Analysis II (eBook)

Vorwort 6
Inhaltsverzeichnis 8
Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen 14
1 Sprungstetige Funktionen 17
Treppen- und sprungstetige Funktionen 17
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen 19
Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen 20
2 Stetige Erweiterungen 23
Der Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen 23
Beschränkte lineare Operatoren 25
Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren 28
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral 30
Das Integral für Treppenfunktionen 30
Das Integral für sprungstetige Funktionen 32
Riemannsche Summen 33
4 Eigenschaften des Integrals 39
Integration von Funktionenfolgen 39
Das orientierte Integral 40
Positivität und Monotonie des Integrals 41
Komponentenweise Integration 44
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 45
Das unbestimmte Integral 46
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung 48
5 Die Technik des Integrierens 52
Variablensubstitution 52
Partielle Integration 54
Die Integration rationaler Funktionen 57
6 Summen und Integrale 64
Die Bernoullischen Zahlen 64
Rekursionsformeln 66
Die Bernoullischen Polynome 67
Die Euler-Maclaurinsche Summenformel 68
Potenzsummen 70
Asymptotische Äquivalenz 71
Die Riemannsche .-Funktion 73
Die Sehnentrapezregel 78
7 Fourierreihen 82
Das L2-Skalarprodukt 82
Die Approximation im quadratischen Mittel 84
Orthonormalsysteme 86
Die Integration periodischer Funktionen 87
Fourierkoeffizienten 88
Klassische Fourierreihen 89
Die Besselsche Ungleichung 93
Vollständige Orthonormalsysteme 94
Stückweise stetig differenzierbare Funktionen 97
Gleichmäßige Konvergenz 98
8 Uneigentliche Integrale 105
Zulässige Funktionen 105
Uneigentliche Integrale 105
Der Integralvergleichssatz für Reihen 108
Absolut konvergente Integrale 109
Das Majorantenkriterium 110
9 Die Gammafunktion 114
Die Eulersche Integraldarstellung 114
Die Gammafunktion auf C/( N) 115
Die Gaußsche Darstellung 116
Die Ergänzungsformel 120
Die logarithmische Konvexität der Gammafunktion 121
Die Stirlingsche Formel 124
Das Eulersche Betaintegral 127
Kapitel VII Differentialrechnung mehrerer Variabler 132
1 Stetige lineare Abbildungen 135
Die Vollständigkeit von L(E,F) 135
Endlichdimensionale Banachräume 136
Matrixdarstellungen 140
Die Exponentialabbildung 142
Lineare Differentialgleichungen 145
Das Gronwallsche Lemma 147
Die Variation-der-Konstanten-Formel 149
Determinanten und Eigenwerte 151
Fundamentalmatrizen 154
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 158
2 Differenzierbarkeit 167
Die Definition 167
Die Ableitung 168
Richtungsableitungen 170
Partielle Ableitungen 172
Die Jacobimatrix 174
Ein Differenzierbarkeitskriterium 174
Der Rieszsche Darstellungssatz 176
Der Gradient 178
Komplexe Differenzierbarkeit 180
3 Rechenregeln 185
Linearität 185
Die Kettenregel 185
Die Produktregel 188
Mittelwertsätze 188
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen 190
Notwendige Bedingungen für lokale Extrema 190
4 Multilineare Abbildungen 193
Stetige multilineare Abbildungen 193
Der kanonische Isomorphismus 195
Symmetrische multilineare Abbildungen 197
Die Ableitung multilinearer Abbildungen 197
5 Höhere Ableitungen 201
Definitionen 201
Partielle Ableitungen höherer Ordnung 204
Die Kettenregel 206
Taylorsche Formeln 206
Funktionen von m Variablen 208
Hinreichende Kriterien für lokale Extrema 209
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung 217
Nemytskiioperatoren 217
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren 218
Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren 219
Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen 222
Variationsprobleme 224
Die Euler-Lagrangesche Gleichung 226
Klassische Mechanik 230
7 Umkehrabbildungen 234
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen 234
Der Satz über die Umkehrabbildung 236
Diffeomorphismen 239
Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme 240
8 Implizite Funktionen 243
Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen 243
Der Satz über implizite Funktionen 245
Reguläre Werte 248
Gewöhnliche Differentialgleichungen 249
Separation der Variablen 251
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit 255
Der Satz von Picard-Lindelöf 257
9 Mannigfaltigkeiten 265
Untermannigfaltigkeiten des Rn 265
Graphen 266
Der Satz vom regulären Wert 266
Der Immersionssatz 268
Einbettungen 270
Lokale Karten und Parametrisierungen 275
Kartenwechsel 278
10 Tangenten und Normalen 283
Das Tangential in Rn 283
Der Tangentialraum 284
Charakterisierungen des Tangentialraumes 288
Differenzierbare Abbildungen 289
Das Differential und der Gradient 292
Normalen 294
Extrema mit Nebenbedingungen 295
Anwendungen der Lagrangeschen Multiplikatorenregel 296
Kapitel VIII Kurvenintegrale 302
1 Kurven und ihre Länge 304
Die totale Variation 304
Rektifizierbare Wege 304
Differenzierbare Kurven 307
Rektifizierbare Kurven 310
2 Kurven in Rn 315
Tangenteneinheitsvektoren 315
Parametrisierungen nach der Bogenlänge 316
Orientierte Basen 317
Das Frenetsche n-Bein 318
Die Krümmung ebener Kurven 321
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen 323
Krümmungskreise und Evoluten 324
Das Vektorprodukt 325
Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven 327
3 PfaffscheFormen 331
Vektorfelder und Pfaffsche Formen 331
Die kanonischen Basen 333
Exakte Formen und Gradientenfelder 335
Das Poincarésche Lemma 338
Duale Operatoren 340
Transformationsregeln 341
Moduln 345
4 Kurvenintegrale 350
Die Definition 350
Elementare Eigenschaften 352
Der Hauptsatz über Kurvenintegrale 354
Einfach zusammenhängende Mengen 356
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals 357
5 Holomorphe Funktionen 364
Komplexe Kurvenintegrale 364
Holomorphie 367
Der Cauchysche Integralsatz 368
Die Orientierung der Kreislinie 370
Die Cauchysche Integralformel 370
Analytische Funktionen 372
Der Satz von Liouville 374
Die Fresnelschen Integrale 374
Das Maximumprinzip 376
Harmonische Funktionen 377
Der Satz von Goursat 379
Der Weierstraßsche Konvergenzsatz 382
6 Meromorphe Funktionen 386
Die Laurentsche Entwicklung 386
Hebbare Singularitäten 390
Isolierte Singularitäten 390
Einfache Pole 394
Die Windungszahl 396
Die Stetigkeit der Umlaufzahl 400
Der allgemeine Cauchysche Integralsatz 402
Der Residuensatz 404
Fourierintegrale 405
Literaturverzeichnis 414
Index 416

Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen (S. 1-2)

Das Konzept des Integrals ist eng mit dem Problem der Bestimmung von Flächeninhalten ebener Figuren verknüpft. Hierbei ist es naheliegend, komplizierte geometrische Gebilde durch einfachere zu approximieren, deren Flächenbestimmung mittels unmittelbar einsichtiger Regeln leicht durchgef¨uhrt werden kann. In der Praxis bedeutet dies, daß krummlinige Bereiche durch Vereinigungen von Rechtecksachen angenähert werden. Der Inhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlängen. Da es anschaulich evident ist, daß sich der Inhalt von Vereinigungen von disjunkten Rechtecksflächen additiv verhält, kann man leicht einen plausiblen Kalkül zur näherungsweisen Flächenberechnung ebener Figuren entwickeln. Eine mathematisch befriedigende Präzisierung dieser anschaulichen Betrachtungen ist erstaunlich subtil.

Dies rührt insbesondere daher, daß es eine Vielzahl von Möglichkeiten gibt, mittels derer eine krummlinige ebene Figur durch Vereinigungen von disjunkten Rechtecksflächen approximiert werden kann. Dabei ist es keinesfalls selbstverständlich, daß sie alle zum selben Resultat führen. Aus diesem Grunde werden wir die allgemeine Theorie des Messens von Flächen- und Rauminhalten, die "Maßtheorie", erst im dritten Band behandeln. In diesem Kapitel beschränken wir uns auf den einfacheren Fall der Bestimmung der Fläche zwischen dem Graphen einer genügend regulären Funktion einer Variablen und der entsprechenden Abszisse.

Wenn wir hier die Approximation durch achsenparallele Rechtecksflächen zugrunde legen, sehen wir, daß dies darauf hinausläuft, die betrachtete Funktion durch Treppenfunktionen, d.h. Abbildungen, die stückweise konstant sind, anzunähern. Es zeigt sich nun, daß diese Approximationsidee äußerst flexibel und von ihrer ursprünglichen geometrischen Motivation unabhängig ist. Auf diese Weise werden wir zu einem Integralbegriff geführt, der auf eine große Klasse vektorwertiger Funktionen einer reellen Variablen anwendbar ist. Zur genauen Bestimmung der Klasse der Funktionen, denen wir ein Integral zuordnen können, müssen wir untersuchen, welche Funktionen durch Treppenfunktionen approximiert werden können.

Wenn wir dabei die Supremumsnorm zugrunde legen, d.h. eine gegebene Funktion gleichm ßig auf dem gesamten Intervall durch Treppenfunktionen approximieren, werden wir zu den sprungstetigen Funktionen geführt. Dem Studium dieser Funktionenklasse ist der erste Paragraph gewidmet. Wir werden sehen, daß das Integral eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der Treppenfunktionen ist. Es stellt sich dann das Problem, diesen Integralbegriff so auf den Raum der sprungstetigen Funktionen zu erweitern, daß die elementaren Eigenschaften, insbesondere die Linearität, erhalten bleiben.

Diese Aufgabe erweist sich als ein Spezialfall der allgemeineren Fragestellung nach der eindeutigen Fortsetzbarkeit stetiger Abbildungen. Da das Fortsetzungsproblem von übergeordneter Bedeutung ist und überall in der Mathematik auftritt, diskutieren wir es eingehend in Paragraph 2. Aus dem fundamentalen Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Abbildungen leiten wir den Satz über die stetige Fortsetzung stetiger linearer Abbildungen ab. Dies gibt uns Gelegenheit, die wichtigen Begriffe des beschränkten linearen Operators und der Operatornorm einzuführen, welche in der modernen Analysis eine grundlegende Rolle spielen.