Einführung

Die Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik, bei der die Beschreibung der Bewegung und Deformation von gasförmigen, flüssigen und festen Körpern unter äußeren Einwirkungen im Vordergrund steht. Die Spezialisierung auf technische Systeme und feste Körper beschreibt die Technische Mechanik. In traditionellen Darstellungen an deutschen Hochschulen, der wir uns hier anschließen wollen, unterscheidet man drei Teile der Technischen Mechanik, d.h. die Statik, die Elastostatik und die Dynamik. Darüber hinaus werden im weiteren Studium noch die Spezialgebiete der Schwingungslehre, der Strömungsmechanik, der Höheren Technischen Mechanik, der Elastizitätstheorie, der Strukturmechanik, der Kontinuumsmechanik und der Experimentellen Mechanik gelehrt, auf die immer wieder hingewiesen wird.

In der Statik starrer Körper, d.h. Teil I des Buches, welche man theoretisch als Spezialfall der Dynamik betrachten sollte, werden die Grundlagen der Begriffsbildung von Kräften eingeführt und dies an Beispielen von Kraftsystemen einfachster Strukturelemente, sogenannter Zug‐Druckstäbe, Balken oder Seile, sowie der Haftreibung von sich nicht bewegenden materiellen Körpern erläutert. Neben den aus der physikalischen Beschreibung resultierenden Begriffe, benötigen wir die Mathematik als Sprache zur Quantifizierung.

Da eine Kraft eine Intensität und eine Richtung aufweist, ist die mathematische Sprache die Vektorrechnung (Kapitel 1). Die Voraussetzung der Kenntnis dieser mathematischen Disziplin ist sehr unterschiedlich, wozu sie bewusst in die Darstellung mit eingebunden wird. Die Vektorrechnung wird das Buch kontinuierlich begleiten. Daher sollte man sich intensivst damit beschäftigen. Es hat sich herausgestellt, dass die Schwierigkeit der Technischen Mechanik bei den Studierenden gerade in der Unterscheidung zwischen der mathematischen Sprache und den zu beschreibenden physikalischen Vorgängen liegt. Versteht man Ersteres nicht, so wird auch die Beschreibung der Vorgänge nicht verstanden. Neben der Vektorrechnung werden die Kenntnisse der Differential‐ und Integralrechnung wiederholt und erweitert. Differentiationsprozesse liefern uns Auskünfte über die Änderung (Steigung) einer physikalischen Größe, welche Aufschlüsse über den Kraftfluss in einem Körper sowie später über die Bewegungs‐ und Deformationsprozesse geben. Da wir es mit endlich ausgedehnten Körpern zu tun haben, müssen wir auch über räumliche, im einfachsten Fall über ein‐ oder zweidimensionale Gebiete, integrieren. Auch dies muss sich der Leser erarbeiten.

In der Statik starrer Körper gehen wir zunächst davon aus, dass sich Körper weder bewegen noch deformieren können, d.h. es werden lediglich die Grundgedanken der Krafteinwirkung auf starre Körper angesprochen. Alle auf den materiellen Körper einwirkenden Kräfte bilden ein Kraftsystem (Kapitel 2), welches durch eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment charakterisiert ist. Gleichgewicht im Sinne der Statik liegt nur vor, wenn die resultierende Kraft und das resultierende Moment verschwinden, eine der vordringlichen Aussagen, die Teil I und II durchgehend begleiten. Eine wesentliche Idealisierung stellen Kräfte dar, die aus verteilten Lasten resultieren. Diese können linien‐, flächen‐ oder volumenhaft vorliegen. Damit verbunden ist die Integration, um die resultierende Kraft und auch das resultierende Moment zu bestimmen.

Um die Integration zu üben, behandelt Kapitel 3 die erforderlichen Begriffe wie Massenmittelpunkt, Linien‐, Flächen‐ und Volumenschwerpunkt sowie insbesondere Linien‐ und Flächenlasten.

In Kapitel 4 werden nach diesen vorbereitenden Untersuchungen Strukturelemente, wie Stäbe, Balken und Seile angesprochen und zunächst das wichtigste Grundprinzip erörtert, nämlich das Freischneiden. Mit dem Freischneiden werden die inneren Kraftzustände freigelegt, was zu den Begriffen der Schnittgrößen führt. Insbesondere für den wichtigen Fall balkenartiger Strukturen dient das Freischneiden zur Charakterisierung des inneren Belastungszustandes und damit zur Dimensionierung des Balkens. Wir wären damit fast in der Lage einen Träger von seinen Abmessungen her auszuwählen, damit er den alltäglichen Belastungen standhält. "Fast in der Lage" soll hierbei andeuten, dass wir hierzu noch nicht ganz in der Lage sind, da wir die Deformation nicht beschreiben können. Dies wird im zweiten Teil des Buches, der Elastostatik bzw. der Statik elastischer Körper, behandelt. Als Abschluss des ersten Buchteiles dient die Reibung in Form der Haft‐ und Seilreibung, um den Fall der Statik zu komplettieren.

In Teil II des Buches, der Statik elastischer Körper, werden statisch unbestimmte Strukturen behandelt, also solche mechanischen Systeme, bei denen die Gleichgewichtsbedingungen alleine nicht mehr ausreichen, um Abschätzungsformeln bereitzustellen. In Teil I des Buches gehen wir davon aus, dass materielle Körper starr sind, d.h. der Abstand zweier beliebiger materieller Punkte eines Körpers ist immer konstant. Die Deformierbarkeit des Körpers wird dabei nicht modelliert. Zudem ist die Lagerung derart gewählt, dass die Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen berechenbar sind und sich daher die betrachteten materiellen Körper, bzw. Bauteile, in Ruhe befinden. 1 Man kann es auch so formulieren: der Körper (Bauteil) deformiert sich bei einer äußeren Belastung nicht und zwar unabhängig von der Größe der Belastung. Unsere tägliche Anschauung von belasteten Strukturen sieht aber anders aus. Wenn man auf einer Baustelle über ein Brett geht, so biegt sich dieses durch. Ein belasteter Autoreifen hat, je nach Einstellung der Lenkung, ein anderes Aussehen. Ein Schwamm, den man zusammendrückt, wird dünner, d.h. alle materiellen Körper deformieren sich unter einer äußeren Belastung. Die Annahme eines starren Körpers ist daher nur eine sehr grobe Approximation der Beschreibung des wirklichen Verhaltens von Bauteilen. Natürlich ist diese Annahme in vielen Fällen ausreichend. Andererseits erkennen wir auch, dass sich nicht alle Systeme, wie z.B. statisch unbestimmte Strukturen, nur aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen lassen. Zur Berechenbarkeit und auch für die genauere Vorhersage des Bauteilverhaltens ist die Kenntnis über die Deformierbarkeit materieller Körper notwendig. Einerseits nutzen wir das deformierbare Verhalten von Gegenständen aus (Haushaltsgummis, Gummilager bei Brücken oder Maschinen bzw. Fahrzeugen, Metallbleche, die zu Karosserieteilen eines Fahrzeugs geformt werden, etc.) und andererseits darf die Deformation eines Bauteils nicht zu groß sein, damit wir Toleranzen von Bauteilgeometrien oder auch unserem Sicherheitsgefühl Genüge tun (man stelle sich hier eine sich sehr stark durchbiegende Deckenkonstruktion vor, die zwar halten würde, bei der wir jedoch Unbehagen empfinden, wenn die Durchbiegung zu groß ist).

Wenn sich demnach ein Körper deformiert, so besteht die Frage nach der mathematischen Beschreibbarkeit. Es muss ein Zusammenhang zwischen der Belastung (Kraft, Moment, Strecken‐ oder Flächenlasten, Eigengewicht, ...) und der Deformation existieren. Dieser Zusammenhang hängt von den Lagerungsbedingungen, von den Materialeigenschaften (Stahl, Kunststoff, Elastomer, Holz, Beton, etc.) und von der Form bzw. auch der Höhe der Belastung ab.

In der späteren Praxis werden Ingenieure nicht nur mit der Gesamtdeformation konfrontiert, sondern auch mit den inneren Belastungszuständen in Bauteilen. So ändert sich beim Aufbringen einer Belastung der Abstand infinitesimal benachbarter materieller Punkte. Dies ist verbunden mit den Begriffen Verzerrungen oder Dehnungen, welche von Punkt zu Punkt in einem Bauteil unterschiedlich sein können. Damit verbunden ist auch die Änderung des Kraftzustands, wobei man anstelle von Kräften und Momenten eher den Begriff und die Eigenschaften von (mechanischen) Spannungen heranzieht. Die zugehörigen Dimensionen, Einheiten und natürlich insbesondere deren Eigenschaften gilt es zu untersuchen. Zwischen den von aufen eingebrachten Kräften und der Deformation muss ein Zusammenhang existieren, der durch die Materialeigenschaften gegeben ist. 2 Diesen Zusammenhang gilt es mathematisch zu beschreiben. In der Technischen Mechanik Ausbildung beschränkt man sich zunächst auf einen linearen Zusammenhang, der sogenannten linearen Elastizität. Diese Zusammenhänge zwischen Gleichgewicht, Kinematik und Materialeigenschaften, für allgemein dreidimensional belastete Bauteile sowie einfachen Strukturen wie Stäbe und auf Biegung und Torsion belastete Balken, werden in diesem Buch vermittelt.

Zur Vermittlung dieser Grundlagen wird folgende Gliederung gewählt. Nach einem Einstieg in Kapitel 6 in das eindimensionale deformierbare Verhalten von Zug‐Druckstäben, beschreibt Kapitel...