»Was kostet es, ein Handy aufzuladen?« und andere nützliche Mathe-Fragen (eBook)

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Bowle weg! Jetzt wird gerechnet

In diesem Kapitel schaffen wir das Fundament für viele mathematische Fragestellungen aus dem Alltag. Zahlen begegnen uns dabei in unterschiedlichen Gewändern, zum Beispiel als Bruch, Kommazahl oder Prozentangabe. Nicht nur bei Einheiten oder Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, diese Zahlen routiniert umrechnen zu können. Man munkelt sogar, dass mittels Bruchrechnung schon manche Bowle besser schmeckte. Aber Vorsicht! Durch den geschickten Einsatz von Prozentrechnung hätte ich fast Hausverbot in einer Bäckerei bekommen. Und falls meine Frau Carina diese Zeilen liest – bitte überspringe den Abschnitt mit der Mittelwertberechnung.

2.1 100 Prozent Steigung ist keine Wand: Dezimalzahlen, Brüche und Prozent

Was habe ich es als Kind geliebt: Alles, was Räder hatte, wurde dazu missbraucht, den sogenannten Kindergartenberg in meinem Geburtsort möglichst schnell und ohne Rücksicht auf Verluste hinunterzurasen. Bobbycars, Tretbulldogs, etwas später dann Skates und Skateboards ... nichts war vor mir und meinem Bruder sicher. Vielleicht sollte ich an dieser Stelle noch erwähnen, dass der Kindergartenberg nicht irgendein Grashügel war, sondern tatsächlich Teil einer Straße, der Buchenstraße. Und dieser kurze Abschnitt der Buchenstraße eignete sich hervorragend für die Durchführung illegaler Straßenrennen, weil er einerseits nicht viel befahren wurde und andererseits steil, sehr steil war und sicher noch ist. Ich wundere mich bis heute, warum an dieser Stelle kein Straßenschild mit irgendeiner Prozentangabe für das Gefälle angebracht wurde. Trotz größter Anstrengungen von meinem Bruder und mir ist es uns nicht einmal gelungen, dass dort ein Schild »Vorsicht – spielende (völlig verrückte) Kinder« steht.

Ich hätte jedoch ein Straßenschild mit der Aufschrift »12 %« oder Ähnlichem ohnehin nicht richtig deuten können. Fahrschulunterricht hatte ich erst etwa 12 Jahre später. Den qualitativ mittelmäßigen Erklärversuchen meines damaligen Fahrlehrers, den Fahrschülern die Steigung bzw. das Gefälle auf einem Straßenschild zu erklären, konnte ich nur schwer folgen und (ich glaube) meine Sitznachbarn noch weniger.

Selbst heute, etwa 30 Jahre später, habe ich die Erfahrung gemacht, dass viele Erwachsene trotz bestandener Theorieprüfung Probleme mit der korrekten Deutung dieser Straßenschilder haben. Auf meinem Instagram-Kanal führe ich wöchentlich ein Mathe-Quiz durch. Dort haben über 50 Prozent der Teilnehmer vermutet, dass »100 Prozent Steigung« eine Wand bedeuten würde – also rechtwinklig bzw. 90°. Grund genug, diesen Abschnitt in mein Buch aufzunehmen. Ich möchte sogar noch einen Schritt weiter gehen.

Bevor wir auflösen, was »100 Prozent Steigung« eigentlich bedeutet, würde ich gerne kurz erläutern, welche »Darstellungsformen« von Zahlen im Alltag auf uns lauern. Letztlich kannst du eine Zahl als Dezimalzahl, als Bruch, als Prozentzahl oder sogar mittels Zehnerpotenzen (siehe Abschnitt 1.1) darstellen.

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Da innerhalb einer Rechnung unterschiedliche Darstellungsformen von Zahlen auftreten können, lohnt es sich, die Umwandlung zu beherrschen. Auf der nächsten Seite habe ich einmal versucht, dir das Ganze in einer Tabelle möglichst kompakt darzustellen.

Kommen wir zurück auf das Straßenschild mit den 12 Prozent und warum 100 Prozent Steigung keine Wand ist. »12 Prozent Steigung« bedeutet letztlich, dass ein Berg auf 100 Meter Länge um 12 Meter ansteigt – siehe nachfolgende Skizze.

Steigung oder Gefälle? Ein Anstieg der schwarzen Fläche im Verkehrsschild nach rechts (wie im Bild auf S. 39) bedeutet, dass man eine Steigung vor sich hat, ein Anstieg nach links bedeutet, dass man ein Gefälle vor sich hat. Es geht also bergab. Alles eine Frage der Perspektive. Von oben nach unten: Gefälle. Von unten nach oben: Steigung. Am Prozentwert ändert das nichts.

Es ergibt sich somit eine Steigung bzw. ein Gefälle von . Jetzt verstehst du wahrscheinlich auch, warum ich dir die vorige Tabelle gezeigt habe.

Und eventuell wird jetzt auch klar, was 100 Prozent Steigung bedeutet. Ein Berg steigt auf einer Länge von 100 Metern um eben diese 100 Meter an – siehe nachfolgende Skizze.

Damit ergibt sich eine Steigung von und das würde 45° bedeuten und nicht 90° – also keine Wand, wie häufig irrtümlich angenommen wird. Die Umrechnung in Grad würde uns übrigens zur sogenannten Trigonometrie bringen, was ich uns an dieser Stelle jedoch gerne ersparen würde.

Die einzige »Wand«, mit der du bei 100 Prozent Steigung in Zukunft rechnen solltest, sind Gartenzäune, Laternen und Mauern, die plötzlich im Weg stehen. Das haben zumindest meine unzähligen Crashtest-Dummy-Versuche als Kind ergeben.

2.2 Wie mir der Mittelwert bei den Hochzeitsvorbereitungen geholfen hat: Rechnen mit Dezimalzahlen

In einem Film würde jetzt die Einblendung »Frei nach wahren Begebenheiten« kommen, weil unter anderem Namen und Preise geändert wurden. Tatsächlich bestand ein Teil unserer Hochzeitsvorbereitungen aber auch darin, das Finanzielle abzuschätzen. Kurz gesagt, ich wollte in etwa wissen, wie viel meine Frau und ich am Ende drauflegen müssen. Und wenn wir von Geldbeträgen sprechen, sind wir auch schon mitten im Thema angekommen: in der Welt der Dezimalzahlen. Selbst auf einer Hochzeit begegnen sie uns überall. 110,40 Euro pro Gast für Essen und Getränke, 0,75 Liter Inhalt in einer Weinflasche, 5,2 % Volumenalkohol in einem Bier, und Kinder unter 12 Jahren gehen als 0,5 Personen in die Kalkulation ein. Wenn wir jetzt gleich die Durchschnittskosten pro Gast ermitteln, wird auch dieser Mittelwert am Ende eine Dezimalzahl ergeben.

In diesem Abschnitt möchte ich dir allerdings nicht beibringen, wie du mit Dezimalzahlen im Sinne von Kommazahlen rechnest. Solltest du im Alltag beispielsweise 4,35 + 6,96 - 2,38 ausrechnen müssen, rate ich dir einfach, die Taschenrechner-App deines Smartphones zu nutzen. Das würde ich zumindest machen. In diesem Abschnitt möchte ich dir vielmehr zeigen, dass Dezimalzahlen im Alltag wirklich Anwendung finden, und dabei gleichzeitig die Mittelwertberechnung wiederholen. Im Übrigen hoffe ich, dass meine Frau diesen Abschnitt niemals lesen wird. Er würde möglicherweise sämtliche Hoffnungen im Keim ersticken, in mir doch noch eine romantische Ader zu entdecken.

Zurück zu unseren Hochzeitsvorbereitungen. Ein paar Monate zuvor hatten sehr gute Freunde von uns geheiratet. Martina und Manni. Ich dachte mir Folgendes: Da es im Freundes- und Bekanntenkreis von M&M eine durchaus große Überschneidung mit unserem Bekanntenkreis gab – auch hinsichtlich Alter, Einkommen etc. –, könnte ich aufgrund dieser Informationen doch ein paar Aussagen für meine eigene Hochzeit treffen. Man könnte auch sagen, die Zielgruppe unterliegt einem ähnlichen Datenbestand. Wunderbar!

Ein paar Tage später schrieb ich Manni eine WhatsApp-Nachricht, ob er mir sagen könnte, wie viel Hochzeits-Obolus, sprich Geld, jeder Gast entrichtet hatte. Konnte er nicht. Nur die Gesamtsumme hatte er in etwa parat. Ich bat ihn, die Gesamtsumme doch bitte noch einmal zu verifizieren und mir die genaue Anzahl der Gäste ihrer Hochzeitsgesellschaft mitzuteilen.

Vielleicht ahnst du schon, was mein unromantischer Plan war. Ich wollte den Mittelwert (also den Durchschnitt) an Geldgeschenken pro Gast ausrechnen.

Für die Höhe der durchschnittlichen Geldgeschenke könntest du also die Formel wie folgt anpassen:

(Der Einfachheit halber gehen wir ausschließlich von Geldgeschenken aus.)

Nachdem Manni eine kleine Auffrischung zur Mittelwertbestimmung erhalten hatte, teilte er mir kurze Zeit später mit, dass alle Geldgeschenke in Summe 12.789 Euro ausmachten und 84 Gäste anwesend waren. Damit ergibt sich also ein Durchschnitt in Höhe von 12.789 Euro : 84 = 152,25 Euro pro Gast. Womit wir wieder bei Dezimalzahlen wären.

Um die Geschichte abzuschließen: Ich habe den Mittelwert in Höhe von 152,25 Euro mit der geplanten Anzahl unserer Gäste (62) multipliziert und bin am Ende von 152,25 € · 62 = 9439,50 € geplanten Einnahmen ausgegangen.

Fun Fact: Meine Kalkulation, wie viel wir am Ende noch draufzahlen müssen, war leider ziemlich gut. Unsere »Einnahmen« betrugen 9380 Euro und die Ausgaben 20.680 Euro. Wir mussten also 20.680 € - 9380 € = 11.300 € draufzahlen. Berechnet man noch die Quersumme von 11.300, erhält man übrigens 5, auch Zahl der Liebe genannt. Vielleicht habe ich ja doch eine romantische Ader.

2.3 Auf einer Party kann schon mal etwas zu Bruch gehen – damit solltest du rechnen: Bruchrechnung

Deine Gartenparty ist in vollem Gange. Deine selbst kreierte Spotify-Playlist mit den beliebtesten Sommerhits kommt auch richtig gut an. Tolle Gäste, eine ausgelassene Stimmung und Traumwetter. Dass die gute Laune deiner Gäste eventuell auch an dem Extraschuss Sekt in deiner Rote-Beeren-Bowle14 nach Großmutters Rezept liegt, behältst du vorerst für dich und belässt es bei einem Schmunzeln auf deinen Lippen. Ohnehin bist du gerade vertieft in das Gespräch mit deiner attraktiven Nachbarin, die du natürlich auch eingeladen hast. Während du dich angeregt mit ihr unterhältst und nach der Senftube greifst, stößt du aus Versehen dein Glas vom Tisch. Eine Sekunde später: klirr! »Nicht dramatisch, Scherben bringen ohnehin Glück«, witzelst du in die Runde und machst dich auf den Weg in die Küche, um die vorhin erst gekaufte...