Mathematik – einfach genial! (eBook)

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 7
1 Pythagoras von Samos – Sektenführer und Philosoph 14
1.1Einfach genial: Pythagoreische Zahlenmuster 16
1.1.1Dreieckszahlen 17
1.1.2Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen 23
1.1.3Winkelhaken 25
1.1.4Pythagoreische Zahlentripel 27
1.2Wer war Pythagoras? Wer waren die Pythagoreer? 30
1.3Weitere pythagoreische Zahlenmuster 33
1.4Literaturhinweise 34
2 Archimedes von Syrakus – Mathematiker, Physiker und Ingenieur 36
2.1Einfach genial: Archimedes bestimmt den Flächeninhalt eines Parabelsegments 37
2.2Wer war Archimedes? 42
2.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Archimedes außerdem? 48
2.3.1Über die Methode 49
2.3.2Über das Gleichgewicht ebener Flächen 49
2.3.3Kreismessung 51
2.3.4Über Spiralen 54
2.3.5Über Kugel und Zylinder 56
2.3.6Archimedisches Axiom 60
2.3.7Stomachion 60
2.3.8Sandrechner 61
2.3.9Das Buch der Lemmata 61
2.3.10Über regelmäßige Körper 66
2.4Literaturhinweise 68
3 Muhammed al-Khwarizmi – Vater der Algebra 69
3.1Einfach genial: al-Khwarizmis Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen 70
3.1.1Lösung des Aufgabentyps „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahlen“ 71
3.1.2Lösung des Aufgabentyps „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“ 73
3.1.3Lösung des Aufgabentyps „Quadrate sind gleich Wurzeln und Zahlen“ 78
3.2Wer war al-Khwarizmi? 81
3.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich al-Khwarizmi außerdem? 82
3.4Literaturhinweise 83
4 Ali al-Hasan Ibn al-Haitham – Vater der Optik 85
4.1Einfach genial: Ibn al-Haitham leitet eine Summenformel für Quadratzahlen her 86
4.2Wer war Ibn al-Haitham? 88
4.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich al-Haitham außerdem? 90
4.4Literaturhinweise 94
5 Abu Arrayhan al-Biruni – Universalgelehrter aus Afghanistan 96
5.1Einfach genial: Abu Arrayhan al-Biruni bestimmt den Erdradius 97
5.1.1Bestimmung des Erdradius durch Eratosthenes 97
5.1.2Messungen und Rechnungen zur Bestimmung einer Berghöhe 99
5.1.3Messungen und Rechnungen zur Bestimmung des Erdradius 100
5.1.4Ergebnis der Messungen und Berechnungen al-Birunis 101
5.2Wer war al-Biruni? 102
5.3Mit welchen Themen beschäftigte sich al-Biruni außerdem? 104
5.4Literaturhinweise 107
6 Omar Khayyam – Mathematiker, Philosoph und Dichter 108
6.1Einfach genial: Omar Khayyams geometrische Methode zur Lösung kubischer Gleichungen 109
6.1.1Die 25 möglichen Typen von Gleichungen maximal 3. Grades 110
6.1.2Lösungen der verschiedenen Gleichungstypen 112
6.2Wer war Omar Khayyam? 119
6.3Vierzeiler von Omar Khayyam 121
6.4Literaturhinweise 124
7 Jamshid al-Kashi – letzter bedeutender Mathematiker des islamischen Mittelalters 126
7.1Einfach genial: Jamshid al-Kashi bestimmt sin(1°) auf 18 Stellen genau 128
7.2Wer war al-Kashi? 131
7.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich al-Kashi außerdem? 132
7.4Literaturhinweise 137
8 Niccolò Tartaglia und Girolamo Cardano – wem gebührt die Ehre? 138
8.1Einfach genial: Niccolò Tartaglia entwickelt ein Lösungsverfahren für eine kubische Gleichung 140
8.1.1Lösung der speziellen Gleichung 141
8.1.2Lösung der allgemeinen Gleichung 142
8.1.3Lösung der anderen Gleichungstypen 143
8.2Wer waren Girolamo Cardano und Niccolò Tartaglia? 145
8.2.1Cardanos erste Lebensjahre 145
8.2.2Tartaglias erste Lebensjahre 146
8.2.3Cardano nimmt Kontakt zu Tartaglia auf 147
8.2.4Das Ende der dramatischen Geschichte 148
8.3Literaturhinweise 150
9 John Napier – Meister des Rechnens 152
9.1Einfach genial: John Napier erfindet seine Logarithmen 153
9.1.1Vordenker Michael Stifel 153
9.1.2Napiers Logarithmen 155
9.1.3Rechnen mit Napiers Logarithmen 157
9.1.4Die dekadischen Logarithmen des Henry Briggs 159
9.1.5Anwendung der Logarithmengesetze 162
9.2Wer war John Napier? 164
9.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Napier außerdem? 165
9.3.1Die Napier’schen Rechenstäbe 166
9.3.2Der Napier’sche Schachbrett-Rechner 169
9.3.3Die Napier’schen Regeln 170
9.4Entwicklung besonderer Rechenmethoden um das Jahr 1600 171
9.4.1Die Methode der Prosthaphaeresis 171
9.4.2Jost Bürgis Progress Tabulen 173
9.4.3Verbreitung der Logarithmenrechnung 174
9.5Literaturhinweise 177
10 René Descartes – Begründer der Analytischen Geometrie 179
10.1Einfach genial: René Descartes entdeckt eine Vorzeichenregel für Polynome 180
10.2Wer war René Descartes? 184
10.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Descartes außerdem? 187
10.3.1Das kartesische Blatt 187
10.3.2Der Descartes’sche Vier-Kreise-Satz 188
10.3.3Descartes’ Lösung des Tangentenproblems 191
10.3.4Descartes’ geometrische Lösung einer quadratischen Gleichung vom Typ x2 + ax = b2 195
10.4Zum Beweis der Vorzeichenregel von Descartes 195
10.5Literaturhinweise 199
11 Pierre de Fermat –verkanntes Mathematikgenie aus der Provinz 201
11.1Einfach genial: Pierre de Fermats Methode der Flächenbestimmung bei Potenzfunktionen 202
11.2Wer war Pierre de Fermat? 205
11.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Fermat außerdem? 213
11.3.1Formeln für Potenzsummen 213
11.3.2Fermat’sche Spirale 214
11.3.3Fermat-Punkt 215
11.3.4Anwendung der Methode des unendlichen Abstiegs 216
11.3.5Darstellung von Primzahlen als Summe von Quadratzahlen 217
11.3.6Lösung der sog. Pell’schen Gleichung 220
11.3.7Mersenne- und Fermat-Primzahlen 222
11.3.8Kleiner Fermat’scher Satz 223
11.3.9Fermat’scher Primzahltest 226
11.3.10Faktorisierung großer Zahlen 227
11.3.11Ein Beitrag Fermats zur Physik 229
11.4Literaturhinweise 230
12 Blaise Pascal – tiefsinniger Theologe und Mathematiker 232
12.1Einfach genial: Pascals Lösung des Problème des partis 233
12.1.1Fermats kombinatorische Lösung 233
12.1.2Pascals rekursive Methode 235
12.1.3Pascals geniale Lösung mithilfe des triangle arithmétique 237
12.1.4Die Lösungsversuche von Pacioli, Tartaglia und Cardano 242
12.2Wer war Blaise Pascal? 243
12.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Pascal außerdem? 246
12.3.1Weiterer Beitrag zur Wahrscheinlichkeitsrechnung 246
12.3.2Summenformel für Potenzen natürlicher Zahlen und Ansätze zur Integralrechnung 248
12.3.3Pascals Beiträge zur Physik 249
12.3.4Pascals Traité général de la Roulette 250
12.4Literaturhinweise 251
13 Abraham de Moivre – ein genialer Franzose im englischen Exil 252
13.1Einfach genial: Abraham de Moivre entdeckt den Zusammenhang zwischen den Mehrfachwinkelsätzen und den komplexen Zahlen 254
13.1.1Die Moivre’sche Formel 254
13.1.2Anwendung der Moivre’schen Formel beim Ziehen einer n-ten Wurzel 256
13.1.3Lösung einer kubischen Gleichung mithilfe eines Dreifachwinkelsatzes 256
13.1.4Die Euler’sche Gleichung 258
13.1.5Darstellung von n-ten Wurzeln in der Gauß’schen Zahlenebene 260
13.2Wer war Abraham de Moivre? 262
13.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich de Moivre außerdem? 264
13.4Literaturhinweise 269
14 Leonhard Euler – „unser aller Meister“ 270
14.1Einfach genial: Leonhard Euler löst das Basler Problem 271
14.2Wer war Leonhard Euler? 280
14.3Mit welchen Themen beschäftigte sich Leonhard Euler außerdem? 283
14.3.1Zusammenhang zwischen der harmonischen Reihe und der Logarithmusfunktion 284
14.3.2Die Euler’sche Gammafunktion 285
14.3.3Beiträge Eulers zur Zahlentheorie 286
14.3.4Eulers Lösung des Rencontre-Problems 291
14.3.5Eulers Beiträge zur Kombinatorik 294
14.3.6Der Euler’sche Polyedersatz 300
14.3.7Euler begründet die Graphentheorie 301
14.4Literaturhinweise 303
15 Joseph-Louis Lagrange – vielseitiger Mathematiker und Physiker 305
15.1Einfach genial: Joseph-Louis Lagrange charakterisiert periodische Kettenbrüche 307
15.1.1Endliche Kettenbrüche 307
15.1.2Unendliche Kettenbrüche 313
15.2Wer war Joseph-Louis Lagrange? 321
15.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Lagrange außerdem? 324
15.4Ergänzung: Kettenbrüche bei Huygens, Brounker und Wallis 328
15.5Literaturhinweise 329
16 Jean Baptiste Joseph Fourier – von der Französischen Revolution zur Revolution der Wärmelehre 331
16.1Einfach genial: Joseph Fourier approximiert periodische Funktionen mithilfe trigonometrischer Funktionen 333
16.1.1Eigenschaften von Produkten trigonometrischer Funktionen 333
16.1.2Der Fourier’sche Ansatz für eine Reihenentwicklung 336
16.1.3Beispiele von Fourier-Reihen 337
16.2Wer war Jean Baptiste Joseph Fourier? 341
16.3Literaturhinweise 344
17 William Rowan Hamilton – ein unglückliches Genie aus Irland 345
17.1Einfach genial: William Rowan Hamilton entdeckt die Quaternionen 348
17.1.1Hamilton findet eine angemessene algebraische Struktur für die komplexen Zahlen 349
17.1.2Hamilton entdeckt die Quaternionen 351
17.2Wer war William Rowan Hamilton? 354
17.3Mit welchen (mathematischen) Themen beschäftigte sich Hamilton außerdem? 356
17.4Literaturhinweise 357
18 Georg Cantor – Erforscher des Unendlichen 359
18.1Einfach genial: Georg Cantor unterscheidet Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit von unendlichen Mengen 360
18.1.1Gleichmächtige unendliche Zahlenmengen 360
18.1.2Mächtigkeit der Menge der rationalen Zahlen 363
18.1.3Mächtigkeit der Menge der algebraischen Zahlen 367
18.1.4Die Überabzählbarkeit der Menge der transzendenten Zahlen 369
18.1.5Die Cantor-Menge 371
18.2Wer war Georg Cantor? 372
18.3Eine Alternative zum ersten Cantor’schen Diagonalverfahren: Der Stern-Brocot-Baum 376
18.4Literaturhinweise 381
Allgemeine Literaturhinweise 383
Stichwortverzeichnis 384