Mathematik für Informatik und BioInformatik (eBook)

Vorwort 7
Inhaltsverzeichnis 10
1. Einleitung und Überblick 18
1.1 Ziele und Entstehung des Buchs 18
1.2 Wozu dient die Mathematik in der Informatik? 20
1.3 Unsere mathematische Auswahl 27
2. Grundlagen 28
2.1 Einführung in das mathematische Argumentieren 28
2.2 Mengen 39
2.3 Natürliche Zahlen und Kombinatorik 55
2.4 Einführung in die Graphentheorie 68
2.5 Formale Aussagenlogik 78
3. Einführung in die elementare Zahlentheorie 90
3.1 Teilbarkeit und Kongruenzen 90
3.2 Primfaktorzerlegung 101
4. Einführung in die Algebra 104
4.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen 105
4.2 Ringe und Körper 122
4.3 Teilbarkeitslehre in Polynomringen 140
4.4 Erste Anwendungen 149
4.5 Boolesche Algebren 156
5. Elementare Grundlagen der Analysis 166
5.1 Der Körper der reellen Zahlen 166
5.2 Der Körper der komplexen Zahlen 175
5.3 Folgen und Konvergenz 178
5.4 Unendliche Reihen 189
5.5 Komplexe Zahlenfolgen und Reihen 196
6. Reelle Funktionen einer Veränderlichen 200
6.1 Reelle Funktionen und ihre Erzeugung 200
6.2 Grenzwert von Funktionswerten 208
6.3 Stetigkeit 215
7. Differential- und Integralrechnung 222
7.1 Die Ableitung (Differentiation) einer Funktion 222
7.2 Das bestimmte Integral 229
7.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 237
7.4 Ableitungs- und Integrationsformeln 242
7.5 Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung 251
7.6 Grenzwertbestimmungen 255
7.7 Der Entwicklungssatz von Taylor 257
7.8 Integrale über offene und halboffene Intervalle 262
8. Anwendungen 266
8.1 Periodische Funktionen und Fourierreihen 266
8.2 Fouriertransformation 273
8.3 Skalare gewöhnliche Differentialgleichungen 278
9. Vektorräume 283
9.1 Vektorräume 284
9.2 Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension 294
9.3 Vektorräume mit Skalarprodukt 305
9.4 Lineare Codes 319
10. Lineare Abbildungen und Matrizen 323
10.1 Lineare Abbildungen 323
10.2 Matrizen 330
10.3 Eine Anwendung: Diskrete Fouriertransformation 348
10.4 Determinanten 351
10.5 Eigenwerte linearer Abbildungen 361
10.6 Abbildungen auf Euklidischen Vektorräumen 368
11. Lineare Gleichungssysteme und lineare Rekursionen 380
11.1 Lineare Gleichungssysteme 380
11.2 Lineare Rekursionen 391
12. Affine Geometrie 399
12.1 Affine Räume 399
12.2 Affine Abbildungen 409
13. Funktionen mehrerer Veränderlicher 416
13.1 Folgen in Rp und Folgen von Matrizen 416
13.2 Grenzwerte von Funktionswerten, Stetigkeit 426
13.3 Anwendungen in der Numerik 433
14. Mehrdimensionale Differentialrechnung 443
14.1 Kurven im Rp 443
14.2 Differentiation von Funktionen in mehreren Variablen 445
14.3 Der Satz von Taylor, Extremwertbestimmungen 451
14.4 Der Umkehrsatz und seine Anwendungen 454
15. Mehrdimensionale Integration 461
15.1 Das mehrdimensionale Integral über kompakte Mengen 461
15.2 Integrale über Rp 466
16. Einführung in die Stochastik 467
16.1 Einleitung 467
16.2 Wahrscheinlichkeitsräume 474
16.3 Zufallsvariablen 481
16.4 BedingteWahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 493
16.5 Grenzwertsätze 499
16.6 Stochastische Prozesse 504
Literaturverzeichnis 515
Index 517