Was ist Mathematik? (eBook)

Vorwort zur vierten Ausgabe 6
Vorwort zur etsten deutschen Ausgabe 8
Vorwort zur zweiten deutschen Ausgabe 9
Ratschlage fur die Leser 10
Inhaltsverzeichnis 11
Was ist Mathematik? 17
Erstes Kapitel Die natiirlichen Zahlen Einleitung 21
§ 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen 21
1. Gesetze der Arithmetik 21
2. Die Darstellung der positiven ganzen Zahlen 24
3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen 26
* § 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems Mathematische Induktion 28
1. Das Prinzip der mathematischen Induktion 28
2. Die arithmetische Reihe 30
3. Die geometrische Reihe 31
4. Die Summe der ersten n Quadrate 32
*5. Eine wichtige Ungleichung1 33
*6. Der binomische Satz 33
*7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion 35
Erganzung zu Kapitel I Zahlentheorie Einleitung 37
§ 1. Die Primzahlen 37
1. Grundtatsachen 37
2. Die Verteilung der PrimzahIen 40
§ 2. Kongruenzen 46
1. Grundbegriffe 46
2. Der kleine Fermatsche Satz 50
3. Quadratische Reste 51
§ 3. Pythagoreische Zahlen und groBer Fermatscher Satz 52
§ 4. Det euklidische Algorithmus 54
1. Die allgemeine Theorie 54
2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der Arithmetik 58
3. EULERs 9l-FUnktion. NochmaIs kleiner Fermaischer Satz 59
4. Kettenbriiche. Diophantische Gleichungen 60
Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik Einleitung 62
§ 1. Die rationalen Zahlen 62
1. Messen und Zihlen 62
2. Die innere Notwencligkeit der rationalen Zahlen Das Prinzip der Verallgemeinerung 64
3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen 66
§ 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 67
1. Einleitung 67
2. UnendHche Dezimalbriiche 69
3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen 71
4. Rationale Zahlen und perioclische Dezimalbriiche 74
5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschacbtelungen 75
*6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte 77
§ 3. Bemerkungen liber analytische Geometrie* 78
1. Das Grundprinzip 78
*2. Gleichungen von Geraden und Kurven 79
§ 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen 82
1. Grundbegriffe 82
2. Die Abziihlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabziihlbarkeit des Kontinuums 83
3. CANTORs "Kardinalzahlen" 87
4. Die indirekte Beweismethode 88
5. Die Paradoxien des Unendlichen 89
6. Die Grundlagen der Mathematik 90
§ 5. Komplexe Zahlen 91
1. Der Ursprung der komplexen Zablen 91
2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen 94
3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln 98
*4. Der Fundamentalsatz der Algebra 100
*§ 6. Algebraische und transzendente Zahlen 102
1. Definition und Existenz 102
**2. Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen 103
Erganzung zu Kapitel II Mengenalgebra (Boolesche Algebra) 106
1. Allgemeine Theorie 106
2. Anwendung auf die mathematische Logik 109
3. Eine Anwendung auf die WahrscheinIichkeitsrechnung 111
Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper Einleitung 113
I. Teil Unmoglichkeitsbeweise und Algebra 115
§ 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen 115
1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln 115
2. RegelmiUSige Vielecke 117
*3. Das Problem des APoLLoNlUs 119
* § 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkorper 121
1. Allgemeine Theorie 121
2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch 126
*§ 3. Die Unlosbarkeit der drei griechischen Probleme 127
1. Verdoppelung des Wiirfels 127
2. Ein Satz tiber kubische Gleichungen 128
3. Wiukeldreitellung 129
4. Das regelmia8ige Siebeneck 131
II. Teil Verschiedene Konsttuktionsmethoden 132
§ 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion 132
1. Allgemeine Bemerkungen 132
2. Eigenschaften der Inversion 133
3. Geometriscbe Konstruktion inverser Punkte 135
4. Halbierung emer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktesmit dem Zirkel allein 136
§ 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein 137
*1. Eine klassische Konstruktuion zur Verdoppelung des Wurfels 137
2. Beschrinkung auf die Benutzung des Zirkels allein 137
3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten.Mechanische Kurven. Zykloiden 141
*4. Gelenkmechanismen. PEAUCELLlER8 und HART8 Inversoren 143
§ 6. Weiteres liber die Inversion und ihre Anwendungen 145
1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen 145
2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS 147
*3. Mehrfache Reflexionen 148
Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik.Nichteuklidische Geometrien 150
§ 1. Einleitung 150
1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen 150
2. Projektive Transformationen 151
§ 2. Grundlegende Begriffe 152
1. Die Gruppe der projektiven Transformationen 152
2. Der Satz von DESARGUES 154
§ 3. Das Doppelverhaltnis 155
1. Definition und Beweis der Invarianz 155
2. Anwendung auf das vollstandige Vierseit 159
§ 4. Parallelitat und Unendlichkeit 160
1. Unendlich feme Punkte aIs "uneigentliche Punktelt" 160
2. Uneigentliche Elemente und Projektion 163
3. Doppelverhiiltnisse mit unenjlich femen Elementen 164
§ 5. Anwendungen 164
1. Vorbereitende Bemerkungen 164
2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene 165
3. Der PascaIsche Satz1 166
4. Der Satz von Brianchon 167
5. Das Dualitatsprinzip 167
§ 6. Analytische Darstellung 168
1. Einleitende Bemerkungen 168
*2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitat 169
§ 7. Aufgaben uber Konstruktionen mit dem Lineal allein 172
§ 8. Kegelschnitte und FIachen zweiter Ordnung 173
1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte 173
2. Projektive Eigenschaften der KegeIschnitte 176
3. Kegelschnitte aIs Hiillkurven 178
4. Pascals und Brianchons allgemeine Sitze fUr Kegelschnitte 181
5. Das Hyperboloid 182
§ 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie 183
1. Die axiomatische Methode 183
2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie 186
3. Geometrie und Wirklichkeit 190
4. POINCARi8 Modell 191
5. Elliptiscbe oder Riemannsebe Geometrie 192
Anhang* Geometrie in mehr als drei Dimensionen 194
1. Einleitung 194
2. Die analytische Definition 194
*3. Die geometrische oder kombinatorische Definition 196
Fünftes Kapitel Topologie Einleitung 200
§ 1. Die Eulersche Polyederformel 201
§ 2. Topologische Eigenschaften von Figuren 204
1. Topologische Eigenschaften 204
2. Zusammenhang 205
§ 3. Andere Beispiele topologischer Satze 206
1. Der Jordansche Kurvensatz 206
2. Das Vierfarbenproblem 208
*3. Der Begriff der Dimension 209
*4. Ein Fixpunktsatz 212
5. Knoten 215
§ 4. Topologische Klassifikation der Flichen 215
1. Das Geschlecht einer Fliche 215
*2. Die Eulersche Charakteristik einer Flache 217
3. Einseitige Fllchen 218
Anhang 220
*1. Der FiinHarbensatz 220
2. Der Jordansche Kurvensatz fUr Polygone 222
**3. Der Fundamentalsatz der Algebra 224
Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte Einleitung 227
§ 1. Variable und Funktion 228
1. Definitionen und Beispiele 228
2. Das Bogenma8 eines Winkels 231
3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen 232
4. Zusammengesetzte Funktionen 234
*6. Funktionen von mehreren VerinderHchen 237
*7. Funktionen und Transformationen 239
§ 2. Gremzwerte 240
1. Der Grenzwert einer Folge an 240
2. Monotone Folgen 244
3. Die Eulersche Zahl e 246
4. Die Zahl :c 247
*5. Kettenbriiche 249
§ 3. Grenzwerte bei stetiger Anniherung 251
1. Einleitung. Allgemeine Definition 251
2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes 252
3. Der Grenzwert von --: -
4. Grenzwerte fUr x -+ 00 255
§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit 256
§ 5. Zwei grundlegende Sitze liber stetige Funktionen 257
1. Der Satz von BOLZANO 257
*2. Beweis des Bolzanoschen Satzes 258
*3. Der Satz von WEIERSTRASS tiber Extremwerte 259
*4. Ein Satz tiber ZahlenfoIgen. Kompakte Hengen 260
§ 6. Einige Anwendungen des Satzes von BOLZANO 261
1. Geometrische Anwendungen 261
*2. Anwendung auf em mechanisches Problem 263
Erganzung zum Kapitel VI Weitere Beispiele für Grenzwerte und Stetigkeit 265
§ 1. Beispiele von Grenzwerten 265
1. Allgemeine Bemerkungen 265
2. Der Grenzwert von qn 265
3. Der Grenzwert von iiP 266
4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen 267
*'5. Grenzwerle durch Iteration 268
§ 2. Ein Beispiel fUr Stetigkeit 269
Siebentes Kapitel Maxima und Minima Einleitung 271
§ 1. Probleme aus der elementaren Geometrie 272
1. Die maximale Flache eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten 272
2. Der Satz des HERON. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen 272
3. Anwendungen auf Probleme fUr Dreiecke 273
4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel Entsprechende Extremaleigenschaften 274
*5. Extremale Abstiinde von einer gegebenen Kurve 276
*§ 2. Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen 278
1. Das Prinzip 278
2. Beispiele 279
§ 3. Stationire Punkte und Differentialrechnung 280
1. Extremwerte und stationiire Punkte 280
2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabeln. Sattelpunkte 281
3. Minimupunkte und Topologie 282
4. Der Abstand eines Punktes von einer Flkhe 283
§ 4. Das Schw8nsche Dreiecksproblem 284
1. Det Schwarzsche Spiegelungsbeweis 284
2. Ein zweiter Beweis 285
3. StumpfwinkJige Dreiecke 287
4. Dreiecke aus Lichtstrahlen 287
*5. Bemerkungen tiber Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung 288
§ 5. Das Steinersche Problem 289
1. Das Problem und seine LOsung 289
2. Diskussion der beiden Altemativen 290
3. Ein komplementares Problem 292
4. Bemerkungen und Ubungen 292
5. Verallgemeinerung auf das StraBennetz-Problem 293
§ 6. Extrema und Ungleichungen 294
1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver GroBen 294
2. VeraIlgemeinerung auf n Variable 295
3. Die Methode der kleinsten Quadrate 296
§ 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip 297
1. Allgemeine Bemerkungen 297
2. Beispiele 299
3. Elementare Extremalprobleme 300
4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen 302
§ 8. Das isoperimetrische Problem 303
*§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen Zusammenhang zwischen dem Steinerschen Problem und dem isoperimetrischen Problem 305
§ 10. Die Variationsrechnung 308
1. Einleitung 308
2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik 309
3. BERNOULLI8 Behancllung des Problems der Brachystochrone 310
4. Geodatische Linien auf einer Kugel. Geodatische Linien und Maxi-Minima 311
§ 11. Experimentelle Losungen von Minimumproblemen Seifenhautexperimente 312
1. Einfiibrung 312
2. Seifenhautexperimente 313
3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem 314
4. Experimentelle LOsungen anderer mathematischer Probleme 317
Achtes Kapitel Die Infinitesimalrechnung Einleitung 322
§ 1. Das Integral 323
1. Der Flacheninhalt als Grenzwert 323
2. Das Integral 324
3. Allgemeine Bemerkoogen zum Integralbegriff. Endgiiltige Definition 327
4. Beispiele. Integration von xn 328
5. Regeln der Integralrecbnung 332
§ 2. Die Ableitung 335
1. Die Ableitung als Steigung 335
2. Die Ableitung als Grenzwert 336
3. Beispiele 337
4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen 340
*5. DiHerentiation und Stetigkeit 340
6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung 341
7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung 343
8. Maxima und Minima 344
§ 3. Die Technik des Differenzierens 344
§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das "Unendlich Kleine" 349
§ 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 351
1. Der Fundamentalsatz 351
2. Erste AnwendUDgen. Integration von xr, cos x, sin x, arc tan x 354
3. Die Leibnizsche Forme. fUr n 356
§ 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmu8 357
1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl 8 357
2. Die Exponentialfunktion 359
3. Differentiationsformeln fUr ex, ax, x8 361
4. Explizite Auschiicke rur e, ex und In x als Limites 362
5. Unendliche Reihen fiir den Logarithmus. Numerische Berechnung 364
§ 7. DiHerentialgleichungen 366
1. Definition 366
2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion Radioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins 366
3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen 369
4. Newtons Grundgesetz der Dynamik 371
Erganzung zu Kapitel VIII 373
§ 1. GrundsitzUche Fragen 373
1. Differenzierbarkeit 373
2. Das Integral 375
§ 2. Grooenordnungen 378
1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x 378
2. Die Groobenorclnung von In (n!) 380
§ 3. Unendliche Reihen und Produkte 381
1. Unendliche Reihen von Funktionen 381
2. Die Eulenche Formelcos:t + sin:t = "III
3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fUr den Sinus 387
**§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden 389
Anhang 393
Erganzungen, Probleme und Vbungsaufgaben 393
Arithmetik und Algebra 393
Analytische Geometrie 394
Geometrische Koustruldionen 399
Projektive und nichteuklidische Geometrie 400
Topologie 401
Maxima und Minima 404
Infinitesimalrechnung 406
Integrationstechnik 408
Hinweise auf weiterfiihrende Literatur 412
Kapitel I 412
Kapitel lI 412
Kapitel III 412
Kapitel IV 413
Kapitel V 413
Kapitel VI 413
Kapitel VII 413
Kapitel VIII 413
Sachvetzeichnis 414