Mathematik für Wirtschaftsingenieure (eBook)

Prof. Dr. Christopher Dietmaier hält Vorlesungen zur Mathematik für Wirtschaftsingenieure, Statistik und Operations Research an der OTH Amberg-Weiden.

Inhaltsverzeichnis 8
1 Grundlagen 16
1.1 Aussagen 16
1.2 Mengen 19
1.3 Abbildungen und Verknu?pfungen 22
1.4 Die reellen Zahlen und Teilmengen der reellen Zahlen 23
1.4.1 Eigenschaften der reellen Zahlen 23
1.4.2 Wichtige Teilmengen der reellen Zahlen 26
1.5 Summen, Produkte und vollständige Induktion 26
1.6 Aufgaben 30
2 Komplexe Zahlen und algebraische Gleichungen 31
2.1 Komplexe Zahlen 32
2.1.1 Einfu?hrung 32
2.1.2 Grundbegriffe 34
2.1.3 Rechenoperationen 35
2.1.4 Exponentialdarstellung von komplexen Zahlen 37
2.1.5 Anwendungen 42
2.2 Algebraische Gleichungen 46
2.3 Aufgaben 51
3 Vektorrechnung 52
3.1 Einfu?hrung und Grundbegriffe 52
3.2 Rechnen mit Vektoren 55
3.2.1 Addition von Vektoren und Multiplikation mit einer Zahl 55
3.2.2 Skalarprodukt und Betrag von Vektoren 56
3.2.3 Winkel zwischen Vektoren, Zerlegung von Vektoren 58
3.2.4 Basisvektoren 61
3.2.5 Das Vektorprodukt 62
3.2.6 Das Spatprodukt und Mehrfachprodukte 64
3.3 Vektorrechnung und Geometrie 66
3.3.1 Punkte im Raum 66
3.3.2 Geraden im Raum 66
3.3.3 Ebenen im Raum 67
3.3.4 Abstände 67
3.3.5 Winkel 70
3.4 Aufgaben 72
4 Matrizen, Determinanten und lineare Gleichungssysteme 74
4.1 Matrizen und Determinanten 75
4.1.1 Grundbegriffe und spezielle Matrizen 75
4.1.2 Addition und Multiplikation von Matrizen 78
4.1.2.1 Addition von Matrizen und Multiplikation mit einer Zahl 78
4.1.2.2 Multiplikation von Matrizen und inverse Matrix 79
4.1.3 Determinante einer Matrix 82
4.1.4 Inversion einer Matrix mit Determinanten 87
4.2 Lineare Gleichungssysteme 89
4.2.1 Lösung mit dem Gaußschen Algorithmus 90
4.2.2 Lösung mit Determinanten: Cramersche Regel 97
4.2.3 Inversion von Matrizen als Lösung von Gleichungssystemen 98
4.2.4 Kondition eines Gleichungssystems 101
4.3 Aufgaben 103
5 Funktionen von einer Variablen 106
5.1 Grundlagen 107
5.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 117
5.2.1 Folgen 117
5.2.2 Grenzwert einer Funktion 119
5.2.2.1 Grenzwert fu?r x?x_0 119
5.2.2.2 Grenzwert fu?r x?± ? und Asymptoten 122
5.2.3 Stetigkeit einer Funktion 123
5.3 Elementare Funktionen 124
5.3.1 Polynomfunktion 124
5.3.2 Gebrochenrationale Funktionen 126
5.3.3 Die Exponentialfunktion 128
5.3.3.1 Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktion 129
5.3.3.2 Anwendungsbeispiele der Exponentialfunktion 132
5.3.4 Die Logarithmusfunktion 133
5.3.5 Die Exponentialfunktion zur Basis a 134
5.3.6 Die Logarithmusfunktion zur Basis a 135
5.3.7 Potenz- und Wurzelfunktionen 137
5.3.8 Trigonometrische Funktionen 140
5.3.9 Arkusfunktionen 145
5.3.10 Hyperbelfunktionen 147
5.3.11 Areafunktionen 149
5.4 Aufgaben 150
6 Differenzialrechnung mit Funktionen einer Variablen 153
6.1 Einfu?hrung und Grundlagen 153
6.2 Ableitungsregeln 158
6.3 Ableitung elementarer Funktionen 161
6.4 Berechnung von Grenzwerten 162
6.5 Extrema, Kru?mmung und Wendepunkte 165
6.5.1 Extrema von Funktionen 165
6.5.2 Kru?mmung einer Funktion und Wendepunkte 176
6.6 Kurvendiskussion 179
6.7 Anwendungsbeispiele 182
6.8 Aufgaben 184
7 Integralrechnung mit Funktionen von einer Variablen 186
7.1 Einfu?hrung und Grundlagen 186
7.2 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 189
7.3 Grundintegrale 192
7.4 Eigenschaften des Integrals 193
7.5 Integrationsmethoden 194
7.5.1 Partielle Integration 194
7.5.2 Integration durch Substitution 195
7.5.3 Logarithmische Integration 198
7.5.4 Integration durch Partialbruchzerlegung 199
7.6 Uneigentliche Integrale 201
7.7 Anwendungsbeispiele 204
7.8 Aufgaben 207
8 Reihen und Reihenentwicklung von Funktionen 209
8.1 Grundlagen 211
8.1.1 Die endliche geometrische Reihe 211
8.1.2 Unendliche Reihen 212
8.2 Potenzreihen 214
8.3 Taylorreihen, Taylorentwicklung 216
8.4 Fourierreihen, Fourierentwicklung 223
8.5 Aufgaben 230
9 Der n-dimensionale Raum und Raumkurven 232
9.1 Der n-dimensionale Raum 232
9.1.1 Grundbegriffe 232
9.1.2 Koordinaten im R^2 und R^3 235
9.1.2.1 Polarkoordinaten im R^2 235
9.1.2.2 Zylinderkoordinaten im R^3 236
9.1.2.3 Kugelkoordinaten im R^3 236
9.2 Raumkurven 238
9.2.1 Tangential- und Normalenvektoren 240
9.2.2 Bogenlänge 242
9.2.3 Kru?mmung 244
9.3 Aufgaben 246
10 Differenzialrechnung mit Funktionen von mehreren Variablen 247
10.1 Funktionen von mehreren Variablen 247
10.2 Partielle Ableitung und partielle Differenzierbarkeit 250
10.3 Differenzierbarkeit, Linearisierung und Taylorentwicklung 254
10.3.1 Differenzierbarkeit und totales Differenzial 254
10.3.2 Ableitung nach einem Parameter 258
10.3.3 Taylorentwicklung 259
10.4 Extrema von Funktionen von mehreren Variablen 262
10.4.1 Extrema ohne Nebenbedingungen 263
10.4.2 Extrema mit Nebenbedingungen 273
10.5 Aufgaben 279
11 Integralrechnung mit Funktionen von mehreren Variablen 280
11.1 Bereichsintegrale 280
11.1.1 Bereichsintegral einer Funktion von zwei Variablen 280
11.1.1.1 Integration in kartesischen Koordinaten 282
11.1.1.2 Integration in Polarkoordinaten 287
11.1.2 Bereichsintegral einer Funktion von drei Variablen 291
11.1.2.1 Integration in kartesischen Koordinaten 292
11.1.2.2 Integration in Zylinderkoordinaten 294
11.1.2.3 Integration in Kugelkoordinaten 295
11.2 Kurvenintegrale 297
11.3 Aufgaben 301
12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 303
12.1 Einfu?hrung und Grundlagen 305
12.2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen erster Ordnung 307
12.2.1 Separable Differenzialgleichungen: Trennung der Variablen 307
12.2.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung 312
12.2.2.1 Homogene lineare Differenzialgleichung erster Ordnung 312
12.2.2.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung erster Ordnung 313
12.3 Gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 315
12.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 316
12.3.2 Inhomogen lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 320
12.4 Aufgaben 325
13 Wahrscheinlichkeitsrechnung 327
13.1 Kombinatorik 328
13.1.1 Permutationen 328
13.1.2 Variationen 330
13.1.3 Kombinationen 332
13.1.4 Zusammenfassung 334
13.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 13.1 334
13.2 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit 335
13.2.1 Zufallsexperimente 335
13.2.2 Klassische Wahrscheinlichkeit nach Laplace 336
13.2.3 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung 340
13.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit, totale Wahrscheinlichkeit und Formel von Bayes 341
13.2.5 Zusammenfassung 344
13.2.6 Aufgaben zu Abschnitt 13.2 346
13.3 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilung 348
13.3.1 Diskrete Zufallsvariablen 349
13.3.1.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion 349
13.3.1.2 Parameter einer diskreten Verteilung 351
13.3.2 Stetige Zufallsvariablen 353
13.3.2.1 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte 353
13.3.2.2 Parameter einer stetigen Verteilung 355
13.3.3 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen 357
13.3.3.1 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte 358
13.3.3.2 Parameter einer zweidimensionalen Zufallsvariablen 361
13.3.3.3 Summen von Zufallsvariablen 362
13.4 Spezielle Verteilungen 364
13.4.1 Diskrete Verteilungen 365
13.4.1.1 Die Binomialverteilung 365
13.4.1.2 Die hypergeometrische Verteilung 367
13.4.1.3 Die Poissonverteilung 370
13.4.2 Stetige Verteilungen 371
13.4.2.1 Die Normalverteilung 371
13.4.2.2 Die Lognormalverteilung 374
13.4.2.3 Die Exponentialverteilung 376
13.4.2.4 Die Weibullverteilung 378
13.4.2.5 Die t-Verteilung 379
13.4.2.6 Die Chi-Quadrat-Verteilung 380
13.4.2.7 Die F-Verteilung 381
13.4.3 Anwendungsbeispiele in der Qualitätssicherung 382
13.4.4 Die zweidimensionale Normalverteilung 385
13.5 Grenzwertsätze und Näherungen 387
13.5.1 Die Binomialverteilung als Näherung fu?r die hypergeometrische Verteilung 387
13.5.2 Die Poissonverteilung als Näherung fu?r die Binomialverteilung 388
13.5.3 Der zentrale Grenzwertsatz und das Gesetz der großen Zahlen 388
13.6 Aufgaben zu den Abschnitten 13.3 bis 13.5 393
14 Deskriptive Statistik 395
14.1 Einfu?hrung und Grundbegriffe 395
14.2 Univariate deskriptive Statistik 397
14.2.1 Häufigkeitsverteilung und grafische Darstellungen 398
14.2.1.1 Keine Klassenbildung 398
14.2.1.2 Klassenbildung 399
14.2.2 Maßzahlen 403
14.2.2.1 Lagemaßzahlen 403
14.2.2.2 Streuungsmaßzahlen 407
14.2.2.3 Konzentrationsmaßzahl: Gini-Koeffizient 408
14.3 Bivariate deskriptive Statistik 411
14.3.1 Häufigkeitstabellen und grafische Darstellungen 411
14.3.2 Maßzahlen 414
14.4 Aufgaben 416
15 Schließende Statistik 417
15.1 Einfu?hrung und Grundbegriffe 417
15.2 Schätzen von Parametern 418
15.2.1 Eigenschaften von Schätzfunktionen 419
15.2.2 Maximum-Likelihood-Schätzung 421
15.2.3 Konfidenzintervalle 423
15.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 15.2 431
15.3 Statistische Tests 433
15.3.1 Einfu?hrung, Grundbegriffe und Vorgehensweise bei Tests 433
15.3.2 Spezielle Parametertests 444
15.3.2.1 Test fu?r den Erwartungswert einer normalverteilten Größe 444
15.3.2.2 Test fu?r die Varianz einer normalverteilten Größe 445
15.3.2.3 Test fu?r den Erwartungswert einer beliebig verteilten Größe 445
15.3.2.4 Test fu?r den Parameter p einer binomialverteilten Größe 446
15.3.2.5 Test fu?r den Vergleich der Erwartungswerte zweier Größen 448
15.3.2.6 Test fu?r den Vergleich der Varianzen zweier normalverteilter Größen 449
15.3.2.7 Test fu?r den Vergleich der Parameter zweier binomialverteilter Größen 450
15.3.2.8 Test fu?r den Korrelationskoeffizienten einer zweidimensionalen Normalverteilung 450
15.3.3 Der Chi-Quadrat-Anpassungstest 452
15.3.4 Unabhängigkeits- und Homogenitätstests 455
15.3.4.1 Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest 455
15.3.4.2 Der Chi-Quadrat-Homogenitätstest 457
15.3.5 Der Mann-Whitney-Wilcoxon-Test 458
15.3.6 Aufgaben zu Abschnitt 15.3 460
16 Lineare Optimierung 464
16.1 Grafische Lösung und Simplex-Algorithmus 464
16.1.1 Grafische Lösung 466
16.1.2 Der Simplex-Algorithmus 468
16.1.3 Sonderfälle 477
16.1.4 Zusammenfassung des Simplex-Algorithmus 485
16.1.5 Aufgaben zu Abschnitt 16.1 487
16.2 Transportprobleme 488
16.2.1 Die Struktur von Transportproblemen 488
16.2.2 Der Transportalgorithmus 492
16.2.3 Aufgaben zu Abschnitt 16.2 496
17 Mathematik mit dem Computer 498
17.1 Einfu?hrung 498
17.2 Lösung mathematischer Probleme mit Maple 504
17.2.1 Einfu?hrung 504
17.2.2 Lösungsbeispiele 506
17.2.2.1 Lösen von Gleichungen 506
17.2.2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen 508
17.2.2.3 Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme 510
17.2.2.4 Funktionsgraphen 513
17.2.2.5 Differenzialrechnung 515
17.2.2.6 Integralrechnung 516
17.2.2.7 Summen, unendliche Reihen und Reihenentwicklung von Funktionen 518
17.2.2.8 Grenzwerte 519
17.2.2.9 Differenzialgleichungen 519
17.2.2.10 Wahrscheinlichkeitsrechnung 519
17.2.2.11 Lineare Optimierung 521
A Lösungen der Aufgaben 522
B Statistik-Tabellen 569
B.1 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 569
B.2 Quantile der t-Verteilung 570
B.3 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 571
B.4 Quantile der F-Verteilung 573
B.5 Werte fu?r den Mann-Whitney-Wilcoxon-Test 589
Literaturverzeichnis 591
Sachwortverzeichnis 594

Grundlagen
Analysis
Lineare Algebra
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik
Linearoptimierung