Handbuch der Mathematikdidaktik (eBook)

Prof. Dr. Regina Bruder, Technische Universität Darmstadt, Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Lisa Hefendehl-Hebecker, Universität Duisburg - Essen, Fakultät für MathematikProf. Dr. Barbara Schmidt-Thieme, Universität Hildesheim, Institut für Mathematik und Angewandte Informatik Prof. Dr. Hans-Georg Weigand, Universität Würzburg, Didaktik der Mathematik, Fakultät für Mathematik und Informatik

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 7
Mitarbeiterverzeichnis 10
Teil I 12
Mathematik als Bildungsgegenstand 12
Kapitel 1 14
Gesellschaftliche Bedeutung der Mathematik 14
1.1 Grundlegende Fragen 14
1.2 Mathematik als Wissenskultur 20
1.3 Mathematik als Werkzeug 23
1.4 Mathematik als Wissenschaft 24
Literatur 26
Kapitel 2 29
Schulmathematik und Realität – Verstehen durch Anwenden 29
2.1 Mathematik und die uns umgebende Welt 31
2.1.1 Mathematik entsteht aus realen Problemen 31
2.1.2 Mathematikunterricht und realitätsnahe Probleme 34
2.1.3 Zielsetzungen eines realitätsnahen Mathematikunterrichts 35
2.2 Modelle: Brücken zwischen „Mathematik und dem Rest der Welt“ 40
2.2.1 „Mathematik und der Rest der Welt“ 40
2.2.2 Was sind „Modelle“? 42
2.2.3 Typen von Modellen 44
2.3 Realitätsnaher Mathematikunterricht 47
2.3.1 Problemzonen des Mathematikunterrichts 47
2.3.2 Möglichkeiten und Grenzen eines realitätsnahen Mathematikunterrichts 49
2.3.3 Horizontale und vertikale Vernetzung 52
2.4 Realitätsnaher Mathematikunterricht in Zeiten von Standards und zentralen Prüfungen 55
Literatur 56
Kapitel 3 60
Bildungstheoretische Grundlagen des Mathematikunterrichts 60
3.1 Pädagogische Aspekte 61
3.2 Gesellschaftliche Aspekte 64
3.3 Funktionen der Schule und die Rolle der Bildungsstandards 66
3.4 Fachliche bildungsrelevante Charakterisierungen der Mathematik 71
3.4.1 Hans Freudenthal: „Mathematik als pädagogische Aufgabe“ 71
3.4.2 „Fundamentale Ideen“ der Mathematik 72
3.4.3 Allgemeine mathematische Lernziele nach Heinrich Winter 1975 73
3.4.4 „mathematical literacy“ und „mathematical proficiency“ 74
3.4.5 Charakteristika „moderner mathematischer Allgemeinbildung“ 76
3.5 Synthetisierend: Heinrich Winters „Grunderfahrungen“ 77
Literatur 79
Teil II 83
Mathematik als Lehr- und Lerninhalt 83
Kapitel 4 85
Arithmetik: Leitidee Zahl 85
4.1 Zur Entwicklung des Zahlensystems und des arithmetischen Denkens 85
4.1.1 Ursprünge 86
4.1.2 Die Entstehung arithmetischen Denkens in den antiken Hochkulturen 87
4.1.3 Zahlen als ideelle Objekte im antiken Griechenland 90
4.1.4 Die Entdeckung des Inkommensurablen 92
4.1.5 Das indisch-arabische dezimale Stellenwertsystem 93
4.1.6 Erweiterungen des Zahlensystems 95
4.1.7 Die Konstruktion der reellen Zahlen 96
4.2 Zahlen und Arithmetische Denkweisen 97
4.2.1 Ursprünge arithmetischen Denkens 97
4.2.2 Die Bedeutung von Darstellungsarten für arithmetisches Denken 100
4.2.3 Natürliche Zahlen und arithmetisches Denken in Vorschule und Grundschule 104
4.2.4 Zahlbereichserweiterungen in der Sekundarstufe 108
4.2.5 Dyskalkulie 113
4.3 Zahlen und Arithmetik im Unterricht 115
4.3.1 Zur Geschichte des Arithmetikunterrichts 115
4.3.2 Forschungen zum Arithmetikunterricht 117
Literatur 119
Kapitel 5 124
Algebra: Leitidee Symbol und Formalisierung 124
5.1 Entwicklung und Bedeutung der algebraischen Formelsprache 124
5.1.1 Zur Entstehung der Formelsprache 125
5.1.2 Zur Bedeutung der Formelsprache 131
5.1.3 Die Rolle der Variablen 133
5.1.4 Die Formelsprache aus semiotischer Perspektive 135
5.2 Algebraische Denkweisen und Methoden 137
5.2.1 Wurzeln algebraischen Denkens und ihre Weiterentwicklung 137
5.2.2 Vom ursprünglichen Verstehen zum relationalen Denken - ein Beispiel 140
5.2.3 Forschungen zum algebraischen Denken 142
5.3 Algebraunterricht 144
5.3.1 Zur Geschichte des Algebraunterrichts 145
5.3.2 Forschungen zum Algebraunterricht 147
Literatur 151
Kapitel 6 156
Analysis: Leitidee Zuordnung und Veränderung 156
6.1 Historische und epistemologische Grundlagen 157
6.1.1 Zur geschichtlichen Entwicklung 157
6.1.2 Funktion als Leitbegriff der Mathematik und des Mathematikunterrichts 162
6.1.3 Infinitesimales Denken und epistemologische Hürden 165
6.2 Funktionales Denken im Lernprozess 168
6.2.1 Aspekte funktionalen Denkens und ihre Rolle bei der Begriffsentwicklung 168
6.2.2 Repräsentationsebenen und Übersetzungsprozesse 171
6.3 Analysisunterricht 174
6.3.1 Wege zur Ableitung und zum Integral 174
6.3.2 Wachstum und Änderung 181
6.3.3 Analysisunterricht zwischen Anschaulichkeit und formaler Exaktheit 185
Literatur 189
Kapitel 7 192
Geometrie: Leitidee Raum und Form 192
7.1 Geometrie und Geometrieunterricht aus der historisch-genetischen Perspektive 193
7.1.1 Entwicklungslinien 194
7.1.2 Akzentuierungen für die Beschäftigung mit Geometrie 197
7.1.3 Niederschlag in der Geschichte des Geometrieunterrichts 198
7.2 Geometrie und Geometrieunterricht – lern- und kognitions-psychologisch 200
7.2.1 Aspekte geometrischen Denkens 200
7.2.2 Entwicklung geometrischen Denkens 208
7.3 Geometrieunterricht 209
7.3.1 Geometrie und Curriculum 209
7.3.2 Das weiter zu erforschende Verhältnis von Lehrenden und Lernenden zur Geometrie 211
7.3.3 Eine aktuelle Strömung: Raumgeometrie und 3D-DGS 214
7.3.4 Geometrie und Veranschaulichung im Mathematikunterricht 215
7.3.5 Geometrieunterricht in internationaler Entwicklung 218
7.4 Fazit und Ausblick 219
Literatur 220
Kapitel 8 227
Stochastik: Leitidee Daten und Zufall 227
8.1 Fachlich-epistemologische Überlegungen 228
8.2 Empirische Untersuchungen zum probabilistischen und statistischen Denken 237
8.3 Unterrichtspraktische Überlegungen: Stochastik in der Schule 241
8.4 Schlussbemerkungen 250
Literatur 250
Teil III 258
Mathematik als Denkprozesse 259
Kapitel 9 260
Begriffsbildung 260
9.1 Begriffe in der Mathematik 260
9.1.1 Die mathematik-didaktische Analyse 261
9.1.2 Die erkenntnistheoretische Begriffskritik 263
9.2 Lerntheoretische Grundlagen 265
9.2.1 Die Idee der didaktischen Phänomenologie 265
9.2.2 Grundvorstellungen 267
9.2.3 Die didaktische Rekonstruktion 268
9.3 Begriffslernen im Mathematikunterricht 269
9.3.1 Aspekte des Begriffsverständnisses 269
9.3.2 Arten des Begriffserwerbs 272
9.3.3 Empirische Untersuchungen 275
9.4 Strategien des Begriffslehrens 277
9.4.1 Kurzfristiges Lehren mathematischer Begriffe 278
9.4.2 Mittelfristiges Lehrenmathematischer Begriffe 279
9.4.3 Langfristiges Lehren mathematischer Begriffe 280
Literatur 281
Kapitel 10 284
Problemlösen lernen 284
10.1 Begriffliche Grundlagen 284
10.2 Problemtypologien 285
10.3 Mathematische Problemlösekompetenz als Ziel schulischer Allgemeinbildung 289
10.4 Zu Verlaufsmodellen mathematischer Problemlöseprozesse 291
10.5 Zum Erwerb mathematischer Problemlösekompetenz 294
10.5.1 Einflussfaktoren auf Inhalt und Verlauf von Problemlöseprozessen 294
10.5.2 Fördermethoden und -konzepte für den Erwerb von Problemlösekompetenz 295
10.6 Unterrichtskonzepte zur Ausbildung mathematischer Problemlösekompetenz 298
10.7 Problemlösen und Begabtenförderung/-erkennung 301
10.8 Offene Fragen 302
Literatur 303
Kapitel 11 307
Algorithmik 307
11.1 Vorbemerkungen 307
11.2 Algorithmen: Entstehungsgeschichte, Etymologie, Grundbegriffe 308
11.3 Die Methodologie des algorithmischen Arbeitens und fundamentale fachdidaktische Prinzipien der Mathematik 313
11.3.1 Das genetische Prinzip und die historische Perspektive 313
11.3.2 Konstruktivität 319
11.3.3 Elementarität 321
11.3.4 Vernetztheit, Beziehungshaltigkeit 322
11.3.5 Experimentelles, exploratives Arbeiten, das operative Prinzip und mathematische Heuristik 323
11.4 Werkzeuge für das algorithmische Arbeiten 325
11.5 Algorithmik und mathematische Bildungsinhalte besonders im Bereich der Schulbildung 328
11.6 Schlussbemerkungen 330
Literatur 332
Kapitel 12 334
Argumentieren und Beweisen 334
12.1.1 Die Natur des mathematischen Beweises 334
12.1.2 Beweisen im Unterricht 336
12.2 Argumentieren und Beweisen 341
12.2.1 Begriffsklärung 341
12.2.2 Toulmin’s Argumentationstheorie 342
12.2.3 Beweisen und explorieren 344
12.2.4 Einsicht in die Beweisnotwendigkeit 344
12.3 Kognitive Aspekte 346
12.3.1 Kognitive Voraussetzungen von Beweiskompetenz 346
12.3.2 Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern und Metawissen zum Beweisen 347
12.3.3 Stufen- und Entwicklungsmodelle mathematischer Beweiskompetenz 350
12.3.4 Interventionen zur Förderung von Beweiskompetenz 351
12.4 Zusammenfassung 352
Literatur 354
Kapitel 13 359
Anwendungen und Modellieren 359
13.1 Curriculare Relevanz von mathematischem Modellieren 359
13.2 Theoretische Diskussion zum Modellieren in der Mathematikdidaktik 362
13.2.1 Theoretische Diskussion zum mathematischen Modellieren im Unterricht – Historische Entwicklung und aktueller Stand 362
13.2.2 Der Modellierungsprozess als Rahmen für Modellierungsaktivitäten 365
13.3 Unterrichtliche Beispiele zum Modellieren 368
13.3.1 Die Leuchtturm-Aufgabe als Beispiel für reichhaltige Modellierungsprozesse 368
13.3.2 Preisgestaltung eines Internet-Cafés als authentisches Modellierungsbeispiel 370
13.4 Modellierungskompetenzen und ihre Förderung 371
13.4.1 Definition und Konzept von Modellierungskompetenzen 371
13.4.2 Förderung von Modellierungskompetenzen 373
13.5 Modellieren mit digitalen Werkzeugen 373
13.6 Ergebnisse empirischer Studien zur Förderung des Modellierens 376
13.6.1 Studien zu kognitiven und affektiven Aspekten 376
13.6.2 Studien zur Effektivität von Lernumgebungen, zu Lehrerinterventionen und adaptivem Lehrerverhalten bei Modellierungsprozessen 377
13.7 Ausblick: Aktivitäten und Projekte zur Förderung von Anwendungen und Modellieren im Mathematikunterricht 380
Literatur 381
Kapitel 14 386
Darstellen und Kommunizieren 386
14.1 Einleitung 386
14.2 Darstellen: Repräsentationsformen mathematischen Wissens 387
14.2.1 Repräsentationsformen in Theorie und Praxis 387
14.2.2 Hintergrundtheorien und ihre Anwendungen auf mathematikdidaktische Fragestellungen 388
14.2.3 Einteilungen und Eigenschaften von Repräsentationen mathematischer Objekte und Sachverhalte 390
14.2.4 Sprache und mathematische Fachsprache 393
14.3 Formalisieren: Zeichengebrauch und Begriffsbildung 395
14.3.1 Gebrauch von Repräsentationsformen 396
14.3.2 Erwerb von und Wechsel zwischen Repräsentationsformen 398
14.4 Kommunizieren: Interaktion im Mathematikunterricht 399
14.4.1 Unterrichtskommunikation 399
14.4.2 Interaktions- und Handlungsmuster 400
14.4.3 Mimik, Gestik und Raumverhalten 402
14.4.4 Erklären und Argumentieren 402
14.4.5 Gesprächs- und Schreibanlässe 403
14.5 Fazit 405
Literatur 405
Teil IV 410
Mathematik im Unterrichtsprozess 410
Kapitel 15 412
Unterrichtsmethoden und Instruktionsstrategien 412
15.1 Einleitung 412
15.2 Sozial- und Arbeitsformen als Elemente des Unterrichts 413
15.2.1 Lernen in kooperativen Sozialformen 414
15.2.2 Lehrerzentrierte Sozialformen 416
15.2.3 Offene Lernumgebungen 417
15.2.4 Zusammenfassung 418
15.3 Mathematikunterricht als Organisation von Lerngelegenheiten 419
15.3.1 Kognitive Aktivierung 420
15.3.2 Metakognitive Aktivierung und Förderung 422
15.3.3 Konstruktive Lernunterstützung 423
15.3.4 Inhaltliche und strukturelle Klarheit 423
15.3.5 Zusammenfassung 425
15.4 Instruktionsstrategien 425
15.4.1 Cognitive Apprenticeship 426
15.4.2 Four Component Instruction Design, 4C/ID 427
15.4.3 Cognitive Load Theory 428
15.4.4 Zusammenfassung 429
15.5 Offene Fragen und aktuelle Entwicklungslinien 429
Literatur 431
Kapitel 16 436
Aufgaben in Forschung und Praxis 436
16.1 Kategorien zur Charakterisierung von Aufgaben 438
16.1.1 Inhaltsbezogene Merkmale 438
16.1.2 Kognitionsbezogene Merkmale 439
16.1.3 Didaktische Merkmale 439
16.2 Aufgaben in der fachbezogenen Lehr-Lernforschung und in der Unterrichtsforschung 443
16.2.1 Aufgaben in der Lernprozessforschung 443
16.2.2 Aufgaben in der Leistungsmessung 444
16.2.3 Aufgaben in der Unterrichtsforschung 445
16.2.4 Aufgaben in der Professionalitätsforschung 448
16.3 Aufgaben in der fachdidaktischen Entwicklungsforschung 449
16.4 Aufgaben in der Lehrerprofessionalisierung und in der Steuerung von Bildungssystemen 452
16.5 Fazit: Perspektiven für die Aufgabenforschung 453
Literatur 454
Kapitel 17 462
Medien 462
17.1 Was sind Medien? 462
17.1.1 Weiter und enger Medienbegriff 462
17.1.2 Medien und die Vielfalt der Forschungsfragen 463
17.1.3 Medien und Einsatzzweck 463
17.1.4 Medien und Darstellungsebenen 464
17.1.5 Medien und Bezeichnungsvielfalt 464
17.2 Traditionelle Medien im Mathematikunterricht 465
17.2.1 Arbeitsmittel 465
17.2.2 Werkzeuge 466
17.2.3 Anschauungsmittel 467
17.2.4 Gedruckte Medien 468
17.2.5 Übergreifende Konzepte 469
17.2.6 Präsentationsmedien 470
17.3 Digitale Medien im Mathematikunterricht 470
17.3.1 Rechner/Hardware 471
17.3.2 Programme/Software 475
17.3.3 Netz und Vernetzung von Medien – das Internet 479
17.4 Theoretische Grundlagen des Einsatzes digitaler Technologien (DT) 481
17.4.1 DT und das didaktische Dreieck 481
17.4.2 Die Theorie der instrumentellen Genese 482
17.5 Forschungsbereiche zu den digitalen Medien bzw. digitalen Technologien (DT) 483
17.5.1 Voraussetzungen für den DT-Einsatz 483
17.5.2 Wirkungen des DT-Einsatzes 484
17.5.3 Der Einsatz von DT in Prüfungen 485
17.5.4 Multiple und dynamische Repräsentationen 485
17.5.5 Hard- und Software-Design, Konstruktion von Lernumgebungen 486
17.5.6 Digitale Medien in der Grundschule 486
17.5.7 Digitale Medien in der Lehreraus- und -weiterbildung 486
17.6 Ausblick 487
Literatur 488
Kapitel 18 492
Diagnostik und Leistungsbeurteilung 492
18.1 Grundsätzliche Überlegungen 493
18.1.1 Diagnose und Diagnosekompetenz 493
18.1.2 Förderdiagnostik 494
18.1.3 Verhältnis von Diagnose und Bewertung 495
18.1.4 Merkmale von Diagnosen 495
18.1.5 Verhältnis Diagnose und Förderung 497
18.2 Bewertungsmaßstab, Beurteilungsfehler und Grenzwerte 498
18.3 Diagnostik als Forschungsgegenstand 500
18.3.1 Untersuchungen zur Urteilsgenauigkeit 500
18.3.2 Diagnosekompetenz und Fördermaßnahmen 501
18.4 Diagnostik und Leistungsbeurteilung im Unterricht 502
18.4.1 Instrumente und Maßnahmen zur Erhebung und Bewertung von Leistungen 503
18.4.2 Instrumente und Maßnahmen zur Diagnose im Unterricht 505
18.5 Resümee 509
Literatur 510
Kapitel 19 514
Individualisieren und differenzieren 514
19.1 Strukturmomente für eine Binnendifferenzierung im Mathematikunterricht 515
19.2 Didaktisch-methodische Differenzierungsmaßnahmen im Mathematikunterricht in historischer Entwicklung 520
19.3 Offene Fragen 531
Literatur 532
Teil V 536
Didaktik der Mathematik als Forschungsdisziplin 536
Kapitel 20 539
Zur geschichtlichen Entwicklung der Mathematikdidaktik als wissenschaftlicher Disziplin 539
20.1 Vorbemerkung 539
20.2 Vom Beginn des 19. Jahrhunderts bis zum 1. Weltkrieg 541
20.2.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik 541
20.2.2 Die Diskussion um die „Neuere Geometrie“ 548
20.3 Die Zeit zwischen den Weltkriegen 550
20.3.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik 550
20.3.2 Die Diskussion um die Infinitesimalrechnung 552
20.4 Die Zeit nach dem 2. Weltkrieg 555
20.4.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik 555
20.4.2 Die Diskussion um die „Abbildungsgeometrie“ 559
20.5 Schlussbemerkung 562
Literatur 563
Kapitel 21 567
Forschungsgegenstände und Forschungsziele 567
21.1 Einleitung 567
21.2 Zur Rolle des Inhalts 569
21.2.1 Auswahl von Inhalten 569
21.2.2 Aufbereitung von Inhalten 570
21.3 Unterricht und andere Lehr-Lern-Umgebungen 573
21.4 Charakteristika der Lehrenden 576
21.5 Charakteristika der Lernenden 578
21.5.1 Struktur und Entwicklung mathematischer Kompetenz bei Schülerinnen und Schülern 579
21.5.2 Fehlvorstellungen, Grundvorstellungen und Conceptual Change 581
21.6 Perspektiven 583
Literatur 585
Kapitel 22 590
Qualitative mathematikdidaktische Forschung: Das Wechselspiel zwischen Theorieentwicklung und Adaption von Untersuchungsmethoden 590
22.1 Einleitung 590
22.2 Die Rationale qualitativer Forschung 591
22.3 Qualitative Unterrichtsforschung in der Mathematikdidaktik 592
22.4 Schwerpunkt: „Theorieentwicklung auf der Grundlage eines qualitativen Forschungsansatzes“ 593
22.4.1 Theoretischer Startpunkt 593
22.4.2 Theoretische Reflexionen zu einer Szene zum „kgV“ 594
22.5 Schwerpunkt: „Anpassung einer Forschungsmethode an einen Forschungsgegenstand“ 600
22.5.1 Die theoretische Einbettung 602
22.5.2 Erweiterte und an den Forschungsgegenstand angepasste Analyse 604
22.5.3 Folgerungen 607
22.6 Abschließende Bemerkungen 607
Literatur 609
Kapitel 23 612
Quantitative Forschungsmethoden in der Mathematikdidaktik 612
23.1 Grundlagen 613
23.1.1 Der Aufbau eines schriftlichen Forschungsberichts 613
23.1.2 Welche Fragestellungen erfordern quantitative Methoden? 613
23.1.3 Psychometrie 615
23.2 Schritte des quantitativ-empirischen Forschungsprozesses 618
23.2.1 Formulierung von Fragestellungen und Hypothesen 618
23.2.2 Entwurf des Designs (Studienanlage, Gesamtplan) zur Untersuchung der Hypothesen 619
23.2.3 Konstruktion der Untersuchungsinstrumente 622
23.2.4 Wahl der Stichprobe 625
23.2.5 Statistische Analysen 625
23.3 Ausblick 633
Anhang 636
Literatur 638
Kapitel 24 641
Theorien und Theoriebildung in didaktischer Forschung und Entwicklung 641
24.1 Herausforderungen im Umgang mit Theorien 642
24.1.1 Herausforderungen bei der Rezeption von Theorien 642
24.1.2 Herausforderungen in der (Weiter-)Entwicklung von Theorien 643
24.2 Unterschiedliche Konzeptualisierungen von Theorien und ihrer Rolle in wissenschaftlichen Praktiken 643
24.2.1 Theorien auf unterschiedlichen Ebenen 643
24.2.2 Theorien als Ergebnis oder Rahmenbedingung wissenschaftlicher Praktiken 646
24.2.3 Theorien als Rahmenbedingungen: Mittler zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematikdidaktik (Abb. 24.1) 647
24.3 Theorien als Ergebnisse von Forschung: Struktur und Funktionen von Theorieelementen 648
24.4 Theoriebildung als Prozess 651
24.4.1 Empirische Absicherung von Theorieelementen in unterschiedlichen Forschungsdesigns 652
24.4.2 Absicherung von Theorieelementen durch Vernetzung und Argumentation statt Empirie 653
24.4.3 Unterschiedliche Wege zur Gewinnung empirisch beforschbarer Ansätze: Importe und innerdisziplinäre Diskurse 654
24.4.4 Von isolierten Theorieelementen zu umfassenderen Theorien 656
24.5 Zum Weiterlesen 657
Literatur 657
Sachverzeichnis 661