Dr. Andrea Schink promovierte als wissenschaftliche Mitarbeiterin bei Prof. Dr. Susanne Prediger am IEEM der TU Dortmund.

Geleitwort 6
Danksagung 7
Inhaltsverzeichnis 9
Einleitung 15
1 Flexibler Umgang mit Brüchen 23
1.1 Didaktische Rekonstruktion als integrierendes Forschungsprogramm 24
1.1.1 Lernen aus konstruktivistischer Sicht 24
1.1.2 Individuelle Vorstellungen und ihre Bedeutung 24
1.1.3 Auf Vorstellungen aufbauen – Didaktische Rekonstruktion 27
1.2 Zusammenhänge von Teil, Anteil und Ganzem erfassen 32
1.2.1 Grundvorstellungen als präskriptive fachliche Vorstellungen 33
1.2.2 Komplexität der Grundvorstellungen: Brüche und Operationen 36
1.2.3 Bruch als Teil eines Ganzen – Bruch als Relativer Anteil 39
1.2.4 Erweitern, Kürzen und Addieren 41
1.3 Schwierigkeiten beim Umgang mit Brüchen 44
1.3.1 Schwierigkeiten in verschiedenen Ebenen und Schichten 45
1.3.2 Ausgewählte Befunde zu intuitiven Gesetzen und Regeln 47
1.3.3 Ausgewählte Befunde zu individuellen Vorstellungen 48
1.3.4 Zusammenhänge zwischen verschiedenen Schichten 50
1.4 Flexibel mit Brüchen umgehen – Grundlegung 51
1.4.1 Flexibilität und flexible Strategien 52
1.4.2 Im Fokus: Zusammenhänge von Teil, Anteil und Ganzem 53
1.5 Mit verschiedenen Ganzen arbeiten 55
1.5.1 Die Bedeutung des Ganzen als Bezugsgröße 55
1.5.2 Mit verschiedenen Qualitäten des Ganzen arbeiten 56
1.5.3 Schwierigkeiten mit dem Ganzen 61
1.6 Einheiten bilden und umbilden 62
1.6.1 Multiplikatives Denken und multiplikative Situationen 62
1.6.2 Einheiten nutzen: Bilden und Umbilden von Einheiten 65
1.7 Verschiedene Konstellationen bewältigen 68
1.7.1 Drei Konstellationen als Ausdruck von Zusammenhängen 68
1.7.2 Teil eines Ganzen – Realisierung in drei Konstellationen 70
1.7.3 Relativer Anteil – Realisierung in drei Konstellationen 72
1.7.4 Flexibel mit Konstellationen umgehen 73
1.7.5 Zusammenhänge in und zwischen Konstellationen 75
1.8 Operative Vorgehensweisen nutzen 76
1.8.1 Aufgabeninitiierte operative Vorgehensweisen 76
1.8.2 Selbstinitiierte operative Vorgehensweisen 82
1.9 Forschungsfragen zum flexiblen Umgang mit Brüchen 85
2 Hintergrund und Realisierung des Forschungsdesigns 89
2.1 Methodologische Vorüberlegungen zur empirischen Erfassung individueller Vorstellungen 89
2.1.1 Produkt- und Prozessperspektive 90
2.1.2 Quantitative und qualitative Forschungsansätze und ihre Kombination 91
2.1.3 Qualitätskriterien empirischer Forschung 95
2.2 Design im Modell der Didaktischen Rekonstruktion 96
2.3 Realisierung der Interviewstudie (Phasen IV-VI) 99
2.3.1 Design der Interviewstudie 99
2.3.2 Interviewstudie: Rahmenbedingungen und Durchführung 102
2.4 Realisierung der Paper-Pencil-Test-Studie (Phasen VII-IX) 104
2.4.1 Design der Paper-Pencil-Test-Studie 104
2.4.2 Paper-Pencil-Test-Studie: Rahmenbedingungen und Durchführung 106
2.5 Datenauswahl für die vertiefte Analyse 106
2.5.1 Auswahl der Interviewepisoden für die vertiefte Analyse 107
2.5.2 Auswahl der Test-Items für die vertiefte Analyse 111
2.6 Sachanalysen der vertieft ausgewerteten Aufgaben 113
2.6.1 Einzeichnen bzw. Ablesen von Anteilen bzw. Teilen im Kreis 113
2.6.2 Bestimmen des Teils bzw. des Ganzen für Mengen 117
2.6.3 Zeichnerisches Ergänzen eines flächigen Teils zum Ganzen (Quadrat) 127
2.6.4 Zeichnerisches Ergänzen eines flächigen Teils zum Ganzen (Dreieck) 133
2.7 Datenanalyse 134
2.7.1 Methodologische Überlegungen 135
2.7.2 Verschränkung der Interviewdaten und der Testdaten 137
2.7.3 Analyse der Interviewstudie 138
2.7.4 Analyse der Paper-Pencil-Test-Studie 139
2.7.5 Verortung der vertieft analysierten Daten in den Kapiteln 3 bis 8 142
3 Warum der Blick auf den flexiblen Umgang mit Brüchen? – Eine Vorstudie 143
3.1 Ausgangspunkt 144
3.2 Design und Forschungsfragen 144
3.3 Fallbeispiel eines ausgewählten Prozesses 145
3.4 Diskussion der empirischen Befunde 156
4 Quantitative Überblicksauswertung des schriftlichen Tests 158
4.1 Quantitativer Überblick in vier Stufen 158
4.1.1 Stufe 1: Gesamtpunktzahlen 158
4.1.2 Stufe 2: Punkteverteilung nach Aufgaben 161
4.1.3 Stufe 3: Punkteverteilung nach Konstellationen 162
4.1.4 Stufe 4: Punkteverteilung nach Items für die Konstellationen 164
4.1.5 Zusammenfassung der quantitativen Überblicksanalyse 168
4.2 Voraborientierung zu den Kapiteln 5 bis 8 169
5 Vorstellungen und Strukturierungen beim Bestimmen des Teils 170
5.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen 170
5.2 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Teils (kontinuierliches Ganzes) 171
5.2.1 Auflistung der Codierung der Lösungen für die Items 1a und 1b 172
5.2.2 Ergebnisse und Interpretation 174
5.3 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Teils (diskretes Ganzes) 182
5.3.1 Auflistung der Codierung der Rechenwege und Bilder für Item 2a 183
5.3.2 Ergebnisse und Interpretation 188
5.4 Diskussion der empirischen Befunde 199
6 Vorstellungen und Strukturierungen beim Bestimmen des Anteils 205
6.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen 205
6.2 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Anteils 206
6.2.1 Auflistung der Codierung der Lösungen für Item 1c 206
6.2.2 Ergebnisse und Interpretation 208
6.3 Diskussion der empirischen Befunde 215
7 Vorstellungen und Strukturierungen beim Bestimmen des Ganzen 219
7.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen 219
7.2 Analysen der schriftlichen Produkte zum Bestimmen des Ganzen (diskreter Teil) 220
7.2.1 Auflistung der Codierung der Rechenwege und Bilder für die Items 2b und 2c 221
7.2.2 Ergebnisse und Interpretation zu Item 2b und 2c 227
7.3 Analysen der Prozesse zum Bestimmen des Ganzen (diskreter Teil) 236
7.3.1 Simon und Akin bearbeiten die Bonbonaufgabe I:Multiplizieren von Teil und Nenner (1:14 – 12:06) 237
7.3.2 Simon und Akin bearbeiten die Bonbonaufgabe II: Stammbruchganzes nehmen oder Verdoppeln (36:37 – 48:22)? 242
7.3.3 Laura und Melanie bearbeiten die Bonbonaufgabe I: Einheiten bilden (0:41 – 7:01) 258
7.3.4 Laura und Melanie bearbeiten die Bonbonaufgabe II: Zusammenhänge operativ erschließen (30:33 – 37:35) 263
7.4 Verdichtung: Konstellation III mit diskretem Teil 279
7.5 Analysen der schriftlichen Produkte zur Bestimmung des Ganzen (flächiger Teil) 282
7.5.1 Auflistung der Codierung der Lösungen für die Items 3a und 3b 282
7.5.2 Ergebnisse und Interpretation zu den Items 3a und 3b 286
7.5.3 Auflistung der Codierung der Lösungen für die Items 4a und 4b 292
7.5.4 Ergebnisse und Interpretation zu den Items 4a und 4b 297
7.5.5 Vergleich zwischen den Items 3a, 3b, 4a und 4b 302
7.6 Analysen der Prozesse zur Bestimmung des Ganzen (flächiger Teil) 304
7.6.1 Ramona und Jule ergänzen zum Ganzen: Form des Ganzen und strukturelle Beziehungen (11:22 – 22:06) 304
7.6.2 Simon und Akin ergänzen zum Ganzen: Form des Ganzen in Welt und Mathematik (12:07 – 20:14) 311
7.6.3 Laura und Melanie ergänzen zum Ganzen: Anzahl der Quadrate (7:11 – 18:02) 318
7.7 Diskussion der empirischen Befunde 325
8. Zusammenhänge zwischen Konstellationen 332
8.1 Konkretisierung der übergeordneten Forschungsfragen 333
8.2 Simon und Akin bearbeiten Merves Problem: Der wachsende Kuchen (29:37 – 36:35) 334
8.3 Analyse einiger Beispiele aus dem schriftlichen Test 341
8.4 Diskussion der empirischen Befunde 346
9 Diskussion der Ergebnisse 350
9.1 Zusammenschau der Kapitel 4 bis 8 350
9.2 Konsequenzen für die Fachliche Klärung 359
9.3 Konsequenzen für die Didaktische Strukturierung 360
10 Zusammenfassung und Ausblick 362
10.1 Fazit 363
10.2 Forschungsmethodische Grenzen 364
10.3 Reflexion möglicher Anschlussfragen 365
Schluss 367
Literatur 368