Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen (eBook)

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Hans-Jürgen Reinhardt, University of Siegen, Germany.

Hans-Jürgen Reinhardt, Universität Siegen.

Vorwort zur zweiten Auflage 5
Vorwort zur ersten Auflage 6
1 Einleitung: Beispiele und Anwendungen 13
1.1 Anfangswertprobleme 13
1.2 Randwertprobleme 16
I Ein- und Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben 21
2 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 24
2.1 Definition des Verfahrens 24
2.2 Konsistenz 29
2.2.1 Konsistenzbedingungen 29
2.2.2 Konsistenz spezieller Verfahren 31
2.3 Die Methode der Taylor-Entwicklung 36
2.4 Runge-Kutta-Formeln 39
2.5 Implizite Runge-Kutta-Formeln 46
2.6 Konvergenz 53
2.7 Stabilität 57
2.8 Adaptive Schrittweitenkontrolle 60
2.9 Steife Differentialgleichungen 62
2.9.1 Stabilität und Steifheit von Differentialgleichungen 63
2.9.2 Einseitige Lipschitz-Bedingung und steife Differentialgleichungssysteme 70
2.9.3 Stabilitätsbedingungen für Einschrittverfahren 74
2.10 Unstetige Galerkin-Verfahren 82
2.10.1 Variationelle Formulierung 83
2.10.2 Galerkin-Approximation und Galerkin-Orthogonalität 84
2.10.3 Fehlerabschätzungen und Schrittweitenkontrolle 87
3 Mehrschrittverfahren für Anfangswertaufgaben 91
3.1 Definition des Verfahrens 91
3.2 Konsistenz von Mehrschrittverfahren 103
3.3 Stabilität und Konvergenz 116
3.4 Charakterisierung der Lipschitz-Stabilität. Die Wurzelbedingung 120
II Näherungsverfahren für Randwertprobleme 131
4 Schießverfahren für Randwertprobleme 134
4.1 Das einfache Schießverfahren für lineare Randwertprobleme 134
4.2 Das einfache Schießverfahren für nichtlineare Randwertprobleme 140
4.3 Die Mehrzielmethode 142
5 Differenzenverfahren für Randwertprobleme 146
5.1 Singulär gestörte (gewöhnliche) Differentialgleichungen 146
5.2 Differenzenapproximationen für lineare gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung 149
5.3 Stabilität und Konvergenz mit Maximumprinzipien 152
5.4 Stabilität und Konvergenz mithilfe von Kompaktheitsmethoden 157
5.5 Differenzenapproximationen für nichtlineare Randwertprobleme 163
6 Differenzenapproximationen für Randwertprobleme durch Variationsmethoden 171
6.1 Variationelle Formulierung eines eindimensionalen Modellproblems 171
6.2 Die einfachste Finite-Elemente-Methode für das Modellproblem 175
6.3 Erste Fehlerabschätzungen 178
6.4 Galerkin-Verfahren für nichtlineare Probleme 188
7 Kollokationsverfahren 191
7.1 Lineare Randwertprobleme m-ter Ordnung 191
7.2 Praktische Aspekte des Kollokationsverfahrens 195
8 Adaptive Gitter für Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen 198
8.1 Differenzenapproximationen auf nichtäquidistanten Gittern 198
8.2 Interpolationsfehlerindikatoren 199
8.3 Residuen-Schätzer 201
8.4 Gitterverteilungsfunktionen 202
III Anhang 207
A Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen 209
A.1 Klassifikation gewöhnlicher Differentialgleichungen 210
A.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertproblemen 212
A.3 Lineare Differentialgleichungen 214
A.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten 218
A.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 219
A.6 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 223
A.7 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung 226
B Theoretische Übungsaufgaben mit Musterlösungen 232
C Praktische Übungsaufgaben mit Musterlösungen 267
Literaturverzeichnis 295
Abbildungsverzeichnis 299
Tabellenverzeichnis 301
Index 303

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"The author gives a highly readable survey of theoretical and practical aspects of the numerical solution of both initial and boundary value problems for ordinary differential equations. ... Numerous numerical examples illustrate the
concepts treated in each chapter of the book."
Othmar Koch, Zentralblatt MATH