Grundwissen Mathematikstudium

PD Dr. Tilo Arens und PD Dr. Frank Hettlich sind beide als Dozenten an der Fakultät für Mathematik des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) tätig.

Dr. Rolf Busam ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg, hält dort seit langen Jahren die Analysis-Vorlesungen und ist mitverantwortlich für die Lehrerausbildung.

Dr. Christian Karpfinger ist Professor an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel ist emeritierter Professor für Geometrie an der Technischen Universität Wien und kann auf eine mehr als 40-jährige Lehrtätigkeit verweisen.

Vorwort
1 Was ist Mathematik und was tun Mathematiker?- 2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik
2.1 Junktoren und Quantoren
2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre
2.3 Abbildungen
2.4 Relationen
Zusammenfassung
Aufgaben
3 Algebraische Strukturen - ein Blick hinter die Rechenregeln
3.1 Gruppen
3.2 Homomorphismen
3.3 Körper
3.4 Ringe
Zusammenfassung
Aufgaben
4 Zahlbereiche - Basis nicht nur der Analysis
4.1 Reelle Zahlen
4.2 Körperaxiome für die reellen Zahlen
4.3 Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen
4.4 Ein Vollständigkeitsaxiom für die reellen Zahlen
4.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
4.6 Ganze Zahlen und rationale Zahlen
4.7 Komplexe Zahlen: Ihre Arithmetik und Geometrie
Zusammenfassung
Aufgaben
5 Lineare Gleichungssysteme - ein Tor zur linearen Algebra
5.1 Erste Lösungsversuche
5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan
5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung
Zusammenfassung
Aufgaben
6 Vektorräume - von Basen und Dimensionen
6.1 Der Vektorraumbegriff
6.2 Beispiele von Vektorräumen
6.3 Untervektorräume
6.4 Basis und Dimension
6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorräumen
Zusammenfassung
Aufgaben
7 Analytische Geometrie - Rechnen statt Zeichnen
7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum
7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum
7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum
7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen
Zusammenfassung
Aufgaben
8 Folgen - der Weg ins Unendliche
8.1 Der Begriff einer Folge
8.2 Konvergenz
8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen
Zusammenfassung
Aufgaben
9 Funktionen und Stetigkeit - trifft auf d
9.1 Grundlegendes zu Funktionen
9.2 Beschränkte und monotone Funktionen
9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit
9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen
9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz
Zusammenfassung
Aufgaben
10 Reihen - Summieren bis zum Letzten
10.1 Motivation und Definition
10.2 Kriterien für Konvergenz
10.3 Absolute Konvergenz
10.4 Kriterien für absolute Konvergenz
Zusammenfassung
Aufgaben
11 Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen
11.1 Definition und Grundlagen
11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen
11.3 Die Exponentialfunktion
11.4 Trigonometrische Funktionen
11.5 Der Logarithmus
Zusammenfassung
Aufgaben
12 Lineare Abbildungen und Matrizen - Brücken zwischen Vektorräumen
12.1 Definition und Beispiele
12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen
12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel
12.4 Darstellungsmatrizen
12.5 Das Produkt von Matrizen
12.6 Das Invertieren von Matrizen
12.7 Elementarmatrizen
12.8 Basistransformation
12.9 Der Dualraum
Zusammenfassung
Aufgaben
<13 Determinanten - Kenngrößen von Matrizen
13.1 Die Definition der Determinante
13.2 Determinanten von Endomorphismen
13.3 Berechnung der Determinante
13.4 Anwendungen der Determinante
Zusammenfassung
Aufgaben
14 Normalformen - Diagonalisieren und Triangulieren
14.1 Diagonalisierbarkeit
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren
14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren
14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit
14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen
14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen
14.7 Die Jordan-Normalform
14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis
Zusammenfassung
Aufgaben
15 Differenzialrechnung - die Linearisierung von Funktionen
15.1 Die Ableitung
15.2 Differenziationsregeln
15.3 Der Mittelwertsatz
15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen
15.5 Taylorreihen
Zusammenfassung
Aufgaben
16 Integrale - von lokal zu global
16.1 Integration von Treppenfunktionen
16.2 Das Lebesgue-Integral
16.3 Stammfunktionen
16.4 Integrationstechniken
16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen
16.6 Parameterabhängige Integrale
16.7 Weitere Integrationsbegriffe
Zusammenfassung
Aufgaben
17 Euklidische und unitäre Vektorräume - orthogonales Diagonalisieren
17.1 Euklidische Vektorräume
17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität
17.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente
17.4 Unitäre Vektorräume
17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen
17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen
17.7 Normale Endomorphismen
Zusammenfassung
Aufgaben
18 Quadriken - vielseitig nutzbare Punktmengen
18.1 Symmetrische Bilinearformen
18.2 Hermitesche Sesquilinearformen
18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation
18.4 Die Singulärwertzerlegung
18.5 Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung
Zusammenfassung
Aufgaben
19 Funktionenräume - Analysis und lineare Algebra Hand in Hand
19.1 Metrische Räume und ihre Topologie, normierte Räume
19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen
19.3 Kompaktheit
19.4 Zusammenhangsbegriffe
19.5 Vollständigkeit
19.6 Banach- und Hilberträume
Zusammenfassung
Aufgaben
20 Differenzialgleichungen - Funktionen sind gesucht
20.1 Begriffsbildungen
20.2 Elementare analytische Techniken
20.3 Existenz und Eindeutigkeit
20.4 Grundlegende numerische Verfahren
Zusammenfassung
Aufgaben
21 Funktionen mehrerer Variablen - Differenzieren im Raum
21.1 Einführung
21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle Differenzierbarkeit
21.3 Differenziationsregeln
21.4 Mittelwertsätze und Schranksätze
21.5 Höhere partielle Ableitungen und der der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz
21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema
21.7 Der Lokale Umkehrsatz
21.8 Der Satz über implizite Funktionen
Zusammenfassung
Aufgaben
22 Gebietsintegrale - das Ausmessen von Mengen
22.1 Definition und Eigenschaften
22.2 Die Berechnung von Integralen
22.3 Die Transformationsformel
22.4 Wichtige Koordinatensysteme
Zusammenfassung
Aufgaben
23 Vektoranalysis - im Zentrum steht der Gauß'sche Satz
23.1 Kurven und Kurvenintegrale
23.2 Flächen und Flächenintegrale
23.3 Der Gauß'sche Satz
Zusammenfassung
Aufgaben
24 Optimierung - ein sehr generelles Problem
24.1 Lineare Optimierung
24.2 Das Simplex-Verfahren
24.3 Dualitätstheorie
Zusammenfassung
Aufgaben
25 Elementare Zahlentheorie - Teiler und Vielfache
25.1 Teilbarkeit
25.2 Der euklidische Algorithmus
25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik
25.4 ggT und kgV
25.5 Zahlentheoretische Funktionen
25.6 Rechnen mit Kongruenzen
Zusammenfassung
Aufgaben
26 Elemente der diskreten Mathematik - die Kunst des Zählens
26.1 Einführung in die Graphentheorie
26.2 Einführung in die Kombinatorik
26.3 Erzeugende Funktionen
Zusammenfassung
Aufgaben
Hinweise zu den Aufgaben
Lösungen zu den Aufgaben
Symbolglossar
Index.