Makro-Mathematik (eBook)

Titelseite 5
Impressum 6
Inhaltsverzeichnis 7
Vorwort 15
Zur Didaktik der Makro-Mathematik 27
1 Algorithmen: Tabelle und Makro 69
1.1 Nullstellsuche via Tabelle 69
1.2 Nullstellen via Makro 72
2 Auf dem Weg zur Kurvendiskussion 75
2.1 Schnitt zweier Geraden 75
2.2 Geradenschnitt algorithmisch 78
2.3 Schnitt von Parabeln 80
2.4 Parabelpaare ohne Schnitt 81
2.5 Kurvenpaare 81
2.6 Algorithmische Funktionen 82
2.7 Kurvendiskussion 85
2.8 Abstand eines Punkts von einem Funktionsgraphen 88
3 Lineare Gleichungssysteme 89
3.1 Gleichungssysteme 89
3.2 Arbeitsblatt 89
3.3 Genauigkeit und Effizienz 91
3.4 Unscharfe Koeffizienten 92
3.5 Matrizeninversion 95
3.6 Formellösung 97
4 Das Leiterproblem 99
4.1 Problemstellung 99
4.2 Schaufigur 100
4.3 Makro-Lösung 101
4.4 Die Leiter-Kiste-Aufgabe 102
4.5 Das Bierdeckelproblem 103
4.6 Die Ziege am Strick 106
4.7 Flächenminimierung 107
4.8 Kugelhalbierung 110
4.9 Das halbvolle Glas 111
4.10 Pi-Berechnung nach Archimedes 112
4.11 Pi-Berechnung nach Cusanus 113
4.12 An der Grenze: Uneigentliche Integrale 114
5 Martin aus PISA 115
5.1 Näherungslösung 115
5.2 Exakte Lösung 116
5.3 Erweiterung des Problems 118
6 Geometrische Optimierung 119
6.1 Synthetische Geometrie und Makro-Geometrie 119
6.2 Philos Gerade 120
6.3 Minimierung im Winkelfeld 122
6.4 Extremale Entfernungen Punkt/Ellipse 123
6.5 Extremale Entfernungssummen/-differenzen 125
6.6 Scharnierquadrate 126
6.7 Der Wassertrog 127
6.8 Die Wasserrinne 129
6.9 Kreisberührungen in drei Punkten 130
6.10 Maximierung eines Dreiecks durch drei Punkte 131
6.11 Maximales Quadrat durch 4 Punkte 132
6.12 Das Regiomontanus-Problem 133
6.13 Dreiecksteilung nach Heron 134
6.14 Überbrückung eines Kreisrings 135
6.15 Vervielfachung eines Quaders 136
6.16 Seifenhautfläche 137
6.17 Kubische Gleichungen: Lills Methode 139
6.18 Höhere Gleichungen: Lills Methode 140
7 Geometrie jenseits von Euklid 141
7.1 Neusis 141
7.2 Würfelverdopplung 143
7.3 Zweifaches geometrisches Mittel 143
7.4 Dreiteilung mit dem Tomahawk 144
7.5 Höhere Vielecke 145
8 Japanische Tempelgeometrie 147
8.1 Sangaku 147
8.2 Kreise in einer Ellipse 148
8.3 Kreise im Dreieck 149
8.4 In Teufels Küche 150
9 Billardprobleme 151
9.1 Billardkugel-Rundtouren im Viereck 151
9.2 Billard-Rundtour: Ein zweiter Blick 153
9.3 Flächenmaximierung zur Rundtour 153
9.4 Alhazens Billard-Problem 154
9.5 Extremale Wege in einer Ellipse 155
9.6 Einlochen auf einem Ellipsentisch 155
9.7 Treffen über Doppeltbande 156
9.8 Lichtdreiecke in Ellipsen 157
10 Gehege-Aufgaben 159
10.1 Flächenmaximierung von Vier- und Fünfecken 159
10.2 Freie Gehege: Sehnenpolygone 160
10.3 Unfreies Gehege 160
11 Extremalprobleme in der Physik 163
11.1 L’Hospitals Gewicht-Aufgabe 163
11.2 L’Hospitals Hintergrund 165
11.3 Lösung per Kräftegleichgewicht 166
11.4 Zwei Gewichte 166
11.5 Massenanziehung 167
11.6 Der Strohhalm im Glas 169
11.7 Spiegelung am Kreis 170
11.8 Laufzeitminimierung 171
11.9 Honigwaben 172
11.10 Segeln hart am Wind 173
11.11 Der Regenbogen 174
12 Optimierung in zwei Variablen 177
12.1 Rundum-Suche 177
12.2 Abstand und Schnitt von Kurven 179
12.3 Gewölbegang 180
12.4 Maximierung eines Dreiecks im Kreis 181
12.5 Kreisberührung nach Apollonius 182
12.6 Der Fermat-Punkt 185
12.7 Drei Gewichte 187
12.8 Brocard-Punkte 189
12.9 Der Lemoine-Punkt 190
12.10 Die Pothenot’sche Aufgabe 191
12.11 Das Riesenrad-Problem 192
12.12 Neusis: Makro-Schachtelung 194
12.13 Das Mesolab des Eratosthenes 194
13 Kinematisch erzeugte Kurven: Die Ophiuride 197
13.1 Erzeugung als Lotfußpunktkurve 197
13.2 Erzeugung als Kissoide 198
13.3 Erzeugung mit Doppelgnomon 199
13.4 Kurvendiskussion: Extrempunkte 200
13.5 Kurvendiskussion: Wendepunkt 200
13.6 Wendepunkt per Makro 202
13.7 Spitzen 203
13.8 Doppelpunkte einer Kurve 204
13.9 Schnittpunkte zweier Kurven 204
14 Algorithmische Geometrie 205
14.1 Torricelli-Punkt: Minimale Entfernungssumme 205
14.2 n-Punkte-Transportprobleme 206
14.3 Waste Dump 207
14.4 Pferchkreis 208
14.5 Rohraufgaben 209
14.6 Minimum Zone Circle 209
14.7 Wandern in einer Hügellandschaft 210
15 Optimierung in drei Variablen 213
15.1 Das Problem von Fagnano 213
15.2 Fagnano-Problem: Klassische Lösung 215
15.3 Fagnano-Problem: Ein zweiter Blick 216
15.4 Zweifachtouren im Dreieck 217
15.5 Extremale Dreiecke - Vorgabe: Kreise für Eckpunkte 217
15.6 Lichtdreiecke 218
15.7 Kanalanbindung 219
16 Anpassungen 221
16.1 Anpassen einer Kette 221
16.2 Logistisches Wachstum 222
16.3 Ortung 224
17 Das Malfatti-Problem 225
17.1 Malfatti-Kreise: Konstruktion 225
17.2 Makros zur Ebenen Geometrie 226
17.3 Malfatti-Kreise per Makro 228
17.4 Die Lösung des Malfatti-Problems 230
17.5 Sonderfall gleichseitiges Dreieck 231
18 Dreiecke 233
18.1 Vorgabe: Seite und zwei Winkelhalbierenden 233
18.2 Vorgabe: Seite, Winkel, Winkelhalbierende 235
18.3 Vorgabe: Höhenabschnitte 236
18.4 Dreieck aus R, ? und A 238
18.5 Gleichschenkliges Dreieck aus Umfang und Inkreis 239
18.6 Dreieck aus a, b und ? 240
18.7 Dreiecke aus Mittelpunktsabständen 241
18.8 Das Dreieck von Calabi 242
19 Optimierung in 4 und 5 Variablen 243
19.1 Laubfegen 243
19.2 Steiner-Netze 244
19.3 Flächenmaximale Vierecke gleichen Umfangs 245
19.4 Bizentrische Vierecke 246
19.5 Übereck-Gehege 247
19.6 Inkreis-Maximierung eines Fünfecks 248
19.7 Briefträger im Fünfeck 249
19.8 Billardtour im Fünfeck 250
20 Drei Probleme aus der Variationsrechnung 251
20.1 Das Brachistochrone-Problem 251
20.2 Lösungsansatz 252
20.3 Minimierung in 5 Variablen 253
20.4 Der Solver 253
20.5 Der klassische Weg 255
20.6 Visualisierung 256
20.7 Das Katenoid als Minimalfläche 257
20.8 Kürzeste Wege 259
20.9 Mehrhaufen-Fegen 261
21 Bogenlänge 263
21.1 Tabelle und Funktionsmakro 263
21.2 Funktioneninversion 265
21.3 Flächenteilung 266
21.4 Wegmarken 268
22 Krümmung 269
22.1 Die Rolle der Krümmung 269
22.2 Die Krümmung eines Funktionsgraphen 270
22.3 Evoluten 271
22.4 Trassierung 272
22.5 Krümmungsextrema 273
23 Kurven 275
23.1 Die Länge eines Kurvenstücks 275
23.2 Die von einer Kurve umrandete Fläche 276
23.3 Die Krümmung einer Kurve 277
23.4 Erzeugung einer Kurve aus ihrer Krümmung 278
23.5 Parallelkurven 280
23.6 Evoluten 281
23.7 Evolventen 282
23.8 Die Evolvente in Betrieb 283
23.9 Lotfußpunktkurven 284
24 Flächendiagramme zu Kurven 285
24.1 Verallgemeinerte Kegelschnitte 285
24.2 Verallgemeinerte Cassini-Kurven 287
24.3 Distanzbereiche einer Kurve 287
24.4 Distanzbereiche zu Relationen 288
24.5 Exkurs: Temperaturverteilung 289
25 Voronoi-Parkette 291
25.1 Grundlage 291
25.2 Gewichtete Voronoi-Diagramme 294
25.3 Diagramme höherer Ordnung 295
25.4 Diagramme zu Linienstücken und Figuren 296
25.5 Voronoi in Natur, Kunst und Design 296
25.6 Voronoi-Test 298
25.7 Exkurs: Voronoi im Raum 299
25.8 Änderung der Metrik 300
25.9 Karlsruhe-Metrik 301
25.10 Nichtmetrische Distanzen 302
26 Analytische Geometrie 303
26.1 Lineare Gebilde im Raum 303
26.2 Funktionsmakros zur Analytischen Geometrie im Raum 306
27 Raumgeometrie 309
27.1 Darstellende Geometrie 309
27.2 Abbildungen 311
27.3 Förderung der Raumgeometrie 312
27.4 Geradenschnittpunkt 314
27.5 Umkreis eines Dreiecks 315
27.6 Minimieren im Raum 316
27.7 Umkugel eines Tetraeders 317
27.8 Umkugel klassisch 319
27.9 Inkugel eines Tetraeders 319
27.10 Minimale Umkegel einer Kugel (Paketlösung) 320
28 Raumgeometrie: Projekte 321
28.1 Bastelbögen 321
28.2 Visualisierung im Raum 322
28.3 Projekt „Höherdimensionale Würfel“ 324
28.4 Projekt „Ikosaeder“ 325
28.5 Projekt „Voronoi-Kugel“ 326
Materialien 331
Lösung der Aufgabe zur Raumgeometrie 331
Klausuraufgabe am Rechner 332
Aufgabe aus dem Zentralabitur: LK Analysis 333
Aufgabe aus dem Zentralabitur: Analytische Geometrie 335
Workshops 337
Workshop „Das Leiterproblem“ 337
Workshop „3D-Drehhaus“ 345
Workshop „Pantopant“ 349
Workshop „TURTLE-Grafik“ 353
Workshop „Fraktale“ 357
Workshop „Projekt Mikado“ 365
Workshop „Permutationen“ 367
Workshop „Backtracking“ 369
Zur Diskussion 373
„Algorithmen“ 373
„Informatik“ 376
„Unterhaltungsmathematik“ 378
„Algorithmische Ansätze in der Kunst“ 379
Übersicht über die Makro-Beispiele 381
Funktionsmakros 381
Prozedurmakros 384
Quellenverzeichnis 385
Druckwerke 385
Dokumente im Netz 397