Theoretische Mechanik

Prof. Dr. Herbert R. Petry ist seit 1983 apl. Professor für Physik an der Rheinischen Friedrich-Wilhelms Universität Bonn, wo er am Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik (Theorie) vor allem zu Nuklearen Vielteilchensystemen, Mathematischer Physik und der Theorie der Hadronen forscht. Dr. Bernard Christiaan Metsch ist seit 1984 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Helmholtz-Institut für Strahlen-und Kernphysik und seit seiner Habilitation 1994 Privatdozent an der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn. Seine Forschungsgebiete sind Theoretische Atom-, Kern- und Hadronenphysik, numerische Methoden in der Physik.

1;Inhaltsverzeichnis;6
2;Vorwort;8
3;1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik: Konzepte und einfache Beispiele;10
3.1;1.1 Einleitung;10
3.2;1.2 Das n-Teilchen-Problem mit COULOMB- und Gravitationskräften: Die Konstanten der Bewegung;12
3.3;1.3 Das KEPLER-Problem;16
3.4;1.4 GALILEI-Invarianz;24
3.5;1.5 Gleichförmig rotierte und gleichförmig beschleunigte Bezugssysteme;29
3.6;1.6 Kräfte, die auf makroskopische Körper wirken;32
3.7;1.7 Aufgaben;34
4;2 Lösung der Bewegungsgleichungen: Differentialgleichungssysteme;48
4.1;2.1 Mathematische Vorbereitungen: Differenzierbare Funktionen von mehreren Variablen;48
4.2;2.2 Die Hauptsätze;50
4.3;2.3 Lineare Differentialgleichungssysteme;53
4.4;2.4 Anwendungen (Lösung durch Ansatz, Nachbarkurven einer Sollbahn, Stabilität von Gleichgewichtslagen);60
4.5;2.5 Ionenkäfige;62
4.6;2.6 Aufgaben;68
5;3 Das HAMILTONsche Prinzip;72
5.1;3.1 Arbeit, Potential, LAGRANGE-Funktion;72
5.2;3.2 Das HAMILTONsche Prinzip der kleinsten Wirkung;74
5.3;3.3 Mathematische Konsequenzen des HAMILTONschen Prinzips;76
5.4;3.4 Physikalische Konsequenzen des HAMILTONschen Prinzips: Symmetrietransformationen;80
5.5;3.5 Generalisierte Koordinaten;83
5.6;3.6 Zwangsbedingungen;88
5.7;3.7 Separable LAGRANGE-Funktionen und zyklische Koordinaten;101
5.8;3.8 Eine Variante des HAMILTONschen Prinzips: Wechsel des Zeitparameters;103
5.9;3.9 Der schwere Kreisel;106
5.10;3.10 Ein Extremalprinzip für beliebige Kurvenparameter;109
5.11;3.11 Noch eine Variante des HAMILTONschen Prinzips: Nebenbedingungen;112
5.12;3.12 Aufgaben;115
6;4 HAMILTONsche Mechanik;136
6.1;4.1 Die HAMILTONschen Gleichungen;136
6.2;4.3 Differentialformen;147
6.3;4.4 Die kanonische Zweiform im Phasenraum;154
6.4;4.5 Kanonische Transformationen, Invarianz des Phasenraumvolumens und Bewegungskonstanten;157
6.5;4.7 LIE-Klammern und POISSON-Klammern;164
6.6;4.8 Aufgaben;168
7;A Lösungen der Übungsaufgaben;176
7.1;A.1 Aufgaben zum Kapitel 1;176
7.2;A.3 Aufgaben zum Kapitel 3;202
8;Literaturverzeichnis;252
9;Index;256

Physik Journal, Januar 2006, 5. Jahrgang Das aus Vorlesungen und Übungen hervorgegangene Buch der beiden an der Universität Bonn tätigen Kernphysiker behandelt auf 165 Seiten die Mechanik von Massepunkten und Massepunktsystemen in der Newtonschen Formulierung bis hin zu den Hamilton-Jacobischen Gleichungen. Dabei stehen geometrische Aussagen über die Bewegungsformen und die Struktur der Theorie sowie der Zusammenhang zwischen Erhaltungssätzen und Symmetrietransformationen im Mittelpunkt des Interesses der Autoren. Die vier Kapitel werden jeweils durch etwa 5 bis 15 zum Teil anspruchsvolle Übungsaufgaben ergänzt, die am Ende auf ca. 75 Seiten vollständig vorgerechnet werden. Das Buch beginnt mit den Grundlagen der klassischen Newtonschen Mechanik, dem Kepler-Problem, der Galilei-Invarianz und - recht knapp - den beschleunigten Bezugssystemen. Das zweite Kapitel enthält die zur Lösung der Bewegungsgleichungen notwendigen mathematischen Konzepte aus der Theorie der Differentialgleichungen, die etwa am Beispiel von Ionenkäfigen geübt werden. Das umfangreichste Kapitel ist dem Hamiltonschen Prinzip und den Euler-Lagrange-Gleichungen gewidmet. Hier werden mathematische und physikalische Konsequenzen im Detail diskutiert, Symmetrietransformationen und das Noether-Theorem ausführlich besprochen, der Nutzen geeignet gewählter generalisierter Koordinaten gezeigt und der Begriff zyklische Koordinaten eingeführt. Systeme mit Zwangsbedingungen, der starre Körper und der schwere Kreisel werden als Anwendungen behandelt. Das letzte Kapitel betrifft die Hamiltonsche Formulierung der Mechanik. Nach der Ableitung der Hamiltonschen Gleichungen stellen die Autoren die Jacobische Lösungsmethode vor. In einem mathematischen Einschub wird der Leser mit wesentlichen Eigenschaften von Differentialformen vertraut gemacht, um dann die Hamiltonschen Gleichungen mit Hilfe kanonischer 2-Formen umzuschreiben. Bei dieser Gelegenheit werden kanonische Transformationen, der Satz von Liouville und Bewegungskonstanten besprochen. Schließlich werden Lie- und Poisson-Klammern eingeführt und erklärt, dass der Raum der Vektorfelder auf dem Phasenraum eine Lie-Algebra darstellt. Damit endet das Buch ziemlich abrupt, ohne Winkel- und Wirkungsvariable einzuführen und etwa auf Fragen des deterministischen Chaos einzugehen. Der Text ist im Wesentlichen selbstkonsistent und flüssig zu lesen, aber teilweise außerordentlich knapp. So wird z. B. auf eine Klassifizierung der Zwangsbedingungen verzichtet und beim Übergang von der Lagrange- zur Hamilton-Funktion nicht erwähnt, dass es sich um eine Legendre-Transformation handelt. Beispiele und Übungsaufgaben sind sinnvoll ausgewählt, mathematische Techniken werden ausreichend geübt, zahlreiche nahe liegende Probleme aus der Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie und der Elektrodynamik wurden einbezogen. Das vorliegende Buch wird sich an dem gut eingeführten, physikalisch reichhaltigeren und ähnlichem mathematischen Anspruch genügendem Buch von F. Scheck messen lassen müssen. (Ulrich Behn)

1 Die Grundlagen der Klassischen Mechanik: Konzepte und einfache Beispiele (S. 1)
1.1 Einleitung

Das Ziel der Mechanik ist die Vorhersage der Bewegung materieller Körper. Dies wird möglich, wenn folgende Hypothesen erfüllt sind oder (in abgeschwächter Form) zumindest mit ausreichender Genauigkeit zutreffen:

Hypothese 1

Alle materiellen Körper sind als Massenpunkte oder allgemeiner als eine Familie von n Massenpunkten xi darstellbar. Dabei ist xi ein Vektor in einem dreidimensionalen EUKLIDischen Vektorraum (kurz mit R3 bezeichnet), und die Vorhersage der Bewegung besteht in der Berechnung der Bahnkurven xi(t) dieser Massenpunkte, wobei die Zeit t ein für alle Punkte gleicher, universeller Parameter ist.

Hypothese 2

Die Bahnkurven xi(t) genügen den NEWTONschen Gleichungen: mi¨xi(t) = Ki(x1(t), . . . , xn(t), ÿ x1(t), . . . , ÿ xn(t), t), (i = 1, . . . , n). (1.1) Hierbei stellt Ki(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn, t) eine vektorwertige Funktion der Vektoren xi und der Geschwindigkeiten vi = ÿxi(t) dar und wird die Kraft genannt, die auf den Massenpunkt i wirkt. Die Masse mi des i-ten Teilchens ist ein charakteristischer materieller Parameter und ¨xi(t) bezeichnet die zweite Ableitung oder Beschleunigung der Kurve xi(t). Wir verlangen, daß xi(t), ÿ xi(t) und ¨xi(t) stetig sind.

Mathematisch stellt (1.1) ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung dar, von dem wir (unter Voraussetzung geeigneter Differenzierbarkeitseigenschaften der Funktionen Ki) später zeigen werden, daß eine eindeutig bestimmte Lösung bei Vorgabe der Anfangswerte xi(t0) sowie ÿ xi(t0) zu einer festen Zeit t0 existiert. Dieses Resultat wird kurz zusammengefaßt in der Aussage:

Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten bestimmen die Bahnkurven eines Systems von n Massenpunkten.

Diese Aussage garantiert die Vorhersagekraft unserer beiden Hypothesen in rein mathematischer Form. Von der physikalischen Seite her muß dazu eine von den Gleichungen selbst unabhängige Bestimmung der Massenmi sowie der Kräfte Ki als Funktion der Variablen xj , vj und t vorausgegangen sein, entweder durch eine direkte Messung oder durch eine zusätzliche theoretische Überlegung. Hierauf hat schon NEWTON selbst hingewiesen, als er unsere Hypothesen in seinen drei Axiomen formulierte (NEWTON (1687)):

Axiom 1

Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern.

Axiom 2

Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.

Axiom 3

Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.

Das dritte Axiom macht eine Aussage über Kräfte, von der wir heute wissen, daß sie so nicht allgemein gilt, insbesondere dann nicht, wenn geschwindigkeitsabhängige Kräfte wirken. NEWTON studierte zu seiner Zeit vor allem die Gravitationskraft, hierzu sind im 19. Jahrhundert die elektromagnetischen Kräfte und im 20. Jahrhundert die bei subatomaren Distanzen wirksamen starken und schwachen Kräfte getreten.