Einführung in die moderne Mathematik

1. Mengen.- 1.1. Einleitung und elementare Begriffe.- 1.2. Eigenschaften der Elemente und der Mengen.- 1.3. Variable und Variablenbereiche.- 1.4. Die Konstruktion von Mengen.- 1.5. Die Namen für Objekte und Mengen.- 1.6. Die allgemeine Gleichheitsrelation.- 1.7. Die Gleichheit.- 1.8. Übungen.- 2. Weiteres über Mengen.- 2.1. Untermengen und Obermengen. Die Inklusion.- 2.2. Betrachtungen über die Gleichheit und die Inklusion.- 2.3. Der Gebrauch gewisser Mengen.- 2.4. Die leere Menge und die Einer menge.- 2.5. Disjunkte Mengen. Strikte Inklusion.- 2.6. Geordnete Paare. Diskrete Mengen und kontinuierliche Mengen.- 2.7. Cartesische Produkte.- 2.8. Übungen.- 3. Operationen auf Mengen.- 3.1. Allgemeines über die Mengenalgebra.- 3.2. Der Durchschnitt von Mengen.- 3.3. Vereinigung von Mengen.- 3.4. Vermischte Operationen.- 3.5. Das Komplement einer Menge.- 3.6. Dualität.- 3.7. Zusammengesetzte Mengen und ihre Komplemente.- 3.8. Übungen.- 4. Relationen.- 4.1. Gewöhnliche Relationen.- 4.2. Mathematische Relationen.- 4.3. Darstellung von Relationen in endlichen Mengen.- 4.4. Darstellung von Relationen in unendlichen Mengen.- 4.5. Komplementäre und inverse Relationen.- 4.6. Mathematische Nomenklatur.- 4.7. Spezielle Arten von Relationen.- 4.8. Erweiterung des Begriffes der Relation.- 4.9. Übungen.- 5. Funktionen.- 5.1. Die Grundlagen des Funktionsbegriffes.- 5.2. Verschiedene Betrachtungsweisen von Funktionen.- 5.3. Spezielle Typen von Funktionen.- 5.4. Übungen.- 6. Über die mathematische Sprache.- 6.1. Das Gespräch und der Satz.- 6.2. Modifikatoren und Bindewörter.- 6.3. Allgemeingültige Aussagen.- 6.4. Quantoren.- 6.5. Quantorenregeln.- 6.6. Absolute Variable und Substitution.- 6.7. Übungen.- 7. Ein wenig Axiomatik.- 7.1. Die Ausdrücke eines mathematischen Systems.- 7.2. Primitive Ausdrücke.- 7.3. Definitionen.- 7.4. Postulate und Theoreme.- 7.5. Modelle eines mathematischen Systems.- 7.6. Die Beweisregeln.- 7.7. Direkte und indirekte Beweise.- 7.8. Deduktive Systeme.- 7.9. Übungen.- 8. Die kommutative Gruppe.- 8.1. Allgemeines über die Methode der Abstraktion.- 8.2. Anwendung auf die Konstruktion einer Gruppe. Das Abschlußpostulat.- 8.3. Die Postulate der Assoziativität, Kommutativität und Identität.- 8.4. Das Postulat des Inversen.- 8.5. Die Postulate und Theoreme der kommutativen Gruppe.- 8.6. Erweiterung der Theorie. Binäre Operationen. Die Operation „Kreis“.- 8.7. Verschiedene Modelle der kommutativen Gruppe. Symmetrische Differenz und direkte Summe.- 8.8. Übungen.- Sachwortverzeichnis.