Springer-Handbuch der Mathematik II (eBook)

Prof. Dr. Eberhard Zeidler, MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 10
KAPITEL 2 ALGEBRA 13
2.1 Elementare Methoden 13
2.1.1 Kombinatorik 13
2.1.2 Determinanten 16
2.1.3 Matrizen 20
2.1.4 Lineare Gleichungssysteme 24
2.1.5 Das Rechnen mit Polynomen 30
2.1.6 Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra von Gauß 32
2.1.7 Partialbruchzerlegung 39
2.2 Matrizenkalkül 40
2.2.1 Das Spektrum einer Matrix 40
2.2.2 Normalformen von Matrizen 42
2.2.3 Matrizenfunktionen 50
2.3 Lineare Algebra 52
2.3.1 Grundideen 52
2.3.2 Lineare Räume 53
2.3.3 Lineare Operatoren 55
2.3.4 Das Rechnen mit linearen Räumen 60
2.3.5 Dualität 64
2.4 Multilineare Algebra 65
2.4.1 Algebren 66
2.4.2 Das Rechnen mit Multilinearformen 66
2.4.3 Universelle Produkte 72
2.4.4 Liealgebren 76
2.4.5 Superalgebren 77
2.5 Algebraische Strukturen 78
2.5.1 Gruppen 78
2.5.2 Ringe 84
2.5.3 Körper 87
2.6 Galoistheorie und algebraische Gleichungen 90
2.6.1 Die drei berühmten Probleme der Antike 90
2.6.2 Der Hauptsatz der Galoistheorie 90
2.6.3 Der verallgemeinerte Fundamentalsatz der Algebra 93
2.6.4 Klassifikation von Körpererweiterungen 94
2.6.5 Der Hauptsatz über Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind 95
2.6.6 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 97
2.7 Zahlentheorie 100
2.7.1 Grundideen 100
2.7.2 Der Euklidische Algorithmus 102
2.7.3 Die Verteilung der Primzahlen 105
2.7.4 Additive Zerlegungen 111
2.7.5 Die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale Zahlen und Kettenbrüche 114
2.7.6 Transzendente Zahlen 120
2.7.7 Anwendung auf die Zahl p 123
2.7.8 Gaußsche Kongruenzen 128
2.7.9 Minkowskis Geometrie der Zahlen 131
2.7.10 Das fundamentale Lokal-Global-Prinzip der Zahlentheorie 131
2.7.11 Ideale und höhere Teilbarkeitslehre 133
2.7.12 Anwendungen auf quadratische Zahlkörper 135
2.7.13 Die analytische Klassenzahlformel 137
2.7.14 Die Hilbertsche Klassenkörpertheorie für allgemeine Zahlkörper 138
Literatur zu Kapitel 2 139
KAPITEL 3 GEOMETRIE 141
3.1 Die Grundidee der Geometrie (Erlanger Programm) 141
3.2 Elementare Geometrie 142
3.2.1 Ebene Trigonometrie 143
3.2.2 Anwendungen in der Geodäsie 150
3.2.3 Sphärische Trigonometrie 152
3.2.4 Anwendungen im Schiffsund Flugverkehr 158
3.2.5 Die Hilbertschen Axiome der Geometrie 159
3.2.6 Das Parallelenaxiom des Euklid 163
3.2.7 Die nichteuklidische elliptische Geometrie 163
3.2.8 Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie 164
3.3 Anwendungen der Vektoralgebra in der analytischen Geometrie 167
3.3.1 Geraden in der Ebene 167
3.3.2 Geraden und Ebenen im Raum 169
3.3.3 Volumina 171
3.4 Euklidische Geometrie (Geometrie der Bewegungen) 171
3.4.1 Die euklidische Bewegungsgruppe 171
3.4.2 Kegelschnitte 172
3.4.3 Flächen zweiter Ordnung 175
3.5 Projektive Geometrie 179
3.5.1 Grundideen 179
3.5.2 Projektive Abbildungen 181
3.5.3 Der n-dimensionale reelle projektive Raum 182
3.5.4 Der n-dimensionale komplexe projektive Raum 184
3.5.5 Die Klassifikation der ebenen Geometrien 185
3.6 Differentialgeometrie 188
3.6.1 Ebene Kurven 189
3.6.2 Raumkurven 195
3.6.3 Die lokale Gaußsche Flächentheorie 199
3.6.4 Globale Gaußsche Flächentheorie 209
3.7 Beispiele für ebene Kurven 210
3.7.1 Einhüllende und Kaustik 210
3.7.2 Evoluten 210
3.7.3 Evolventen 211
3.7.4 Die Traktrix von Huygens und die Kettenlinie 212
3.7.5 Die Lemniskate von Jakob Bernoulli und die Cassinischen Kurven 213
3.7.6 Die Lissajou-Kurven 214
3.7.7 Spiralen 214
3.7.8 Strahlkurven (Konchoiden) 216
3.7.9 Radkurven 217
3.8 Algebraische Geometrie 221
3.8.1 Grundideen 221
3.8.2 Beispiele ebener algebraischer Kurven 230
3.8.3 Anwendungen in der Integralrechnung 235
3.8.4 Die projektiv-komplexe Form einer ebenen algebraischen Kurve 237
3.8.5 Das Geschlecht einer Kurve 241
3.8.6 Diophantische Geometrie 244
3.8.7 Analytische Mengen und der Vorbereitungssatz von Weierstraß 250
3.8.8 Die Auflösung von Singularitäten 251
3.8.9 Die Algebraisierung der modernen algebraischen Geometrie 253
3.9 Geometrien der modernen Physik 254
3.9.1 Grundideen 254
3.9.2 Unitäre Geometrie, Hilberträume und Elementarteilchen 257
3.9.3 Pseudounitäre Geometrie 264
3.9.4 Minkowskigeometrie 267
3.9.5 Anwendungen in der speziellen Relativitätstheorie 271
3.9.6 Spingeometrie und Fermionen 277
3.9.7 Fast komplexe Strukturen 286
3.9.8 Symplektische Geometrie 286
Literatur zu Kapitel 3 288
KAPITEL 4 GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK 292
4.1 Der Sprachgebrauch in der Mathematik 292
4.1.1 Wahre und falsche Aussagen 292
4.1.2 Implikationen 293
4.1.3 Tautologien und logische Gesetze 295
4.2 Beweismethoden 297
4.2.1 Indirekte Beweise 297
4.2.2 Induktionsbeweise 297
4.2.3 Eindeutigkeitsbeweise 298
4.2.4 Existenzbeweise 298
4.2.5 Die Notwendigkeit von Beweisen im Computerzeitalter 300
4.2.6 Falsche Beweise 302
4.3 Anschauliche Mengentheorie 303
4.3.1 Grundideen 303
4.3.2 Das Rechnen mit Mengen 305
4.3.3 Abbildungen 308
4.3.4 Gleichmächtige Mengen 312
4.3.5 Relationen 313
4.3.6 Mengensysteme 315
4.4 Mathematische Logik 316
4.4.1 Aussagenlogik 316
4.4.2 Prädikatenlogik 319
4.4.3 Die Axiome der Mengentheorie 321
4.4.4 Cantors Strukturierung des Unendlichen 322
4.5 Geschichte der axiomatischen Methode und ihr Verhältnis zur philosophischen Erkenntnistheorie 325
Literatur zu Kapitel 4 328
Index 329