Mathematik-Formeln

Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster.

1 Grundlegende Begriffe11

1.1 Zahlbereiche11

1.1.1 Reelle Zahlen 11

1.1.2 Intervalle12

1.1.3 Reelle Variablen12

1.1.4 Maximum und Minimum13

1.2 Mengenoperationen und –relationen14

1.3 Tupel und Vektoren15

1.3.1 Tupel und Zeilenvektoren15

1.3.2 Spaltenvektoren15

1.3.3 Kartesisches Produkt16

1.4 Funktionen16

1.4.1 Grundbegriffe für Funktionen16

1.4.2 Verkettung von Funktionen17

1.4.3 Identität17

1.4.4 Umkehrfunktion18

1.5 Matrizen19

1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren20

1.6.1 Transposition20

1.6.2 Addition und skalare Multiplikation21

1.6.3 Matrixprodukt21

2 Lineare Gleichungssysteme23

2.1 Zeilenumformungen und Zeilenstufenform24

2.1.1 Zeilenstufenform24

2.1.2 Basisform25

2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform25

2.3 Eliminationsverfahren nach Gauß26

3 Vektoren27

3.1 Linearkombinationen27

3.1.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit28

3.1.2 Lineare Hülle, Bild28

3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension28

3.2.1 Dimension und Basis eines Untervektorraums29

3.2.2 Bestimmung einer Basis von Kern(A)29

3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand30

3.3.1 Skalarprodukt30

3.3.2 Norm eines Vektors30

3.3.3 Winkel zwischen Vektoren30

3.3.4 Abstand und Offenheit31

3.4 Projektionen32

3.4.1 Normalgleichungen32

3.4.2 Orthonormale Projektion32

4 Matrizen33

4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen33

4.2 Quadratische Matrizen33

4.3 Inverse Matrix34

4.3.1 Berechnung der inversen Matrix34

4.3.2 Inverse einer 2 × 2-Matrix35

4.3.3 Lösung von LGS mit Matrixinversion35

4.4 Determinanten quadratischer Matrizen35

4.4.1 Determinanten in Spezialfällen35

4.4.2 Determinante und Zeilenumformungen36

4.4.3 Determinantenberechnung durch Entwicklung36

4.4.4 Weitere Rechenregeln36

4.5 Anwendungen der Determinante37

4.5.1 Prüfung auf Invertierbarkeit37

4.5.2 Cramer’sche Regel37

4.5.3 Eigenwerte37

4.6 Symmetrische Matrizen38

4.6.1 Eigenwerte symmetrischer Matrizen38

4.6.2 Eigenvektoren symmetrischer Matrizen38

4.7 Definitheit38

4.7.1 Determinantenkriterium für Definitheit39

4.7.2 Determinantenkriterium für Semidefinitheit39

4.7.3 Eigenwertkriterium für (Semi-)Definitheit40

4.7.4 Eingeschränkte Definitheit40

5 Folgen und Reihen41

5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften41

5.1.1 Summen- und Differenzenfolge41

5.1.2 Explizite und implizite Bildungsgesetze42

5.1.3 Monotone Folgen42

5.1.4 Beschränkte Folgen42

5.2 Grenzwerte43

5.2.1 Konvergente Folgen43

5.2.2 Eigenschaften konvergenter Folgen43

5.2.3 Grenzwertsätze44

5.2.4 Unendliche Reihen44

5.3 Wichtige Folgen44

5.3.1 Arithmetische Folge44

5.3.2 Ganzrationale bzw. rationale Folge45

5.3.3 Gebrochen-rationale Folge46

5.3.4 Geometrische Folge46

5.4 Potenzreihen47

5.4.1 Konvergenzkriterium47

5.4.2 Ableiten von Potenzreihen48

5.4.3 Koeffizientenvergleich48

5.4.4 Wichtige Potenzreihen48

5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen49

5.5.1 Grundformel der Kapitalentwicklung50

5.5.2 Endwert und Barwert51

5.5.3 Kapitalwert und interner Zinsfuß52

6 Funktionen einer Variable53

6.1 Grundlegende Sprechweisen53

6.1.1 Graph einer Funktion 53

6.1.2 Ordinatenabschnitt und Nullstellen54

6.1.3 Monotonie54

6.1.4 Krümmungsverhalten55

6.1.5 lokale und globale Extrema56

6.1.6 Wendestellen58

6.2 Rationale Funktionen59

6.2.1 Ganzrationale Funktionen59

6.2.2 Gebrochen-rationale Funktionen60

6.2.3 Nullstellen60

6.2.4 Partialbruchzerlegung62

6.2.5 Ableitungen und Stammfunktionen62

6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz63

6.3.1 Exponentialfunktion63

6.3.2 Logarithmus64

6.3.3 Potenzfunktion65

6.4 Trigonometrische Funktionen66

6.4.1 Funktionswerttabelle66

6.4.2 Rechenregeln67

6.4.3 Ableitungen und Stammfunktionen67

6.5 Betragsfunktion67

6.6 Indikatorfunktion68

7 Differentialrechnung69

7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen69

7.1.1 Funktionsgrenzwert69

7.1.2 Stetigkeit69

7.2 Partielle Ableitung und Differential70

7.2.1 Gradient70

7.2.2 Differential70

7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable71

7.3.1 Ableitungsregeln71

7.3.2 Ableitungen und Stammfunktionen für Funktionen einer Variablen72

7.4 Kettenregeln72

7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials72

7.5.1 Richtungsableitung73

7.5.2 Elastizität73

7.5.3 Implizite Ableitungen74

7.6 Homogene Funktionen75

7.7 Ableitungen zweiter Ordnung76

7.7.1 Hesse-Matrix und Richtungskrümmung76

7.7.2 Konvexe und konkave Funktionen76

8 Integralrechnung77

8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale77

8.2 Bestimmte Integrale78

8.2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung79

8.2.2 Integrationsregeln79

8.2.3 Uneigentliche Integrale80

8.3 Mehrfachintegrale80

8.3.1 Uneigentliche Mehrfachintegrale81

8.3.2 Jordan-Mengen81

8.3.3 Integrationsregeln82

8.3.4 Doppelintegrale bei stetigen Funktionen83

9 Optimierung differenzierbarer Funktionen85

9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen85

9.1.1 Notwendige Bedingung85

9.1.2 Hinreichende Bedingung85

9.1.3 Konvexe Optimierung86

9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen86

9.2.1 Lagrange-Funktion86

9.2.2 Kuhn-Tucker-Bedingungen87

9.2.3 Notwendige Bedingung für lokales Minimum87

9.2.4 Hinreichende Bedingung für lokales Minimum87

9.2.5 Randwertvergleich für globale Extrema88

9.2.6 Satz von Kuhn-Tucker, Konvexe Optimierung88

9.3 Optimierung bei exogenen Parametern88

Symbole und Abkürzungen89

Das griechische Alphabet94

Index95