Oberstufenmathematik leicht gemacht / Lineare Algebra /Analytische Geometrie

Dieses Buch erklärt die mathematischen Zusammenhänge möglichst anschaulich. Deshalb sind die Darstellungen sehr ausführlich und durch zahlreiche Abbildungen verdeutlicht. Aufgebaut wird nur auf den Mathematikkenntnissen, die die meisten Schülerinnen und Schüler in der Oberstufe tatsächlich besitzen. Bei der Darstellung des Stoffes wird also berücksichtigt, dass auch manch ein Begriff aus der Mittelstufe noch erklärungsbedürftig ist, wenn dieser benutzt wird. So wird z.B. das Lösen von linearen Gleichungssystemen, das die Grundlage für zahlreiche Aufgaben der analytischen Geometrie bildet, recht ausführlich behandelt.


 Inhaltsverzeichnis Oberstufenmathematik leicht gemacht - Band 2:

1 Lineare Gleichungssysteme

1.1 Grundlagen aus der Mittelstufe 1.1.1 Einzelne lineare Gleichungen

1.1.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

1.1.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen





1.2 Einführungsbeispiel zum Gauß-Algorithmus

1.3 Grundlagen des Gauß-Algorithmus 1.3.1 Addition von Vielfachen

1.3.2 Addition von Vielfachen mit vorheriger Veränderung

 der oberen Gleichung

1.3.3 Schema

1.3.4 Übungsaufgaben





1.4 Unlösbare und unterbestimmte lineare  Gleichungssysteme 1.4.1 Unlösbare lineare Gleichungssysteme

1.4.2 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme 1.4.2.1 Grundlagen

1.4.2.2 Der Gauß-Algorithmus bei unterbestimmten Gleichungssystemen





1.4.3 Schema für den Gauß-Algorithmus (Fortsetzung)





1.5 Weitere Zusammenhänge

1.6 Umgehen von Brüchen

1.7 Gleichungssysteme mit Konstanten

1.8 Berechnung mittels Matrizen 1.8.1 Grundlagen

1.8.2 Zusammenfassung zum Lösen mit Matrizen

1.8.3 Übungsaufgaben mit Matrizen







2 Vektorrechnung im Anschauungsraum

2.1 Grundlagen

2.2 Addition und S-Multiplikation 2.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren

2.2.2 S-Multiplikation

2.2.3 Linearkombinationen





2.3 Lineare Abhängigkeit 2.3.1 Zwei Vektoren

2.3.2 Drei Vektoren

2.3.3 Allgemeine Bedingung für lineare Abhängigkeit





2.4 Vektorraum (Teil 1) 2.4.1 Grundlagen

2.4.2 Basis und Dimension





2.5 Vektorraum (Teil 2: formale Betrachtung) 2.5.1 Definition

2.5.2 Abstraktere Vektorräume als der Anschauungsraum

2.5.3 Unterräume





2.6 Teilungsverhältnisse 2.6.1 Vektorzüge

2.6.2 Bestimmung von Teilungsverhältnissen





2.7 Vektoren in Koordinatenschreibweise 2.7.1 Grundlagen

2.7.2 Addition und S-Multiplikation in Koordinatenschreibweise

2.7.3 Lineare Abhängigkeit







3 Die Parameterform der Geraden und der Ebene

3.1 Grundlagen

3.2 Geradengleichung

3.3 Rechnen mit Geraden 3.3.1 Liegt ein Punkt auf einer Geraden?

3.3.2 Schnittpunkte von Geraden im Zweidimensionalen

3.3.2 Schnittpunkte von Geraden im Dreidimensionalen





3.4 Parametergleichung der Ebene

3.5 Rechnen mit Ebenen 3.5.1 Punkte auf Ebenen

3.5.2 Schnittpunkte: Gerade - Ebene 3.5.2.1 Grundlagen

3.5.2.2 Lösung mittels Gleichsetzen

3.5.2.3 Parallelität zwischen Ebene und Gerade

3.5.3.4 Spurpunkte





3.5.3 Schnittgerade: Ebene - Ebene 3.5.3.1 Grundlagen

3.5.3.2 Lösung mittels Gleichsetzen

3.5.3.3 Parallelität zwischen Ebenen

3.5.3.4 Spurgeraden











4 Koordinatenform

4.1 Koordinatenform der Geraden

4.2 Koordinatenform der Ebene



5 Metrischer Raum (Normalenform)

5.1 Skalarprodukt 5.1.1 Definition des Skalarproduktes

5.1.2 Wesentliche Eigenschaften des Skalarproduktes

5.1.3 Skalarprodukt für Vektoren in Koordinatenschreibweise

5.1.4 Erzeugen von orthogonalen Vektoren

5.1.5 Die Länge eines Vektors

5.1.6 Der Winkel zwischen zwei Vektoren

5.1.7 Übungsaufgaben





5.2 Normalenform der Geraden 5.2.1 Grundlagen

5.2.2 Punkt-Normalenform und allgemeine Normalenform

5.2.3 Zusammenhang zwischen Koordinaten-, Normalen- und Parameterform der Geraden





5.3 Normalenform der Ebene 5.3.1 Grundlagen

5.3.2 Punkt-Normalenform und allgemeine Normalenform

5.3.3 Zusammenhang zwischen Koordinaten- und Normalenform der Ebene





5.4 Schnittmengen-Berechnung für die Normalenform 5.4.1 Grundlagen

5.4.2 Schnitt zwischen Normalenform und Parameterform

5.4.3 Schnitt zwischen zwei Normalenformen





5.5 Schnittwinkel 5.5.1 Schnittwinkel zwischen Geraden 5.5.1.1 Beide Geraden in Parameterform

5.5.1.2 Beide Geraden in Normalenform

5.5.1.3 Eine Gerade in Parameterform und eine in Normalenform





5.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

5.5.3 Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen





5.6 Hessesche Normalenform 5.6.1 Grundlagen

5.6.2 Beispiele zur Aufstellung der Hesseschen Normalenform

5.6.3 Abstandsberechnungen zu einem Punkt

5.6.4 Abstandsberechnungen zwischen Geraden und Ebenen 5.6.4.1 Abstand zwischen zwei Geraden im Zweidimensionalen

5.6.4.2 Abstand zwischen zwei Ebenen

5.6.4.3 Abstand zwischen Ebene und Gerade

5.6.4.4 Abstand zwischen zwei Geraden im Dreidimensionalen





5.6.5 Abstandsberechnungen eines Punktes zu einer Geraden im Dreidimensionalen







6 Vektorprodukt

6.1 Grundlagen

6.2 Vektorprodukt und Normalenvektor

6.3 Vektorprodukt und Flächenberechnung

6.4 Zusammenfassung der Eigenschaften des Vektorproduktes

6.5 Volumenberechnung

6.6 Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden



7 Kreis und Kugel

7.1 Kreis- und Kugelgleichung

7.2 Schnittmengen mit Punkten, Geraden und Ebenen 7.2.1 Lage von Punkten

7.2.2 Schnittmenge mit Geraden und Ebenen

7.2.3 Koordinatenform für Kreis und Kugel





7.3 Tangente und Tangentialebene



8 Matrizen

8.1 Definition einer Matrix

8.2 Elementare Rechenregeln für Matrizen 8.2.1 Addition von Matrizen

8.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl

8.2.3 Transposition von Matrizen





8.3 Multiplikation von Matrizen mit Matrizen 8.3.1 Grundlagen







9 Determinanten

9.1 Grundlagen zur Berechnung

9.2 Determinanten und lineare Abhängigkeit 9.2.1 Grundlagen

9.2.2 Anwendung auf Aufgaben zur linearen Abhängigkeit

9.2.3 Parallelität von Geraden und Ebenen





9.3 Die Cramersche Regel 9.3.1 Eindeutig lösbare Gleichungssysteme

9.3.2 Mehrdeutig lösbare Gleichungssysteme





9.4 Determinanten und Vektorprodukt



10 Anhang

10.1 Anhang aus Band 1

10.2 Quadratische Gleichungen 10.2.1 Quadratische Ergänzung

10.2.2 pq-Formel

10.2.3 Weitere Zusammenhänge





10.3 Schema zum Gauß-Algorithmus

10.4 Lineare Abhängigkeit

10.5 Geraden und Ebenengleichungen

10.6 Schnitt von Geraden/Ebenen

10.7 Skalarprodukt

10.8 Vektorprodukt

10.9 Kreis und Kugel

10.10  Mathematische Zeichen

10.11  Griechisches Alphabet