Lineare Algebra

Prof. Dr. Karl Strambach ist seit 1972 ordentlicher Professor an der Universität Erlangen. Nach seiner Habilitation arbeitete er zunächst als Universitätsdozent und Wissenschaftlicher Rat an der Universität Tübingen sowie als Professor an der Universität Kiel. 2007 wurde ihm vonder Universität Debrecen die Ehrendoktorwürde verliehen.

Prof. Dr. Helmut Völklein ist seit 2004 Inhaber einer C4-Professur am Institut für Experimentelle Mathematik der Universität Essen. Nach dem Studium der Mathematik und Informatik an der Universität Erlangen und der University of California, Berkeley, folgten 1983 die Promotion und 1987 die Habilitation. Von 1996-2004 war Helmut Völklein Full Professor an der University of Florida.

1;Vorwort;6
2;Inhaltsverzeichnis;10
3;Lineare Gleichungssysteme und Matrizen;18
3.1;1 Der Begriff des Körpers;20
3.1.1;1.1 Mengen;20
3.1.2;1.2 Körperaxiome;20
3.1.3;1.3 Grundlegende Eigenschaften von Körpern;22
3.1.4;1.4 Teilkörper;24
3.1.5;1.5 Aufgaben;25
3.2;2 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen;26
3.2.1;2.1 Lineare Gleichungssysteme;26
3.2.2;2.2 Matrizen, Transponierte, Zeilen- und Spaltenvektoren;27
3.2.3;2.3 Lösungen und Äquivalenz von Gleichungssystemen;28
3.2.4;2.4 Aufgaben;29
3.3;3 Der Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme;30
3.3.1;3.1 Matrizen in Treppenform;30
3.3.2;3.2 Lösungen eines Gleichungssystems in reduzierter Treppenform;32
3.3.3;3.3 Elementare Zeilenumformungen;33
3.3.4;3.4 Transformation auf reduzierte Treppenform;34
3.3.5;3.5 Die Struktur des Lösungsraums;35
3.3.6;3.6 Eindeutig lösbare Gleichungssysteme und invertierbare Matrizen;38
3.3.7;3.7 Aufgaben;40
3.4;4 Multiplikation von Matrizen;42
3.4.1;4.1 Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor;42
3.4.2;4.2 Iterierte Multiplikationen und lineare Substitutionen;43
3.4.3;4.3 Allgemeine Definition der Matrizenmultiplikation;44
3.4.4;4.4 Die Inverse einer Matrix;45
3.4.5;4.5 Geometrische Interpretation;47
3.4.6;4.6 Aufgaben;50
4;Vektorräume und lineare Abbildungen;52
4.1;5 Gruppen, Ringe und Vektorräume;54
4.1.1;5.1 Gruppen;54
4.1.2;5.2 Ringe;55
4.1.3;5.3 Vektorräume;57
4.1.4;5.4 Aufgaben;60
4.2;6 Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension;62
4.2.1;6.1 Lineare Unabhängigkeit und Basen für allgemeine Vektorräume;62
4.2.2;6.2 Endlich-dimensionale Vektorräume;64
4.2.3;6.3 Aufgaben;67
4.3;7 Unterräume von endlich- dimensionalen Vektorräumen;70
4.3.1;7.1 Summe und Durchschnitt von Unterräumen;70
4.3.2;7.2 Geometrische Interpretation;74
4.3.3;7.3 Anwendungen in der Kodierungstheorie (im Fall K 8);75
4.3.4;7.4 Aufgaben;78
4.4;8 Lineare Abbildungen;80
4.4.1;8.1 Abbildungen;80
4.4.2;8.2 Strukturerhaltende Abbildungen;82
4.4.3;8.3 Grundlegende Eigenschaften linearer Abbildungen;85
4.4.4;8.4 Beschreibung von linearen Abbildungen durch Matrizen;87
4.4.5;8.5 Der Rang einer Matrix;91
4.4.6;8.6 Aufgaben;93
5;Determinanten und Eigenwerte;98
5.1;9 Determinanten;100
5.1.1;9.1 Vorbemerkungen über Invertierbarkeit von Matrizen;100
5.1.2;9.2 Determinantenformen;101
5.1.3;9.3 Das Signum einer Permutation;103
5.1.4;9.4 Allgemeine Definition der Determinante;105
5.1.5;9.5 Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte;109
5.1.6;9.6 Eine Anwendung: Die Vandermonde sche Determinante und Polynominterpolation;113
5.1.7;9.7 Eine Anwendung auf nicht-lineare algebraische Gleichungssysteme;115
5.1.8;9.8 Aufgaben;117
5.2;10 Eigenwerte und Eigenvektoren;120
5.2.1;10.1 Vorbemerkungen und einführende Beispiele;120
5.2.2;10.2 Eigenräume, Eigenvektoren, Eigenwerte und charakteristisches Polynom;124
5.2.3;10.3 Aufgaben;130
5.3;11 Die Jordan sche Normalform einer quadratischen Matrix;134
5.3.1;11.1 Multiplikation von Blockmatrizen;134
5.3.2;11.2 Nilpotente Matrizen die Gleichung xk = 0 im Matrixring Mn(K);135
5.3.3;11.3 Verallgemeinerte Eigenräume und Triangulierbarkeit;138
5.3.4;11.4 Die Jordan sche Normalform;142
5.3.5;11.5 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen;146
5.3.6;11.6 Aufgaben;148
6;Skalarprodukte und Bilinearformen;150
6.1;12 Skalarprodukte und orthogonale Matrizen;152
6.1.1;12.1 Vorbemerkungen über Längen- und Winkelmessung im Anschauungsraum;152
6.1.2;12.2 Skalarprodukt, ON-Systeme und das Orthonormalisierungsverfahren von Gram- Schmidt;154
6.1.3;12.3 Orthogonale Matrizen;157
6.1.4;12.4 Beste Näherungslösung eines Gleichungssystems die Methode der kleinsten Quadrate;160
6.1.5;12.5 Aufgaben;162
6.2;13 Bilinearformen;166
6.2.1;13.1 Beschreibung einer Bilinearform durch eine Matrix;166
6.2.2;13.2 Symmetrische Bilinearformen und symmetrische Matrizen;168
6.2.3;13.3 Aufgaben;174
7;Affine und projektive Geometrie;176
7.1;14 Affine Räume;178
7.1.1;1