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Geradlinige Bewegung

Beispielaufgaben

BEISPIELAUFGABE 1.1

Sie fahren in einem heruntergekommenen Kleinlastwagen mit 70 km/h 8,4 km weit eine gerade Straße entlang, bevor ihrem Fahrzeug das Benzin ausgeht und es anhält. Während der nächsten 30 min legen Sie bis zur Tankstelle auf der gleichen Straße weitere 2,0 km zu Fuß zurück.

(a) Wie groß ist Ihre Verschiebung insgesamt, gemessen vom Anfang Ihrer Fahrt bis zu Ihrer Ankunft an der Tankstelle?

LÖSUNG: Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass Sie sich in positiver Richtung auf einer x-Achse bewegen, und zwar von einem Punkt x1 = 0 bis zu einem zweiten Punkt x2 bei der Tankstelle. Dieser zweite Punkt liegt bei x2 = 8,4 km + 2,0 km = 10,4 km. Die LÖSUNGSIDEE ist hier, dass Ihre Verschiebung Δx entlang der x-Achse gleich der Position des zweiten Punkts minus der des ersten Punkts ist. Mit Gl. Ü1.1 erhalten wir dann

Ihre Gesamtverschiebung beträgt also 10,4 km in die positive Richtung der x-Achse.

(b) Wie groß ist das Zeitintervall Δt zwischen dem Anfang Ihrer Fahrt und Ihrer Ankunft an der Tankstelle?

LÖSUNG: Das Zeitintervall ΔtFuß Ihres Fußwegs kennen wir bereits. Was noch fehlt, ist das entsprechende Intervall ΔtFahrt Ihrer Fahrt. Wir wissen allerdings, dass die Verschiebung ΔxFahrt während der Fahrt gleich 8,4 km und die Durchschnittsgeschwindigkeit ΔxFahrt gleich 70 km/h ist. Gleichung Ü1.2 liefert die LÖSUNGSIDEE: Die Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht dem Verhältnis zwischen der Verschiebung bei der Fahrt und dem entsprechenden Zeitintervall

Nach Umformung und Einsetzen der Zahlenwerte erhalten wir damit

und somit

(c) Wie groß ist Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit vgem zwischen dem Beginn Ihrer Fahrt und Ihrer Ankunft an der Tankstelle? Ermitteln Sie diese sowohl numerisch als auch grafisch.

Abb. Ü1.1 Die Linien, die mit „Fahren“ und „Laufen“ gekennzeichnet sind, entsprechen den Ort-Zeit-Kurven während der Phasen des Fahrens und des Laufens. (Die Kurve für den Fußmarsch geht von einer konstanten Gehgeschwindigkeit aus.) Die Steigung der Geraden, die den Ursprung mit dem Punkt „Tankstelle“ verbindet, gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke – vom Startpunkt bis zur Tankstelle – an.

LÖSUNG: Auch hier liefert Gl. Ü1.2 die LÖSUNGSIDEE: vgem für die gesamte Wegstrecke ist gleich dem Verhältnis der Verschiebung von 10,4 km für die gesamte Wegstrecke zu dem Zeitintervall von 0,62 h für die gesamte Wegstrecke. Mit Gl. Ü1.2 erhalten wir dann

Um vgem grafisch zu ermitteln, zeichnen wir zunächst die Bahnkurve x(t) wie in Abb. Ü1.1 gezeigt, wobei Anfangs- und Endpunkt der Kurve durch den Ursprung und den Punkt „Tankstelle“ gegeben sind. Die Lösung liefert die Tatsache, dass Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit gleich der Steigung der Geraden zwischen diesen beiden Punkten ist, also gleich dem Verhältnis von Δx = 10,4 km zu Δt = 0,62 h. Damit ergibt sich vgem = 16,8 km/h.

(d) Um Ihren Kanister mit Benzin zu füllen, zu bezahlen und zu Ihrem Kleinlastwagen zurückzulaufen, brauchen Sie weitere 45 min. Wie groß ist Ihre Effektivgeschwindigkeit zwischen dem Beginn Ihrer Fahrt und Ihrer Rückkehr zu Ihrem Fahrzeug?

LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE ist hier, dass Ihre Effektivgeschwindigkeit gleich dem Verhältnis zwischen der Entfernung, die Sie insgesamt zurückgelegt haben, und dem gesamten Zeitintervall ist, das Sie dafür benötigt haben. Die Gesamtentfernung entspricht 8,4 km + 2,0 km + 2,0 km = 12,4 km. Das gesamte Zeitintervall ist gleich 0, 12 h + 0,50 h + 0,75 h = 1,37 h. Anhand von Gl. Ü1.3 erhalten wir damit also

BEISPIELAUFGABE 1.2

Abb. Ü1.2a zeigt eine x(t)-Kurve für einen Aufzug, der zunächst steht, sich dann aufwärts bewegt (wobei wir aufwärts als die positive x-Richtung ansehen) und dann wieder anhält. Tragen Sie v als Funktion der Zeit auf.

LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE liefert die Tatsache, dass wir die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt anhand der Steigung der Kurve x(t) zu diesem Zeitpunkt bestimmen können. Die Steigung von x(t) – und damit die Geschwindigkeit – ist in den Intervallen von 0 bis 1 s und von 9 s an gleich null, d. h., der Aufzug bewegt sich nicht. Im Zeitintervall zwischen 3 s und 8 s ist die Steigung konstant und von null verschieden, d. h., der Aufzug bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Dort können wir die Steigung von x(t) folgendermaßen berechnen

Das Pluszeichen gibt an, dass sich der Aufzug in die positive x-Richtung bewegt. Die Intervalle, in denen v = 0 und v = 4 m/s ist, sind in Abb. Ü1.2b dargestellt. Zusätzlich verändert sich v wie abgebildet in den Intervallen von 1–3 s und von 8–9 s, während denen sich der Aufzug zunächst in Bewegung setzt und schließlich abbremst und anhält. Abbildung Ü1.2b ist also die gewünschte Kurve. (Abb. Ü1.2c wird in Abschn. 1.3 im Lehrbuch behandelt.)

Abb. Ü1.2 (a) Die x(t)-Kurve eines Aufzugs, der sich entlang einer x-Achse nach oben bewegt. (b) Die v(t)-Kurve des Aufzugs. Beachten Sie, dass sie der Ableitung der x(t)-Kurve entspricht (v = dx/dt). (c) Die a(t)-Kurve des Aufzugs. Sie entspricht der Ableitung der v(t)-Kurve (a = dv/dt). Die Strichmännchen am unteren Rand der Abbildung versuchen deutlich zu machen, wie sich der Körper eines Passagiers während der verschiedenen Beschleunigungsphasen anfühlt.

Liegt uns eine v(t)-Kurve wie die aus Abb. Ü1.2b vor, so könnten wir daraus auch umgekehrt auf den Verlauf der entsprechenden x(t)-Kurve (Abb. Ü1.2a) schließen. Wir könnten dabei jedoch nicht die tatsächlichen Werte für x zu verschiedenen Zeitpunkten bestimmen, da die Kurve v(t) nur Änderungen in x angibt. Um solch eine Änderung in x während eines beliebigen Zeitintervalls zu ermitteln, müssen wir – in der Sprache der Differenzialrechnung – die Fläche „unterhalb der Kurve“ von v(t) für dieses Intervall berechnen. Für das Intervall von 3–8 s z. B., in dem der Aufzug eine Geschwindigkeit von 4,0 m/s hat, ist die Änderung in x

(Diese Fläche ist positiv, da die v(t)-Kurve oberhalb der t-Achse verläuft.) Abbildung Ü1.2a zeigt, dass x in diesem Zeitintervall in der Tat um 20 m zunimmt. Abbildung Ü1.2b verrät uns jedoch nicht, welche Zahlenwerte x am Anfang und am Ende des Intervalls einnimmt. Dazu benötigen wir zusätzliche Informationen, wie z. B. den Wert von x zu einem bestimmten Zeitpunkt.

BEISPIELAUFGABE 1.3

Die Position eines Teilchens wird auf der x-Achse von Abb. 1.1 im Lehrbuch durch

gegeben, wobei x in Metern und t in Sekunden gemessen wird.

(a) Ermitteln Sie die Geschwindigkeitsfunktion v(t) und die Beschleunigungsfunktion a(t) des Teilchens.

LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE ist hier, dass wir die Geschwindigkeitsfunktion v(t) aus der Ableitung der Ortsfunktion x(t) nach der Zeit erhalten. Wir finden damit also

wobei v in Metern pro Sekunde angegeben wird.

Die zweite LÖSUNGSIDEE ist, dass wir die Beschleunigungsfunktion a(t) erhalten, indem wir die Geschwindigkeitsfunktion v(t) nach der Zeit ableiten. Damit ergibt sich

wobei a in Metern pro Sekunde zum Quadrat ausgedrückt wird.

(b) Gibt es einen Zeitpunkt, zu dem v = 0 ist?

LÖSUNG: Wir setzen v(t) = 0 und erhalten

Diese Gleichung hat die folgenden zwei Lösungen

Die Geschwindigkeit ist also drei Sekunden vor und drei Sekunden nach dem Zeitpunkt, wenn die Stoppuhr 0 anzeigt, gleich null.

(c) Beschreiben Sie die Bewegung des Teilchens für t ≥ 0.

LÖSUNG: Die LÖSUNGSIDEE ist hier, die Ausdrücke von x(t), v(t) und a(t) genauer zu untersuchen.

Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich das Teilchen bei x(0) = +4 m und bewegt sich...