Wirksamkeit von Tablet-PCs bei der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs aus mathematikdidaktischer und psychologischer Perspektive (eBook)

Frank Reinhold war Gymnasiallehrer, bevor er an der Technischen Universität München im Fachbereich Didaktik der Mathematik promovierte. Derzeit arbeitet er als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der TUM School of Education.

Geleitwort 6
Danksagung 9
Inhaltsverzeichnis 10
Tabellenverzeichnis 14
Abbildungsverzeichnis 16
Zusammenfassung 18
Abstract 19
Einleitung 20
Teil I Theoretischer Teil 23
1 Entwicklung mathematischen Verständnisses: Fachdidaktische und psychologische Perspektiven 24
1.1 Piagets Theorie der kognitiven Entwicklung 24
1.1.1 Stadientheorie 25
1.1.2 Assimilation und Akkommodation 27
1.2 Conceptual Change-Theorie 28
1.2.1 Arten von Conceptual Change 29
1.2.2 Bedingungen für einen Konzeptwechsel 31
1.2.3 Weiterentwicklung der ursprünglichen Theorie 32
1.2.4 Kritische Betrachtung der Conceptual Change-Theorie aus einer mathematikdidaktischen Perspektive 34
1.3 Grundvorstellungen mathematischer Inhalte 37
1.3.1 Rolle von Grundvorstellungen 38
1.3.2 Kritische Auseinandersetzung mit Grundvorstellungen 41
1.4 Diskurs zwischen Fachdidaktik und Psychologie 42
1.5 Synthese fachdidaktischer und psychologischer Perspektiven 44
2 Bruchrechnung als fachdidaktische Herausforderung 48
2.1 Problemfeld Bruchrechnung 48
2.1.1 Formale Definition der rationalen Zahlen 50
2.1.2 Brüche im Kontext der Schule 51
2.1.3 Typische Schülerfehler im Bereich der Bruchrechnung 53
2.1.4 Unzureichend ausgebildete Grundvorstellungen als eine Ursache für Fehler 56
2.2 Natural Number Bias 58
2.2.1 Dimensionen des Natural Number Bias 58
2.2.1.1 Dichte 59
2.2.1.2 Darstellung 59
2.2.1.3 Größe 60
2.2.1.4 Operationen 61
2.2.2 Kongruente und inkongruente Aufgaben 63
2.2.3 Dual-Processing als Erklärung für den Natural Number Bias 65
2.3 Konzepte von Brüchen als Antwort auf den Natural Number Bias 68
2.3.1 Konzept Teil vom Ganzen 70
2.3.1.1 Subkonzept Teil eines Ganzen 71
2.3.1.2 Subkonzept Teil mehrerer Ganzer 74
2.3.1.3 Subkonzept Maß auf dem Zahlenstrahl 77
2.3.1.4 Subkonzept Größenordnung 81
2.3.2 Konzept Erweitern und Kürzen 84
2.3.2.1 Subkonzept Verfeinern und Vergröbern 86
2.3.2.2 Subkonzept Einbettung der natürlichen Zahlen 88
2.3.2.3 Subkonzept Gemischte Schreibweise 89
2.3.2.4 Subkonzept Dichte 91
2.3.3 Größenvergleich 93
2.3.3.1 Subkonzept Eigenschaftsbasierte Vergleichsstrategien 94
2.3.3.2 Subkonzept Regelbasierte Vergleichsstrategien 97
2.3.3.3 Subkonzept Flexibler Umgang mit verschiedenen Strategien 99
3 Instruktionspsychologie: Gestaltung multimedialer Lernumgebungen 102
3.1 Gedächtnismodelle: Theorien zur Informationsverarbeitung beim Menschen 102
3.1.1 Drei-Speicher-Modell 103
3.1.2 Theorie der dualen Kodierung 104
3.1.3 Arbeitsgedächtnismodell 107
3.1.4 Schema-Theorie 109
3.2 Cognitive Load-Theorie 111
3.2.1 Unterschiedliche Arten kognitiver Belastung 112
3.2.2 Effekte im Zusammenhang mit kognitiver Belastung 114
3.2.2.1 Worked Example-Effekt 115
3.2.2.2 Problem Completion-Effekt 115
3.2.2.3 Split-Attention-Effekt 116
3.2.2.4 Modality-Effekt 116
3.2.2.5 Redundancy-Effekt 117
3.2.2.6 Expertise Reversal-Effekt 118
3.2.2.7 Guidance Fading-Effekt 118
3.2.2.8 Imagination-Effekt 119
3.2.2.9 Goal-Free-Effekt 120
3.2.2.10 Element Interactivity-Effekt 122
3.2.2.11 Isolated-Interacting Elements-Effekt 122
3.2.2.12 Variability-Effekt 123
3.3 Kognitive Theorie des multimedialen Lernens 124
3.3.1 Annahmen der Theorie 126
3.3.2 Kognitive Prozesse beim multimedialen Lernen 128
3.3.3 Kognitive Belastung beim multimedialen Lernen 130
3.3.4 Prinzipien des multimedialen Lernens 131
3.3.4.1 Prinzipien zur Minimierung irrelevanter Verarbeitungsprozesse 131
3.3.4.2 Prinzipien zur Organisation essentieller Verarbeitungsprozesse 132
3.3.4.3 Prinzipien zur Förderung generativer Verarbeitungsprozesse 134
3.4 Integratives Modell des Text- und Bildverstehens 137
3.4.1 Formen der Repräsentation 139
3.4.1.1 Repräsentationen beim Lesen von Texten 139
3.4.1.2 Repräsentationen beim Verstehen von Bildern 140
3.4.2 Integrative Verarbeitung von Texten und Bildern 142
3.4.3 Effekte integrativer Verwendung von Texten und Bildern: Implikationen für die Gestaltung von Lernumgebungen 144
3.4.3.1 Einfluss der Lesekompetenz 145
3.4.3.2 Einfluss des Vorwissens 145
3.4.3.3 Einfluss der Sequenzierung 146
3.4.3.4 Einfluss der Passung der gewählten Visualisierung 147
4 Interaktive Unterrichtsmedien: Neue Chancen für die Entwicklung mathematischer Konzepte 151
4.1 Digitale Medien im Mathematikunterricht 151
4.2 Embodied Cognition-Theorie 153
4.2.1 Embodied Cognition und kognitive Belastung 154
4.2.1.1 Abladen kognitiver Belastung 155
4.2.1.2 Entkoppelte Nutzung automatisierter Handlungsschemata 157
4.2.1.3 Begriffsklärung und Verortung der Arbeit 158
4.2.2 Embodiment in digitalen Lernumgebungen 159
4.2.3 Wirksamkeit von Embodiment im Mathematikunterricht 162
4.3 Adaptivität 163
4.3.1 Adaptivität und kognitive Belastung 164
4.3.2 Adaptivität in digitalen Lernumgebungen 166
4.3.2.1 Maße für individuelle Unterschiede 166
4.3.2.2 Art der Zielsetzung 167
4.3.2.3 Adaption der Aufgabenschwierigkeit als mögliche Implementierung 168
4.3.3 Wirksamkeit adaptiver Systeme im Mathematikunterricht 169
4.4 Feedback 170
4.4.1 Feedback und kognitive Belastung 171
4.4.1.1 Arten von Feedback 171
4.4.1.2 Begriffsklärung und Zusammenhang mit kognitiver Belastung 173
4.4.2 Feedback in digitalen Lernumgebungen 175
4.4.3 Wirksamkeit von Feedback 178
5 Forschungsstand und Fragestellung 181
5.1 Zusammenfassung des aktuellen Forschungsstands 181
5.2 Modell zur Entwicklung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik 183
5.3 Forschungsfragen 185
5.3.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs 185
5.3.2 Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen 186
Teil IIEmpirischer Teil 188
6 Design und Methode der Studie 189
6.1 Erhebungsdesign und Stichproben 189
6.1.1 Design der Studie 190
6.1.2 Beschreibung der Stichproben 192
6.1.2.1 Größe der Interventionsgruppen 193
6.1.2.2 Geschlechterverteilung 195
6.1.2.3 Klassengröße 195
6.2 Unterrichtsmaterial und Geräte 196
6.2.1 ALICE:Bruchrechnen als gemeinsames Forschungsprojekt 197
6.2.1.1 Technische Aspekte bei der Entwicklung des iBooks (1): Gestaltung der interaktiven Inhalte (Stefan Hoch) 198
6.2.1.2 Technische Aspekte bei der Entwicklung des iBooks (2): Eingaben durch Handschrifterkennung (Bernhard Werner) 200
6.2.1.3 Inhaltliche Aspekte bei der Entwicklung des iBooks 200
6.2.2 Inhalte der digitalen und multimedialen Lernumgebung 203
6.2.2.1 Kapitel 1 – Eine Pizza wird geteilt 203
6.2.2.2 Kapitel 2 – Den Anteil von etwas berechnen 205
6.2.2.3 Kapitel 3 – Pizza und Schokolade verteilen 205
6.2.2.4 Kapitel 4 – Verschiedene Brüche mit gleichem Wert 207
6.2.2.5 Kapitel 5 – Brüche auf dem Zahlenstrahl 210
6.2.2.6 Kapitel 6 – Mehr als ein Ganzes 212
6.2.2.7 Kapitel 7 – Welcher Bruch ist größer? 212
6.2.3 Inhaltsvalidität der Lernumgebung 214
6.2.4 Verwendete elektronische Geräte 216
6.3 Erhebungsinstrumente 216
6.3.1 Pretest zu Vorerfahrungen des Bruchzahlbegriffs 217
6.3.2 Posttest zur Entwicklung des Bruchzahlbegriffs 218
6.3.2.1 Skala Visualisierungen 220
6.3.2.2 Skala Arithmetik 223
6.3.2.3 Skala Erklären 225
6.4 Durchführung 226
6.4.1 Pilotierung der digitalen Lernumgebung 226
6.4.2 Pilotierung der Erhebungsinstrumente 226
6.4.3 Ablauf der Interventionsstudie 228
6.4.3.1 Anwerbung der Schulen und Freiwilligkeit der Teilnahme 228
6.4.3.2 Schulung der Lehrkräfte 229
6.4.3.3 Durchführung der Intervention und der Erhebungen 230
6.4.4 Realisierung des Treatments 232
6.4.4.1 Unterrichtszeit während der Intervention 232
6.4.4.2 Anforderungen an den Unterricht in den Experimentalgruppen 234
6.5 Codierung und Beurteilung von Schülerantworten 235
6.5.1 Bewertung geschlossener und offener Aufgabenformate 235
6.5.2 Kodierung von Strategien beim Größenvergleich 238
6.6 Statistische Auswertungsmethoden 240
6.6.1 Interne Konsistenz der Skalen und Subskalen 240
6.6.1.1 McDonalds Omega 241
6.6.1.2 Konrmatorische Faktorenanalyse 241
6.6.1.3 Mittlere Inter-Item-Korrelationen 242
6.6.2 Korrelationsanalyse 243
6.6.3 Gruppenvergleiche 243
6.6.3.1 Kovarianzanalyse 244
6.6.3.2 Kruskal-Wallis-Test 246
7 Ergebnisse der Studie 249
7.1 Evaluation der Testinstrumente 249
7.1.1 Pretest als Maß für Vorerfahrungen zum Bruchzahlbegriff 249
7.1.2 Posttest als Maß für die Entwicklung des Bruchzahlbegriffs 252
7.1.2.1 Skalenebene des Posttests 254
7.1.2.2 Skala Visualisierung 255
7.1.2.3 Skala Arithmetik 257
7.1.2.4 Skala Erklären 259
7.2 Begründung der statistischen Auswertungsmethode der Treatment-Effekte 263
7.2.1 Vergleich der Schularten 263
7.2.2 Effekte der Intervention an Gymnasien 264
7.2.3 Effekte der Intervention an Mittelschulen 266
7.3 Vergleich der Schularten 268
7.3.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs an Gymnasien und Mittelschulen 268
7.3.2 Visualisierungen und arithmetischen Aufgaben 270
7.3.3 Geschlechterunterschiede 271
7.4 Effekte der Intervention an Gymnasien 273
7.4.1 Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen 275
7.4.2 Arithmetische Fähigkeiten 276
7.4.3 Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern 277
7.5 Effekte der Intervention an Mittelschulen 282
7.5.1 Fähigkeiten im Umgang mit Visualisierungen 283
7.5.2 Arithmetische Fähigkeiten 284
7.5.3 Fähigkeit geeignete Strategien zu erläutern 285
8 Diskussion und Fazit 289
8.1 Ziele der Arbeit 289
8.2 Zusammenfassung und Interpretation der Ergebnisse 291
8.2.1 Entwicklung des Bruchzahlbegriffs 291
8.2.2 Wirksamkeit multimedialer und digitaler Lernumgebungen 293
8.3 Kritische Diskussion der durchgeführten Studie 301
8.3.1 Güte der entwickelten Erhebungsinstrumente 302
8.3.2 Reexion des methodischen Vorgehens der Studie 304
8.4 Ausblick 311
8.4.1 Implikationen der Arbeit für den Mathematikunterricht 311
8.4.2 Offene Fragestellungen und weiterführende Forschungsansätze 314
Literatur 318
A Anhang 340
A.1 Bruchrechnen in den Common Core State Standards 341
A.2 Zeitlicher Ablauf des Forschungsprojektes 342
A.3 Verwendete Erhebungsinstrumente 343
A.4 Implementierungen in R 356
A.5 Weitere Tabellen zur internen Konsistenz der Skalen 358
A.6 Histogramme 362
A.7 Untersuchung von Gruppenunterschieden im Pretest an Mittelschulen 370