Philosophy and Foundations of Mathematics (eBook)

Front Cover 1
Philosophy and Foundations of Mathematics 4
Copyright Page 5
Table of Contents 6
BIBLIOGRAPHY 6
INTRODUCTION 14
1905. LIFE, ART AND MYSTICISM 18
THE SAD WORLD 18
TURNING INTO THE SELF 18
MAN'S FALL CAUSED BY THE INTELLECT 20
RECONCILIATION 22
LANGUAGE 23
IMMANENT TRUTH 24
TRANSCENDENT TRUTH 25
LIBERATED LIFE 26
ECONOMY 26
OVER DE GRONDSLAGEN DER WISKUNDE 28
1907. ON THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS 30
CHAPTER I. THE CONSTRUCTION OF MATHEMATICS 32
Arithmetic of inteqers 32
Negative numbers 33
Rational numbers 33
Irrational numbers 33
The continuum 34
The measurable continuum 35
Definition of addition on the continuum in terms of a group 36
Definition ofmultiplication on the continuum in terms of a group 40
Taking the inverse. The projective group 47
Projective geometry 47
Cartesian geometry 48
Euclidean geometry 49
The similarity group 49
The group of complex operations 49
Group of complex projective transformations 50
Characterization oj' the projective group 50
The non-Euclidean groups 50
Deduction of the differential of the arc for the Euclidean and the non-Euclidean groups 51
Characterization of the Euclidean and non-Euclidean groups by HELMHOLTZ 54
Correction of HELMHOLTZ' characterization by LIE 55
Characterization of the linear system of the Cartesian or Euclidean and of the hyperbolic space 57
Variational problems leading to linear systems 58
Thus he looks for minimal curves of the integral 58
The possible pointsets 61
Solution of the continuum problem 63
Non-Archimedean uniform groups on the one-dimensional continuum 64
Non-Archimedean and non-Pascalian geometries 67
Semi-congruent groups in non-Archimedean geometry 68
CHAPTER II. MATHEMATICS AND EXPERIENCE 70
The intellect and the jump from the end to the means 70
Mathematical systems, containing more than given reality 70
Extension of applicability of mathematics by actual intervention 71
Extension by induction from the real to the possible 71
Continuity of functions in physics 71
Differentiability of physical functions 72
Principles of mechanics 73
Mechanical interpretations of nature 74
Value of the 'explanation' of phenomena 75
Problems of space and time 76
Objectivity 76
Apriority 77
Russell's point of view 86
Summary of the relation between mathematics and experience 87
CHAPTER III. MATHEMATICS AND LOGIC 89
Mathematics is independent of logic 89
Logic depends upon mathematics 90
The denumerably unfinished sets 99
The continuum problem 100
The well-orderinq of an arbitrary set 101
The transfinite exponentiation 104
The contradiction 106
The logic of relations 107
Infinite numbers 109
Conclusions on logistics 109
Consistency proofs for formal systems, independent of their interpretation 109
Attempt to make these proofs independent of intuition 110
Enumeration of the stages which are confused in the logical treatment of mathematics 111
STATEMENTS 115
1908 A. DIE MOE GLIO HEN MAEORTIGKEITEN 119
1908 B. 
122 
1908 C. 
124 
1909. THE NATURE OF GEOMETRY 129
1911. FROM THE REVIEW OF: G. MANNOURY, METHODOLOGISCHES UND PHILOSOPHISCHES ZUR ELEMENTARMATHEMATIK (HAARLEM 1909) 138
1912 A. INTUITIONISM AND FORMALISM 140
1913. INTUITIONISM AND FORMALISM 142
1914. A. Schoenflies und H. Hahn, Die Entwickelung der M:engenlehre und ihrer Anwendungen 156
1917. ADDENDA AND CORRIGENDA TO 'ON THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS'1) 162
1918 B. Begrfmdung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz vom ausgeschlosseneu Dritten 167
1. Die Kardinalzahlen 167
2. Die Or{linalzahlen 177
3. Die wohlgeordneten Ordinalzahlett 186
1919 A. Beg'rundllng del' Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz vorn ausgeschlossenen Dritten 208
1, Die Grenzpunkte. 208
2. Bereiche und innere Grenzspecies 225
3. Der Inhalt der PlIuktspecies 231
1919 C. SIGNIFISCHE SPRACHFORSCHUNG 239
VOM UNTERSCHIED DER SPRACHSTUFEN IN BEZUG AUF DIE SOZIALE VERSTÄNDIGUNG 246
1919 D. Mathematic's 247
1921. Mathematics 253
1. Existenzbereicli der unendlichen Desimolbruchentioickelung auf dem Kontinuum 253
2. Die Ergänzunqseleulente der abeäihlbar unendlichen, überall dicht qeordneten Mengen 254
3. Ergänzunglenmente, Desimalbruchenunickelunqen und Kettenbruchentioickelunqen 257
4. Eristene der Desimalbruchentunckelunq reeller alqebraischer Zalllen 258
5. Existene del' Dezimalbruchentunckelunq von r 259
1923 A. BEGRÜNDUNG DER FUNKTIONENLEHRE UNABHÄNGIG YOM LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN 263
1. STETIGKEIT, MAXIMA 263
2. MESSBARE FUNKTIONEN 266
3. VOLLSTÄNDIG DERIVIERBARE FUNKTIONEN 279
1923 B Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie 1) 285
1923 C. Intuitionistische Zerlegung mathematischer Gmndbegrifle.1) 292
§ 1. Bichtdgkeitspradikate 293
§ 2. Ebene Verschmelzungsbeziehnngen von zwei Pnnkten.6) 294
§ 3. Ebene Einhiillungsbeziehungen von einem Punkte und einer Punktspezies 295
§ 4. Ebene Verschmelzungsbeziehungen von zwei Punktspezies 296
1924 A. Mathematics — ,,Ueber die Zulassunq unendllcher Werte für (len Funktionsbeqriff:" 298
1924 B. Mathematics — "Perfect sets of points with positively-irrational distances" 299
1924 C. Mathematics — "Intuitionistisclier Beuieis lies Fundamentaisatses der Algebra" 300
1924 D. Mathematics — "Beioeis, dass jede volle Funktiou qleicluntissiq 
303 
1924 E. Mathematics — "Lntultionistische Ergänzunq des Fundomentalsatzes der Alqebra" 308
1924 F. Zur intnitionistischen Zerlegnng mathematischer Grundbegriffe.1) 312
1924 G. Mathematics 315
1925 A. Zur Begrtlndung der intnitionistischen Mathematik1) 318
Mengen und Spezies. Ihre Vergleichung 318
1925 B. Mathematics 332
1926 A. Zur Begriindung der intnitionistischen Mathematik. II 338
Ordnung 338
1926 B. Mathematics 358
§ 1. Definition der katalogisiertkompakten Spezies 358
§ 2. Ein Setz übet Erweiterung von Trennungen in katalogisiertkompakten Spezies 360
§ 3. Der Begritf des Dimensionsqredes fur katalogisiertkompakte Spezies 363
§ 4. Die Dimensionsgrade der n-dimensionelen Mannigfaltigkeiten 364
1926 C. Mathematics 367
1927 A. Znr Begriindnng der intnitionistischen Mathematik. III 369
Wohlordnung 369
1927 B. Über Definitionsbereiche von Funktionen 407
1927 C. Virtuelle Ordnung und unerweiterbare Ordnung 423
1928 A. Mathematics 426
LITERATUR 426
1928 B. Mathematics 432
1929. Mathematik, Wissenschaft und Sprache 434
I. 434
II. 438
III. 441
1930 A. Die Struktur des Kontinuums. 446
I. 446
II. 451
1930 B. A. Fraenkel, Zehn Vorlesungen tiber die Grundlegung der Mengenlehre 458
1933. VOLITION, KNOWLEDGE, LANGUAGE 460
3. The intuitionistic reconstruction of mathematics 460
1937. SIGNIFIC DIALOGUES 464
SIGNIFIC STUDY OF LANGUAGE AND PHILOSOPHY 464
SEPARATE STATEMENTS BY THE CIRCLE's MEMBERS 465
DlSCUSSION ON THE PREMISSES OF A GROUP 465
DISCUSSION ON THE FORMALISTIC METHOD IN SIGNIFICS 467
DISCUSSION ON THE SOCIAL IMPORTANCE OF SIGNIFICS 469
1939. Mathematics — Zum Triangulationsproblem 470
1942 A. Mathematics. - Zum freien Werden von Mengen und Funktionen 476
1942 B. Mathematics — Die reptiisentierende Menge det stetigen Funktionen des Einheitskontinuums 478
1942 C. Mathematics.— Betoeis dass det Begriff der Menge höherer Ordnung nicht als Grundbegriff det intuitionistischen Mathematik in Betracht kommt 479
1946 A. Synopsis of the signific movement in the Netherlands. Prospects of the signific movement 482
1946 B. Address delivered on September 16th, 1946, at the University of Amsterdam by Professor L. E. J. Brouwer on the conferment upon Professor G. Mannoury of the honorary degree of Doctor of Science 489
GERRIT MANNOURY 489
1947 GUIDELINES OF INTUITIONISTIC MATHEMATICS 494
1948 A. ESSENTIALLY NEGATIVE PROPERTIES 495
1948 C. CONSCIOUSNESS, PHILOSOPHY, AND MATHEMATICS 497
1949 A. THE NON-EQUIVALENCE OF THE CONSTRUCTIVE AND 
512 
1949 B. CONTRADICTORITY OF ELEMENTARY GEOMETRY 514
1950 A. LOGIQUE MATHEMATIQUE.— Remarques sur la notion d'ordre 516
1950 B. LOGIQUE MATHEM1/TIQUE.— Sur la possibilite d'ordonner le continu 518
1950 C. Discours final de M. BROUWER 520
1951. ON ORDER IN THE CONTINUUM, AND THE RELATION OF TRUTH TO NON-CONTRADICTORITY 521
1952 A. An intuitionist correction of the fixed-point* theorem on the sphere 523
1952 B. HISTORICAL BACKGROUND, PRINCIPLES AND METHODS OF INTUITIONISM 525
SECOND ACT OF INTUITIONISM 528
1952 C. ON ACCUMULATION CORES OF INFINITE CORE SPECIES 533
§ 1 Refutation of the Bolzano–Weierstrass theorem 533
§ 2 A fragment of the A-form of the Bolzano–Weierstrass theorem that can be preserved in intuitionistic mathematics 534
§ 3 A fragment of the B-form of the Bolzano–Weierstrass theorem that can be preserved in intuitionistic mathematics 534
1952 D. FIXED CORES WHICH CANNOT BE FOUN'D, THOUGH THEY ARE CLAIMED TO EXIST BY CLASSICAL THEOREMS 536
1954 A. POINTS AND SPACES 539
1. The gradual disengagement of mathematics from logic 539
2. The refutation of the principle of the excluded third 541
3. Spreads and fans 545
4. Well-ordered blocks and stumps 547
5. The fan theorem 550
6. The continuity theorem 553
REFERENCES 555
1954 B. ADDENDA AND CORRIGENDA ON THE ROLE OF THE PRINCIPIUM TERTII EXCLUSI IN MATHEMATICS 556
1954 C. FURTHER ADDENDA AND CORRIGENDA ON THE ROLE OF THE PRINCIPIUM TERTII EXCLUSI IN MATHEMATICS 558
1954 D. ORDNUNGSWECHSEL IN BEZUG AUF EINE COUPIERBARE GESCHLOSSENE STETIGE KURVE 561
1954 E. INTUITIONISTIC DIFFERENTIABILITY 563
1954 F. AN EXAMPLE OF CONTRADICTORITY IN CLASSICAL THEORY OF FUNCTIONS 566
1955. THE EFFECT OF INTUTIONISM ON CLASSICAL AGEBRA OF LOGIC 568
I. ON THE EXTENSION OF THE DOMAIN OF A FUNCTION I 572
II. DISCONTINUOUS INTUITIONISTIC FUNCTIONS OF A REAL VARIABLE 575
III. SYLLABUS OF A POSTHUMOUS MANUSCRIPT BASED ON THE LECTURES WHICH BROUWER GAVE AT CAMBRIDGE, ENGLAND, IN 1946 578
Chapter 1. HISTORICAL INTRODUCTION. FUNDAMENTAL NOTIONS 578
Chapter 2. GENERAL PROPERTIES OF SPECIES, SPREADS AND SPACES 578
Chapter 3. ORDER 579
Chapter 4. CLOSER ANALYSIS OF THE CONTINUUM 579
Chapter 5. THE BUNCH THEOREM 579
NOTES 580
1905 Life, Art and Mysticism 582
1907 On the foundations of mathematics 582
1908 C The unreliability of the logical principles 586
1909 The nature of geometry 587
1912 A Intuitionism and .formalism 587
1914 Review of: A. Schoenflies und H. Hahn, Die Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen 588
1918 B Beqriindunq der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil: Allgemeine Mengenlehre 589
1919 A Beqriindunq der Mengenlehre unabhängig tom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Zweiter Teil: Theorie der Punktmengen 590
1919 C Siqnifische Sprachforschunq 602
1919 D Intuitionistische Mengenlehre 602
1923 A Beqriindunq der Funktionenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten 603
1923 B Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik, insbesondere in der Funktionentheorie 604
1924 B Perfect sets of points with positioelv-irrational distances 605
1924 C Intuitionistischer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra 605
1924 D Beweis, dass jede volle Funktion gleichmässig stetig ist 605
1924 E lntuitionistische Ergänzung des Fundamentalsatzes der Algebra 606
1924 F Zur intuitionistischen Zerlegung mathematischer Grundbeqriffe 606
1924 G Bemerkungen zum Beweise der gleichmässigen Stetiqkeitroller Funktionen 606
1925 A Zur Beqründunq der intuitionistischen Mathematik I 606
1925 B Intuitionistischer Beweis des Jordanschen Kuroensatzes 609
1926 A Zur Beqründunq der intuitionistischen Mathematik II 609
1926 B Intuitionistische Einfiihrunq des Dimensionsbeqriffes 610
1926 C Die intuitionistische Form des Heine-Borelschen Theorems 611
1927A Zur Beqründunq der intuitionistischen Mathematik III 611
1927BOber Definitionsbereiche von Funktionen 611
1927 C Virtuelle Ordnunq und unerweiterbare Ordnunq 613
1928A Intuitionistische Betrachtunqen über den Formalismus 614
1928 B Beweis dass jede Menge in einer indioidualisierten Menge enthalten ist 615
1929 Mathematik, Wissenschaft und Sprache 615
1930 A Die Struktur des Kontinuums 616
1933 Volition, Knowledge., Language 617
1937 Siqnific dialogues 617
1939 Zum Trianqulationsproblem 618
1942 A Zum freien Werden von Mengen und Funktionen 618
1942 B Die repräsentierende Menge der stetiqen Funktionen des Einheitskontinuums 618
1942 C Beweis dass der Begriff der Menge hiiherer Ordnung nicht als Grundbegriff der intuitionistischen Mathematik in Betracht kommt 618
1946 B Address delivered on the conferment upon Professor G. Mannourv of the honorary degree of Doctor of Science 619
1947 Guidelines of intuitionistic mathematics 619
1948 A Essentially negative properties 619
1948 C Consciousness, Philosophy and Mathematics 620
1949 A The non-equivalence of the constructive and the negative order relation on the continuum 620
1949 B Contradictority of elementary qeometrv 621
1950 A Remarques sur fa notion d'ordre 621
1951 On order in the continuum, and the relation of truth to non-contradictority 622
1952 A An intuitionist correction of the fixed-point theorem on the sphere 622
1952 B Historical background, principles and methods of intuitionism 622
1952 C On accumulation cores of infinite core species 624
1952 D Fixed cores, which cannot be found, though they are claimed to exist by classical theorems 625
1954 A Points and spaces 625
1954 C Further addenda and corrigenda on the role ofthe principium tertii exclusi in mathematics 627
1954 D Ordnungwechsel in Bezug aufeine coupierbare geschlossene stetiqe Kurve 627
1954 E Intuitionistic differentiability 627
1954 F An example of contradictoritv in classical theorv of functions 628
1955 The effect of intuitionism on classical algebra of' logic 628
LITERATURE 630
SACHVERZEICHNIS 639
INDEX OF SUBJECTS 645