Die Analysis im Wandel und im Widerstreit (eBook)

Detlef D. Spalt studierte 1970-75 Mathematik an der TH Darmstadt, 1981 Promotion mit einem Thema zur Analysisgeschichte, 1992 Ablehnung der Habilitation, Gastvorlesungen an den Universitäten Salzburg (mehrfach), Marburg und derzeit Frankfurt am Main.

Die Analysis im Wandel 1
Vorwort 7
Inhalt 11
Einleitung 21
Kapitel 1: Die Erfindung der formalen Algebra durch Descartes 31
Der Stand der Dinge vor Descartes: Galilei um die Jahre 1623–38 31
Die geläufige Version 31
Die tatsächliche Formulierung 32
Descartes' mathematische Großtat 33
Erster Versuch: Descartes' Algebra mit Figuren (bis 1628) 34
Das Ausgangsproblem 34
Die »Regulae«: Rechnen mit Figuren 36
Die Leistungsfähigkeit des menschlichen Denkens 36
Descartes' Vorgehensweise 37
Was sind Figuren, und wie soll mit ihnen verfahren werden? 38
Descartes' Zielsetzung 41
Zweiter Versuch: Descartes' Algebra mit Streckenlängen (ab 1637) – die Erfindung der formalen Algebra 47
Die grundlegenden Konstruktionen 48
Reflexion 1 49
Die bahnbrechende Erfindung 51
Die Erfindung der rein formalen Gleichung 55
Reflexion 2 56
Die Rückbindung der algebraisch gefundenen Gleichungslösung an die Geometrie 58
Descartes hat nur positive Grössen – und keine Koordinaten 60
Ergebnis 61
Ein Blick auf Descartes' Ontologie 61
Substanz, Attribut, Modus 62
Zwei Substanzen 62
Geometrie und Arithmetik bei Descartes 64
Bewegung in der Mathematik 65
Ein ontologischer Nachtrag 68
Historiografische Nachträge 68
Die Erfindung der Operationszeichen + und - 68
Das cossische Rechnen 73
Recorde oder: Die Erfindung des Gleichheitszeichens 75
Viète oder: Rechnen mit geometrischen Figuren – nicht formal 76
Eine weltgeschichtliche Analogie zu Descartes' Leistung 78
Die Anfänge von Descartes' Gleichungslehre 82
Warum „Algebra“? 89
Descartes' Leistung für die Grundlagen der Mathematik 90
Warum also „Algebra“? 91
Zur philosophischen Bedeutung von Descartes' Leistung für die Mathematik 93
Kapitel 2: Die Erfindung der stetig Veränderlichen durch Leibniz 95
Die bei Descartes verbliebene Begriffslücke 95
Verschiedene Arten von Gleichungen 95
Worin besteht das Problem bei Descartes? 97
Descartes' Ablenkungsmanöver 98
Die Lösung des Descartes'schen Problems in der Analysis: eine Begriffsverschiebung 100
Der Gegenstand 100
Die Bedeutung dieser Lösung des Descartes'schen Problems 100
Eine Bewertung dieser Lösung 100
Wie kann Leibniz zum Begriff der veränderlichen Größe kommen? 101
Zu Leibniz' Begriff der Monade 101
Leibniz' Begriff der Veränderung 103
Leibniz' Begriff von (Raum und) Zeit 108
Leibniz' Begriff der Zahl 109
Der junge Leibniz war Pythagoreer 109
Ontologisch gefragt: Was ist die Zahl? 110
Begrifflich gefragt: Wie ist „Zahl“ bestimmt? 110
Das Verfahren der Größen- und der Zahlbestimmung 115
Zur Deutungsgeschichte des Leibniz'schen Zahlbegriffs 119
Zwei Schlussbemerkungen zu Leibniz' Zahlbegriff 129
Das erste allgemeine Konvergenzkriterium 131
Die Quelle 131
Aus dem Inhalt 132
Das Konvergenzkriterium (ohne den Begriff der Konvergenz) 132
Leibniz' Technik der Infinitesimalrechnung: strenge Epsilontik – das Riemann-Integral 135
Die Konstruktion 136
Der Beweis 138
Bedingungen an diesen Beweis 139
Das Neuartige an diesem Beweis 140
Der Preis des Neuartigen 140
Leibniz' Begründung der Differenzialrechnung 141
Die Quelle 141
Das Kontinuitätsgesetz 141
Unendlich kleine und unendlich große Größen – als „erdichtete“ 143
Die Differenzialregeln 147
Leibniz erweitert den Geltungsbereich der Mathematik 152
Der Ausgangspunkt: Descartes' La Géométrie 152
Leibniz' Erweiterungsprogramm 153
Durch die Einführung der veränderlichen Größe wird das Kontinuum zu einem Gegenstand der Mathematik 154
Transzendente Zahlen 155
Das Kontinuum besteht nicht nur aus Zahlen 157
Leibniz als Begriffs- und Symbolerfinder 158
Characteristica universalis 158
Von Leibniz erfundene Symbolik 158
Einige von Leibniz angeregte Konstruktionen und Begriffe 160
Die Erfindung der stetig Veränderlichen und der Epsilontik 166
Der Begriff der Veränderlichen 166
Die „Stetigkeit“ der Veränderung 167
Nochmals: Was ist für Leibniz eine Veränderliche? 168
Historiografischer Nachtrag I – die Indivisibeln 170
Das Indivisibel im scholastischen Kontinuumsbegriff 170
Cavalieri 170
Unverständnis 173
Torricellis Indivisibeln 174
Fermat, Roberval 176
Fazit 176
Historiografischer Nachtrag II – die Stetigkeit des Kontinuums 177
Historiografischer Nachtrag III – Newtons Fluxionsrechnung 178
Newtons mathematische Grundbegriffe 178
Newtons Verfahrensweise 180
Newtons Fluxionsmethode: die „Methode der verschwindenden Größen“ 180
Analyse 190
Rückblick 191
Kapitel 3: Die Grundlagen der Algebraischen Analysis 193
Johann Bernoullis Kalkül der Differenziale 193
Eine vage Diffusion von Ideen 193
Leibniz' Publikation der Differenzialregeln 193
Johann Bernoullis Differenzialkalkül 196
Zusammenfassung: Der Wechsel von der Geometrie zur Algebra 209
Die heftige Kontroverse zwischen Leibniz und Johann Bernoulli – vom geometrischen Differenzial zur unendlich kleinen Zahl? 209
Ein Nachtrag zur kettenregel 217
l'Hospitals Umsetzung der Vorgabe Johann Bernoullis 218
Veränderliche und Konstante 218
l'Hospitals Begriff des Differenzials 219
Die Forderung 220
Differenzialregeln 220
l'Hospital ist konsequenter als Johann Bernoulli 222
Die Weitergabe von Johann Bernoullis Differenzialkalkül 223
Eulers Begriff von Funktion und Zahl 223
Vorspiel 223
Die Inthronisierung des wichtigsten Begriffs der Analysis: Funktion 224
Eulers Algebra mit Größen 246
Eulers Zahlbegriff 253
Konvergenz 275
Stetigkeit 283
Eulers Denkmuster der Analysis: „Algebraische Analysis“ 285
Vier Weiterführungen 285
(1) d'Alemberts Begriff der Größe: eine Kritik an Euler 285
(2) Der Begriff der Größenordnung 288
(3) Die Taylorreihe in der Algebraischen Analysis – Lagrange 291
(4) Das Konvergenzverständnis von Lacroix 297
Was war die Algebraische Analysis? 298
Johann Bernoullis Beitrag 298
Eulers Denken der Algebraischen Analysis 300
Kapitel 4: Die Begründung der Werte-Analysis 305
Vom Wandel der Dinge 305
Der doppelte Auftakt, Teil 1: Bernard Bolzano 1817 306
Bolzanos Zielsetzung 307
Bolzanos Durchführung seines Programms 310
Bolzanos Funktionenlehre 322
Der doppelte Auftakt, Teil 2: Augustin-Louis Cauchy 1821 327
Das Programm 327
Cauchys Stufenaufbau der Grundlagen der Analysis 330
Veränderliche, Grenze, Irrationalzahlen, Funktion, Funktionswert und unendlich Kleine 333
Stetigkeit und Konvergenz – die Definitionen 344
Differenzenverhältnis und Ableitung 361
Das Differenzial bei Funktionen einer Veränderlichen 366
Das Integral 369
Rekapitulation der Revolution 374
Kapitel 5: Das analytische Interregnum von 1817 bis 1872 381
Nichtverstehen der Cauchy'schen Analysis 381
Niels Henrik Abel 1826 381
Zusammenfassende Bewertung von Abels Kritik 385
Philipp Ludwig Seidel 1850 385
Unsicherheiten beim Begriff des Funktionswerts 392
Ein einziger treuer Cauchy-Leser? 392
Dirichlets zögerliche Position 393
Riemanns klarer Schnitt beim Funktionsbegriff stößt das Tor zur Mengenlehre auf 400
Riemann übersieht den Sachverhalt der gleichmäßigen Konvergenz 406
Die Ambivalenz der Werte-Revolution 410
Gleiche Bestimmungen von Stetigkeit und Konvergenz 410
Zwei sehr unterschiedliche Funktionsbegriffe 410
Ergebnis 411
Unterschiedliche Methodiken 412
Cauchys ‚Grenzwertsprache‘ 412
Riemanns ‚Epsilontik‘ 412
‚Epsilontik‘ contra ‚Grenzwertsprache‘ 413
Missverständnisse 413
Methodisches Fazit und eine fachliche Konsequenz 417
Weierstraß' Ringen um die Grundbegriffe der Analysis 418
Größe, Grenze, Kontinuum 419
Der „Satz vom Verdichtungspunkt“ 429
Weierstraß' Funktionsbegriff (im Wandel) 432
Weierstraß' hartnäckige Arbeit am Zahlbegriff 445
Ein veränderter Blick auf Weierstraß 469
Kapitel 6: Konsolidierung (1) – Die Erfindung der reellen Zahlen im Jahr 1872 477
Die Situation ante 477
Hankels Bestandsaufnahme zum Begriff der irrationalen Zahl im Jahr 1867 477
Die Artikulation der Misere durch Eduard Heine 482
Rückblick: Weierstraß' Konstruktion 483
Cantors Blick auf Weierstraß' Konstruktion 484
Cantors Deutung von Weierstraß' Konstruktion 486
Die Neuschöpfung – Variante 1: Cantor und Heine 1872 488
Cantor: Zahlgrößen im weiteren Sinne 488
Eine Hierarchie neuer Zahlbereiche – Die Gleichheit 493
Heines Versuch der Reduktion der Hierarchie 495
Eine erste topologische Fassung des „Satzes von Bolzano-Weierstraß“ 498
Freges Kritik an Cantors und Heines Begriffsbildungen 498
Logische Unterscheidungen 499
Der ontologische Aspekt: Was ist „Zahl“? 499
Was ist „Gleichheit“? 500
Freges Kritik am formalen Zahlbegriff 500
Woher und warum hat Heine den Begriff der „Zahl“ als „Zeichen“? 504
Freges Ablehnung der neuen Relationen 505
Was hat Frege übersehen? – Der analytische Zugewinn des neuen Zahlbegriffs 507
Die Neuschöpfung – Variante 2: Dedekind 1872 509
Nochmals Cantor 1872: Der Bezug zur Geometrie 509
Die Entstehung der Schrift 511
Dedekinds Vorgehen: Eine Analogie von Arithmetik und Geometrie 512
Die „Stetigkeit“ der geraden Linie 513
Die Schöpfung der irrationalen Zahlen 518
Reflexion 526
Freges Kritik an Dedekinds Konstruktion 531
Russells Glättung der Dedekind'schen Konstruktion 534
Nachtrag: Mérays Skizze aus dem Jahr 1869 538
Zwei Prinzipien 538
„Fiktive Grenzen“ 540
Rekapitulation und Einschätzung 543
Drei Jahre später 544
Rückblick auf die durch (Méray,) Cantor, Heine und Dedekind bewirkte Revolution des Zahlbegriffs 547
Welches neuen Konstruktionsmittels bedienen sich Cantor, Heine und Dedekind? – Die Einführung des „aktualen“ Unendlich in die Mathematik 548
Ausblick auf eine unterbliebene Revolution des Zahlbegriffs: Die ?-Analysis 1958 549
Rekapitulation der Herkunft des Cantor'schen Zahlbegriffs 549
Die ?-rationalen Zahlen 550
Quasirationale ?-Zahlen 552
Anordnungen der ?-rationalen Zahlen 552
Drei verschiedene Arten des Größenvergleichs 554
Grenzwerte für ?-rationale Zahlen 562
Warum nicht? 568
Eine intensionale Fassung des Zahlbegriffs: Husserl 569
Die Zielsetzung 569
Der Ausgangspunkt 570
Die Unterscheidung von „Vielheit“ und „kollektive Verbindung“ 571
Zugängliche Zahlen 575
Symbolische Zahlen 579
Rechnen 581
Zur Bedeutung des dekadischen Zahlensystems 587
Ausblick 589
Die Axiomatisierung der reellen Zahlen durch Hilbert 589
„18 Axiome“ 590
Pro und contra axiomatische Methode 594
Standortbestimmung zum Zahlbegriff und Ausblick 603
Das Neue am Zahlbegriff seit 1872 604
Sind die ?-Zahlen die modernen Inkommensurablen? 605
Das Verschwinden der „unendlich kleinen“ Größen aus der Analysis 606
Die Abdankung des begrifflichen Denkens 607
Willkürliches Denken 608
Die Neugründung der Mathematik 610
Kapitel 7: Konsolidierung (2) – Die Suche nach einem Substrat für den Funktionsbegriff 611
Heine: Funktionenlehre über dem neuen Zahlbegriff 611
Eine erste Konsequenz für die Funktionenlehre über dem neuen Zahlbegriff 612
Eine zweite Konsequenz 613
Der Zwischenwertsatz 615
Die gleichmäßige Stetigkeit 615
Nach Riemann lange nichts Neues 616
Der Gegensatz zwischen Weierstraß' und Riemanns Funktionsbegriff 616
Die Tradition der deutschsprachigen Literatur folgt Riemann 618
Die französische Tradition 627
Der offizielle Entwicklungsstand des Funktionsbegriffs am 10. August 1899 636
Klein: Mathematik als Theorie der Naturerscheinungen 641
Mathematik vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aus 642
Zwei grundlegende Sätze in der Sprache der Mengenlehre 653
Die unabhängig Veränderliche 654
Der Begriff der Funktion … 655
Stetigkeit 657
Das bestimmte Integral 665
(3) : Die vernünftigen Funktionen 665
Zwischenbilanz im Jahr 1913 667
Vorspiel: Georg Cantor 1895 668
Nachtrag: Cantors Mengenbegriff 668
„Funktion“ zwischen „Mengen“ 668
Pasch: Die Funktion als Menge (1) 669
Paschs Anfangsbegriffe 669
Reihe und Menge 672
Wert und Veränderliche 673
Argument, Abhängigkeit und Funktion 674
Zweierlei Stetigkeit 678
Hausdorff: Die Erfindung der Mengen-Analysis (und also: Funktion als Menge (2)) 680
Richtigkeit vor Plausibilität 680
Der mengentheoretische Begriff „Funktion“ 681
Drei verschiedene Begründungsweisen der ‚Mengen-Analysis‘: je nach Geschmack 683
Topologie als Umgebungssystem 684
Aus eins mach zwei: Von der „Grenze“ zu „Limes“ und „Häufungspunkt“ 686
„Stetigkeit“ als topologischer Begriff 687
Was der Punktmengen-Analysis nach Hausdorff fehlt 688
Metrischer Raum 689
Ein Fazit für ‚Epsilontik‘ und ‚Grenzwertsprache‘ 691
Nach dem großen Kulturbruch 691
Eine erste Monographie: Hahn 1921 691
Kurze Bemerkungen zur Lehrbuchliteratur 693
Standortbestimmung zum Funktionsbegriff und Ausblick 696
Rückblick auf die Entwicklung des Funktionsbegriffs in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts 696
Ontologische Standortbestimmung der heutigen Analysis 696
Ausklang: Das aktuale Unendlich – der philosophische Joker in der heutigen Mathematik 701
Umbrüche des mathematischen Denkens 701
Wie ist es um die Strenge der Mathematik bestellt? 705
Welche Eigenschaften hat das aktuale Unendlich? 706
Beispiel Logik 707
Beispiel Arithmetik 707
Ein Drittes gibt es nicht 708
Frühere Betrachtungsweisen 709
Bolzano 709
Dedekind und Cantor 710
Standard- und Nichtstandard-Analysis 710
Strenge in der Mathematik: eine auf Willkür gegründete Notwendigkeit 711
Die Macht der Geschichte 712
Eine Lehre 712
(Mathematische) Wahrheiten 712
Zum Abschied 713
Verzeichnisse 715
Literatur 715
Personen 751
Technik 761
Sachen 764