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Bewegung

1.1 Ort, Verschiebung und mittlere Geschwindigkeit

Physikalische Motivation

Eines der Ziele der Physik ist, die Bewegung von Objekten zu beschreiben – z. B. wie schnell sie sich bewegen oder welche Entfernung sie in einer bestimmten Zeit zurücklegen. Die Konstrukteure von Rennautos sind an diesem Aspekt der Physik besonders interessiert, weil diese Zusammenhänge letztlich über Sieg oder Niederlage im Rennen entscheiden. Geologen verwenden diesen Teil der Physik, um die Bewegungen von tektonischen Platten zu messen und zu versuchen, daraus Erdbeben vorherzusagen. Mediziner brauchen diese physikalischen Zusammenhänge, um aus der beobachteten Strömung des Blutes in einem Patienten den Teilverschluss einer Arterie zu diagnostizieren, und Autofahrer nutzen sie, um zu bremsen, wenn ihr Radarwarner piepst. Natürlich gibt es noch unzählige weitere Beispiele. In diesem Kapitel untersuchen wir zunächst die Grundlagen der Physik von Bewegungen, in denen sich ein Objekt (ein Rennwagen, eine tektonische Platte, rote Blutkörperchen ...) entlang einer einzigen Achse bewegt. Danach beschäftigen wir uns mit der Beschreibung von Bewegungen in zwei und drei Raumdimensionen.

1.1.1 Bewegung

Die Erde – und alles auf ihr – bewegt sich. Selbst scheinbar regungslose Dinge, wie z. B. eine Straße, bewegen sich mit der Erddrehung, der Umlaufbahn der Erde um die Sonne, der Umlaufbahn des Sonnensystems um das Zentrum der Milchstraße und der Bewegung der Galaxis relativ zu anderen Galaxien. Die Klassifizierung und der Vergleich von Bewegungen – Kinematik genannt – können manchmal eine große Herausforderung darstellen. Was genau messen wir dabei und wie werden die Vergleiche gezogen?

Bevor wir versuchen, diese Fragen zu beantworten, werden wir einige allgemeine Eigenschaften einer ganz bestimmten Art von Bewegung studieren. Diese wird durch drei Bedingungen eingeschränkt:

1. Die Bewegung erfolgt nur entlang einer geraden Linie. Diese Linie kann senkrecht (wie bei einem fallenden Stein), waagerecht (wie bei einem Auto auf einer geraden Straße) oder schräg verlaufen, aber sie muss eine Gerade sein.
2. Bewegung wird durch Kräfte („ziehen“ und „schieben“) verursacht – diese werden jedoch erst in Kap. 5 behandelt. In dem vorliegenden Kapitel werden wir nur die Bewegung an sich sowie Veränderungen dieser Bewegung untersuchen. Wird das bewegte Objekt schneller oder langsamer, hält es an oder wechselt es die Richtung? Welche Rolle spielt die Zeit bei der Veränderung der Bewegung?
3. Das bewegte Objekt ist entweder ein Teilchen, d. h. ein punktförmiges Gebilde wie z. B. ein Elektron, oder ein Objekt, das sich wie ein Teilchen bewegt (derart, dass all seine Teile sich mit exakt derselben Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewegen). Ein Kind, das seinen Körper ganz steif macht und auf dem Spielplatz eine gerade Rutsche hinunterrutscht, bewegt sich wie ein Teilchen; ein vom Wind durch die Wüste getriebener, rollender Steppenläufer dagegen nicht, da sich verschiedene Punkte in seinem Inneren in verschiedene Richtungen bewegen.

Abb. 1.1 Der Ort bzw. die Position eines Teilchens lässt sich anhand einer Achse bestimmen, die in Einheiten der Länge gekennzeichnet ist (hier in Metern) und sich unendlich weit in entgegengesetzte Richtungen erstreckt. Die Achsenbeschriftung – hier x – befindet sich immer auf der positiven Seite des Ursprungs.

1.1.2 Ort und Verschiebung

Den Ort eines Teilchens zu bestimmen bedeutet, seine Position in Bezug auf einen bestimmten Referenzpunkt festzulegen, oftmals in Bezug auf den Ursprung (oder Nullpunkt) einer Achse, wie der x-Achse in Abb. 1.1. Die positive Richtung der Achse ist die Richtung ansteigender Zahlen (Koordinaten), die in Abb. 1.1 nach rechts zeigt. Die entgegengesetzte Richtung wird als negative Richtung bezeichnet.

Ein Teilchen befindet sich z. B. am Ort x = 5 m, d. h., es befindet sich 5 m in positiver Richtung vom Ursprung entfernt. Läge es bei x = —5 m, so befände es sich genauso weit vom Ursprung entfernt, allerdings in der entgegengesetzten Richtung. Auf der Achse liegt eine Koordinate von —5 m weiter links – also zu kleineren Zahlen hin – als eine von —1 m, und beide Koordinaten befinden sich weiter links als eine Koordinate von +5 m. Das Pluszeichen einer Koordinate muss man nicht ausschreiben, das Minuszeichen dagegen muss immer aufgeführt werden.

Ein Wechsel von einem Ort x1 zu einem anderen Ort x2 wird eine Verschiebung Δx genannt, wobei

(Das Symbol Δ, der griechische Großbuchstabe Delta, steht für eine Veränderung einer Größe, also die Differenz von Endwert und Anfangswert dieser Größe.) Wenn für die Ortsangaben x1 und x2 Zahlenwerte eingesetzt werden, so ergibt eine Verschiebung in die positive Richtung (nach rechts in Abb. 1.1) immer einen positiven Wert, eine Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung (nach links in der Abbildung) einen negativen Wert. Bewegt sich das Teilchen beispielsweise von x1 = 5m nach x2 = 12 m, dann ist Δx = (12 m) – (5 m) = +7 m. Der positive Wert gibt an, dass die Bewegung in die positive Richtung erfolgt. Kehrt das Teilchen dann zu x = 5 m zurück, so ist die Verschiebung für die ganze Bewegung gleich null. Die tatsächliche Anzahl von Metern, die auf der gesamten Strecke zurückgelegt wurde, ist irrelevant. Verschiebungen berücksichtigen nur den Anfangs- und den Endpunkt einer Bewegung.

Auch bei einer Verschiebung muss ein Pluszeichen nicht aufgeführt werden, ein Minuszeichen dagegen immer. Ignorieren wir das Vorzeichen (und damit die Richtung) einer Verschiebung, so erhalten wir den Betrag (oder Absolutbetrag) der Verschiebung. Im vorangehenden Beispiel ist der Betrag von Δx gleich 7 m.

Eine Verschiebung ist ein Beispiel für eine Vektorgröße, d. h., eine Größe, die sowohl über eine Richtung als auch über einen Betrag verfügt. Über Vektoren werden wir in Anhang D mehr erfahren; an dieser Stelle genügt die Feststellung, dass eine Verschiebung zwei Eigenschaften besitzt: (1) Ihr Betrag ist der Abstand (wie z. B. eine Zahl von Metern) zwischen Anfangs- und Endpunkt. (2) Die Richtung der Verschiebung zwischen Anfangs- und Endpunkt wird einfach mit einem Plusoder Minuszeichen angegeben, falls die Bewegung nur entlang einer einzigen Achse erfolgt.

Was an dieser Stelle folgt, ist die erste einer Vielzahl von „Kontrollfragen‟, die Ihnen in diesem Buch begegnen werden. Sie bestehen aus einer oder mehreren Fragen, deren Beantwortung gewisse Argumentationsketten oder Kopfrechnungen erfordert und die Ihnen die Möglichkeit geben, Ihr Verständnis rasch zu überprüfen. Die Antworten finden Sie am Schluss dieses Buchs.

KONTROLLFRAGE 1

Hier sind drei Paare von Anfangs- und Endpunkten einer Bewegung gegeben, die entlang einer x-Achse erfolgt. Welche Paare ergeben eine negative Verschiebung: (a) —3 m, 5 m; (b) —3 m, —7 m; (c) 7 m, —3 m?

1.1.3 Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Position eines Teilchens lässt sich auf kompakte Weise anhand der Ort-Zeit-Kurve x(t) beschreiben. Dabei wird der Ort x als Funktion der Zeit t aufgetragen. (Dabei steht der Ausdruck „x(t)“ für „x als Funktion von t“, nicht für das Produkt x mal t.) Abb. 1.2 zeigt als einfaches Beispiel die Ortsfunktion x(t) eines ruhenden Gürteltiers (das wir wie ein Teilchen behandeln) bei x = —2 m.

Abbildung 1.3a ist interessanter, da sich das Gürteltier hier bewegt. Das Tier wird offensichtlich zum ersten Mal zum Zeitpunkt t = 0 gesichtet, als es sich am Ort x = —5 m befindet. Es bewegt sich bis x = 0, überquert diesen Punkt bei t = 3s und strebt dann nach immer größer werdenden positiven Werten von x.

Abb. 1.2 Die Kurve x(t) für ein Gürteltier, das sich unbewegt bei x = —2m aufhält. Für alle Zeiten t ist der Wert von x gleich — 2m.

Abbildung 1.3b zeigt die tatsächliche geradlinige Bewegung des Gürteltiers. Sie entspricht dem, was Sie in etwa sehen würden. Die Kurve in Abb. 1.3a ist abstrakter und weiter von dem entfernt, was Sie beobachten würden, doch sie enthält mehr Information. Sie macht auch deutlich, wie schnell sich das Gürteltier bewegt.

Tatsächlich hängt der Ausdruck „wie schnell‟ mit mehreren Größen zusammen. Eine von ihnen ist die Durchschnittsgeschwindigkeit oder mittlere Geschwindigkeit vgem. Sie wird durch das Verhältnis der Verschiebung Δx, die in einem bestimmten Zeitintervall Δt stattfindet, zu diesem Zeitintervall gegeben:

Abb. 1.3 (a) Die x(t)-Kurve eines sich bewegenden Gürteltiers. (b) Die Bahn, die dieser Kurve entspricht. Die Skala unterhalb der...