655
16.1.3 Iterative Lösungsmethoden 657
16.1.4 Ausgleichsrechnung 660
16.2 Nichtlineare Gleichungen 663
16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen 663
16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen 664
16.3 Eigenwertprobleme 668
16.3.1 Potenzmethode 668
16.3.2 QR-Verfahren 670
16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 673
16.4.1 Euler-Verfahren 673
16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren 677
16.4.3 Steife Differenzialgleichungen 679
16.5 Computational Chemistry 682
16.5.1 Dichtefunktionaltheorie 682
16.5.2 Maschinenlernen 688
16.5.3 Softwarepakete 695
Antworten und Lösungen 697
Literatur 747
Weiterführende Literatur 749
Stichwortverzeichnis 753
EULA 766