Reflexionswissen zur linearen Algebra in der Sekundarstufe II (eBook)

Oliver Schmitt promovierte als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der TU Darmstadt bei Prof. Dr. Regina Bruder. Er absolviert zurzeit sein Referendariat für das Lehramt an Gymnasien für die Fächer Mathematik und Physik.

Geleitwort 6
Danksagung 9
Inhaltsverzeichnis 10
Abbildungsverzeichnis 15
Tabellenverzeichnis 18
1 Einleitung 19
1.1 Inhaltliche Ausgangspunkte 20
1.2 Wissenschaftliche Einordnung und Konkretisierung von Vorgehen und Zielen 23
1.3 Aufbau des Textes 29
2 Theoretische Grundlagen 34
2.1 Tätigkeitstheorie 34
2.1.1 Grundbegriffe 34
2.1.1.1 Tätigkeit, Handlung 35
2.1.1.2 Lerntätigkeit und Aneignung 37
2.1.1.3 Orientierungsgrundlage 39
2.1.2 Exkurs: Tätigkeitstheorie als moderat konstruktivistischer Ansatz 47
2.1.3 Wissensbegriff 50
2.1.3.1 Wissenspsychologische Grundlagen 50
2.1.3.2 Tätigkeitstheoretische Begriffe von Wissen und Kenntnis 52
2.1.3.3 Wissensaspekte nach Pippig 54
2.1.3.4 Einordnung von Wissen und Kenntnissen in die Lerntätigkeit 56
2.1.3.5 Theoretische Kenntnisse und theoretisches Denken 57
2.1.4 Lehrstrategie des Aufsteigens vom Abstrakten zum Konkreten 58
2.1.5 Reflexion im Rahmen der Tätigkeitstheorie 61
2.2 Reflexionen im Mathematikunterricht 67
2.2.1 Kritische Mathematikdidaktik 68
2.2.1.1 Gründe für Reflexionen im Mathematikunterricht 69
2.2.1.2 Literacy und Mathemacy 72
2.2.1.3 Skovsmoses Wissenseinteilung und Ausarbeitungen zur Reflexion 73
2.2.1.4 Zusammenfassung und unterrichtliche Umsetzung 75
2.2.2 Fischers systemtheoretisch fundierter Bildungsbegriff 77
2.2.2.1 Gründe für die Orientierung an Kommunikations- und Entscheidungsfähigkeit 78
2.2.2.2 Fischers Reflexionsbegriff 82
2.2.2.3 Wissensbegriff bei Fischer 84
2.2.2.4 Zur Inhaltsauswahl und unterrichtlichen Umsetzung 86
2.2.2.5 Weitere Ausarbeitungen zu Fischers Reflexionskonzept 88
2.2.2.6 Verhältnis zur kritischen Mathematikdidaktik 95
2.2.3 Allgemeine Mathematik 96
2.2.3.1 Orientierungswissen 99
2.2.3.2 Mathematiklernen als interkulturelles Lernen 103
2.2.4 Wissenschaftspropädeutik 105
2.2.4.1 Wissenschaftsorientierung und Wissenschaftspropädeutik 106
2.2.4.2 Wissenschaftspropädeutik und Fachperspektive 108
2.2.4.3 Wissenschaftspropädeutik und mathematischer Fachunterricht 112
2.2.5 Einordnung von reflexionsorientiertem Unterricht in administrative Vorgaben 116
2.2.6 Konzepte mit anderen Zielstellungen 121
2.2.6.1 Reflexion bei Freudenthal 121
2.2.6.2 Metakognition 123
3 Synthese: Reflexionswissen mit tätigkeitstheoretischer Beschreibung 126
3.1 Reflexionshandlungen 126
3.1.1 Gegenstand und Ziel 126
3.1.2 Beschreibung der Reflexionshandlungen 129
3.2 Charakterisierung von Reflexionswissen 131
3.2.1 Dialektische Sichtweise auf die Aneignung von Reflexionswissen 131
3.2.2 Eigenschaften von Reflexionswissen 133
3.2.3 Explizite Thematisierung im Unterricht 134
3.2.4 Zusammenfassung 134
3.3 Inhaltliche Bündelung der referierten Ansätze 136
3.3.1 Sprechen über Mathematik bei Neubrand 137
3.3.2 Reflexion im Mathematikunterricht von Ludwig Bauer 140
3.3.3 Mathematische Mündigkeit durch Reflexion bei Katja Lengnink 142
3.3.4 Inhaltliche Aspekte von Reflexionswissen aus bildungstheoretischer Perspektive 144
4 Vermittlung von Reflexionswissen im Unterricht 150
4.1 Materialien zur Anregung von Reflexionen 150
4.1.1 Realitätsbezüge im Unterricht 151
4.1.2 Reflexionen durch Fragen anregen 156
4.1.3 Materialien zur expliziten Förderung von Reflexionswissen 160
4.2 Aufgaben aus Sicht der Tätigkeitstheorie 164
4.3 Konzept zur expliziten Thematisierung von Reflexionswissen 169
5 Inhalte von Reflexionswissen zur linearen Algebra 179
5.1 Begriffsbildungen zu fundamentalen Ideen 180
5.2 Motiv und Funktion für den Mathematikunterricht 184
5.3 Bestimmung von Ideen der linearen Algebra 188
5.3.1 Ideen im Rahmen der fachdidaktischen Forschung 192
5.3.2 Nennung von Charakteristika in Schul- und Lehrbüchern 198
5.3.2.1 Charakterisierende Aspekte in universitären Lehrbüchern 198
5.3.2.2 Themen und übergreifende Ideen im schulischen Rahmen 200
5.3.3 Mathematikhistorische Aspekte 204
5.3.4 Typische Denkhandlungen 214
5.4 Zusammenfassung 218
6 Beispiele zur Thematisierung von Reflexionswissen zur linearen Algebra 223
6.1 Algorithmisierung am Beispiel des Gauß-Algorithmus 225
6.1.1 Inhaltliche Hintergründe 225
6.1.1.1 Zum Begriff des Algorithmus 225
6.1.1.2 Gauß-Algorithmus 230
6.1.2 Ziele der Reflexion von Algorithmisierung 234
6.1.3 Zur Realisierung im Unterricht 236
6.1.3.1 Frühe Zielorientierung 237
6.1.3.2 Ausgangsabstraktum 237
6.1.3.3 Erste Konkretisierungen 238
6.1.3.4 Adaptiertes Lernprotokoll 242
6.1.3.5 Vertiefung und Problematisierung 244
6.2 Formalisierung und analytische Methode in der analytischen Geometrie 253
6.2.1 Inhaltliche Hintergründe 254
6.2.1.1 Formalisierung 254
6.2.1.2 Analytische Methode 258
6.2.2 Ziele der Reflexion von Formalisierung und analytischer Methode 263
6.2.3 Zur Realisierung im Unterricht 267
6.2.3.1 Frühe Zielorientierung 267
6.2.3.2 Ausgangsabstraktum 268
6.2.3.3 Erste Konkretisierungen 274
6.2.3.4 Adaptiertes Lernprotokoll 280
6.2.3.5 Vertiefung und Problematisierung 282
6.3 Phasen des Modellierens anhand von Übergangsmatrizen 307
6.3.1 Inhaltliche Hintergründe 307
6.3.1.1 Modellieren im Mathematikunterricht 308
6.3.1.2 Phasen des Modellierens 310
6.3.1.3 Funktion von „Metawissen“ zum Modellieren 313
6.3.2 Ziele der Reflexion von Phasen des Modellierens 315
6.3.3 Zur Realisierung im Unterricht 319
6.3.3.1 Frühe Zielorientierung 319
6.3.3.2 Ausgangsabstraktum 320
6.3.3.3 Erste Konkretisierungen 325
6.3.3.4 Adaptiertes Lernprotokoll 333
6.3.3.5 Vertiefung und Problematisierung 335
6.4 Argumentieren und Strukturorientierung bei der Einführung komplexer Zahlen 346
6.4.1 Inhaltliche Hintergründe 346
6.4.1.1 Argumentieren 347
6.4.1.2 Struktur und Funktion von Argumenten 351
6.4.1.3 Komplexe Zahlen 357
6.4.2 Ziele der Reflexion von Argumenten und Strukturorientierung 361
6.4.3 Zur Realisierung im Unterricht 366
6.4.3.1 Frühe Zielorientierung 366
6.4.3.2 Ausgangsabstraktum 369
6.4.3.3 Erste Konkretisierungen 374
6.4.3.4 Adaptiertes Lernprotokoll 378
6.4.3.5 Vertiefung und Problematisierung 380
7 Zusammenfassung der Arbeit 390
8 Ausblick 404
Literatur 410